Специальный курс

Классификация уравнений с отклоняющимся аргументом. Основная начальная задача для дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Метод последовательного интегрирования. Принцип сглаживания решений уравнений с запаздыванием.

Принцип сжатых отображений. Теорема существования и единственности решения основной начальной задачи для уравнения с несколькими сосредоточенными запаздываниями. Теорема существования и единственности решения основной начальной задачи для системы уравнений с распределенным запаздыванием.

Непрерывная зависимость решений основной начальной задачи от параметров и начальных функций.

Специфические особенности решений уравнений с запаздыванием. Возможность продолжения решения. Перенос начальной точки. Теоремы о достаточных условиях интервалов слипания. Теорема о достаточных условиях нелокальной продолжимости решений.

Вывод формулы общего решения для линейной системы с линейными запаздываниями.

Исследование уравнений с запаздыванием на устойчивость. Метод Д-разбиений.

Применение метода функционалов для исследования устойчивости. Теоремы Н. Н. Красовского о необходимых и достаточных условиях устойчивости. Примеры построения функционалов.

Применение метода функций Ляпунова для исследования устойчивости. Теоремы Разумихина об устойчивости и асимптотической устойчивости решений уравнений с запаздыванием. Примеры построения функций Ляпунова.

Построение программных управлений с запаздыванием в системах с полной и неполной информацией. Теоремы В. И. Зубова. Задача распределения капиталовложений по отраслям.

Построение оптимальных программных управлений в линейном и нелинейном случаях. Принцип максимума Понтрягина.

Стабилизация системы уравнений управлением с постоянными запаздываниями. Влияние переменного запаздывания на одноосную стабилизацию твердого тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жабко А.П., Зубов Н.В., Прасолов А.В. Методы исследования систем с последействием. Л., 1984. Деп. ВИНИТИ, № 2103-84.
2. Зубов В. И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Сер. математика. 1958. № 6.
3. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
4. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959
5. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения.
6. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи мат. наук. 1949. Т.4, № 5.
7. Прасолов А. В. Аналитические и численные исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995.
8. Прасолов А. В. Математические модели динамики в экономике. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та экономики и финансов, 2000.
9. Чижова О. Н. Построение решения и устойчивость систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Л., 1988. Деп. в ВИНИТИ, № 8896-В88.
10. Чижова О. Н. Стабилизация твердого тела с учетом линейного запаздывания // Вестник СПбГУ. Сер.1. 1995. Вып.4, № 22.
11. Чижова О. Н. О нелокальной продолжимости уравнений с переменным запаздыванием // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 18. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000.
12. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1971.

Логистическое уравнение с запаздыванием по времени можно применить при изучении взаимодействий хищник - жертва.- Устойчивые предельные циклы в соответствии с логистическим уравнением.
Существование запаздывания по времени дает возможность- применить другой способ моделирования простой системы отношений хищник-жертва.

Этот способ основан на логистическом уравнении (разд. 6.9):

Таблица 10.1. Принципиальное сходство динамики численности, полученной «а модели Лотки-Вольтерры (и вообще на моделях типа хищник-жертва), с одной стороны, и иа логистической модели с запаздыванием по времени - с другой. В обоих случаях существует четырехфазиый цикл с максимумами (и минимумами) численности хищника, следующими за максимумами "(и минимумами) численности жертвы

Скорость роста популяции хищника в этом уравнении зависит от начальной численности (С) и удельной скорости роста, г-(К-С) I Kf где К - предельная плотность насыщения популяции хищника. Относительная скорость в свою очередь зависит от степени недоиспользования среды (К-С), которую в случае с популяцией хищника можно рассматривать как степень превышения потребностей хищника доступностью жертвы. Однако доступность жертвы и, следовательно, относительная скорость роста популяции хищника часто отражают плотность популяции хищника в некоторый предшествующий период времени (разд. 6.8.4). Другими словами, в реакции популяции хищника на собственную плотность может существовать запаздывание по времени:
dC „ л { К Cnow-Iag \
- - Г.Gnow j.
Если это запаздывание невелико или хищник размножается слишком медленно (т. е. величина г мала), то динамика такой популяции не будет заметно отличаться от описываемой простым логистическим уравнением (см. May, 1981а). Ho при умеренных или высоких значениях времени запаздывания и скорости размножения популяция совершает колебания с устойчивыми предельными циклами. Кроме того, если эти устойчивые предельные циклы возникают согласно логистическому уравнению с запаздыванием во времени, то их продолжительность (или «период») примерно в четыре раза превышает продолжи-

жертвы, для того чтобы понять механизм колебаний их численности.
Существует ряд примеров, полученных на природных популяциях, в которых можно обнаружить регулярные колебания численности хищников и жертв. Они обсуждаются в разд. 15.4; здесь нам будет полезен всего один пример (см. Keith, 1983). Колебания численности популяций зайца обсуждаются экологами, начиная с двадцатых годов нашего века, а охотники обнаружили их еще за 100 лет до того. Так например, американский заяц-беляк (Lepus americanus) в бореальных лесах Северной Америки имеет «10-летний цикл численности» (хотя на самом деле его продолжительность варьирует от 8 до 11 лет; рис. В). Заяц-беляк преобладает среди растительноядных животных этого района; он питается кончиками побегов многочисленных кустарников и небольших деревьев. Колебаниям его численности соответствуют колебания численности ряда хищников, в том числе рыси (Lynx canadensis). 10-летние циклы численности характерны также и для некоторых других растительноядных животных, а именно для воротничкового рябчика и американской дикуши. В популяциях зайца нередко происходят 10- 30-кратные изменения численности, а при благоприятных условиях могут наблюдаться и 100-кратные изменения. Эти колебания производят особенно большое впечатление, когда происходят практически одновременно на огромной территории от Аляски до Ньюфаундленда.
Снижение численности зайца-беляка сопровождается низкой рождаемостью, низкой выживаемостью молоди, потерей веса и низкой скоростью роста; все эти явления можно воспроизвести в эксперименте, ухудшая условия питания. Кроме того, прямые наблюдения действительно подтверждают снижение доступности корма в периоды максимальной численности зайца. Хотя, быть может, более важно то, что на сильное объедание растения отвечают образованием побегов с высоким содержанием ядовитых веществ, что делает их несъедобными для зайцев. И особенно важно то, что растения остаются защищенными таким способом в течение 2-3 лет после сильного обгрызания. Это приводит к задержке между началом снижений численности зайца и восстановлением его кормовых запасов, равной примерно 2,5 года. Два с половиной года - и есть то самое запаздывание во времени, составляющее четверть продолжительности одного цикла, что в точности соответствует предсказаниям на простых моделях. Итак, существует, по-видимому, между популяцией зайца и популяциями растений взаимодействие, снижающее численность зайцев и происходящее с запаздыванием по времени, что и обусловливает циклические колебания.
Хищники же, скорее всего, следуют за колебаниями численности зайца, а не вызывают их. Все же колебания, вероятно, выражены более отчетливо благодаря высокому отношению числа хищников к числу жертв в период снижения численности зайца, а также благодаря их низкому отношению в период, следующий за минимумом численности зайцев, когда они, опережая хищника, восстанавливают свою численность (рис. 10.5). Кроме того, при высоком отношении численности рыси к численности зайца хищник поедает большое количество боровой дичи, а при низком отношении - небольшое. Это, по-видимому, служит причиной возникновения колебаний численности у этих второстепенных растительноядных животных (рис. 10.5). Таким образом, взаимодействие зайцы-растения вызывает колебания численности зайца, хищники повторяют колебания их численности, а циклы численности у растительноядных птиц вызваны изменениями пресса хищников. Очевидно, что простые модели полезны для понимания механизмов колебаний численности в природных условиях, но эти модели объясняют возникновение этих колебаний далеко не полностью.

Линейными системами с запаздыванием называются такие автоматические системы, которые, имея в общем ту же самую структуру, что и обыкновенные линейные системы (раздел II), отличаются от последних тем, что в одном или нескольких из своих звеньев имеют запаздывание во времени начала изменения выходной величины (после начала изменения входной) на величину называемую временем запаздывания, причем это время запаздывания остается постоянным и во всем последующем ходе процесса.

Например, если обыкновенное линейное звено описывается уравнением

(апериодическое звено первого порядка), то уравнение соответствующего линейного звена с запаздыванием будет иметь вид

(апериодическое звено первого порядка с запаздыванием). Такого вида уравнения называются уравнениями с запаздывающим аргументом или дифференциально-разностными уравнениями.

Обозначим Тогда уравнение (14.2) запишется в обыкновенном виде:

Так, если входная величина изменяется скачком от нуля до единицы (рис. 14.1, а), то изменение величины стоящей в правой части уравнения звена, изобразится графиком рис. 14.1, б (скачок на секунд позже). Используя теперь переходную характеристику обыкновенного апериодического звена в применении к уравнению (14.3), получаем изменение выходной величины в виде графика рис. 14.1, в. Это и будет переходная характеристика апериодического звена первого порядка с запаздыванием (его апериодическое «инерционное» свойство определяется постоянной времени Т, а запаздывание - величиной

Линейное звено с запаздыванием. В общем случае, как и для (14.2), уравнение динамики любого линейного звена с запаздыванием можно

разбить на два:

что соответствует условной разбивке линейного звена с запаздыванием (рис. 14.2, а) на два: обыкновенное линейное звено того же порядка и с теми же коэффициентами и предшествующий ему элемент запаздывания (рис. 14,2, б).

Временная характеристика любого звена с запаздыванием будет, следовательно, такая же, как у соответствующего обыкновенного звена, но только сдвинута по оси времени вправо на величину .

Примером звена «чистого» запаздывания является акустическая линия связи - время прохождения звука). Другими примерами могут служить система автоматического дозирования какого-либо вещества, перемещаемого с помощью ленточного транспортера - время движения ленты на определенном участке), а также система регулирования толщины прокатываемого металла, где означает время движения металла от валков до измеритетя толщины

В двух последних примерах величина называется транспортным запаздыванием.

В первом приблилчвнии определенной величиной запаздывания могут быть оларактеризованы трубопроводы или длинные электрические линии, входящие в звенья системы (подробнее о них см. § 14.2).

Величину запаздывания в звене можно определить экспериментально путем снятия временной характеристики. Например, если при подаче на вход звена скачком некоторой величины, принимаемой за единицу, на выходе получается экспериментальная кривая для показанная на рис. 14.3, б, то можно приближенно описать это звено как апериодическое звено первого порядка с запаздыванием (14.2), взяв величины с экспериментальной кривой (рис. 14.3, б).

Заметим также, что такая же экспериментальная кривая согласно графику рис. 14.3, в может трактоваться и как временная характеристика обыкновенного апериодического звена второго порядка с уравнением

причем и к можно вычислить из соотношений, записанных в § 4.5 для данного звена, по некоторым замерам на экспериментальной кривой или другими способами.

Итак, с гочки зрения временной характеристики реальное звено, приближенно описываемое уравнением первого порядка с запаздывающим аргументом (14.2), часто может быть с такой же степенью приближения описано обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (14.5). Для решения вопроса о том, какое из этих уравнений лучше подходит к данному

реальному звену, можно сравнить еще их амплитудно-фазовые характеристики с экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристикой звена, выражающей его динамические свойства при вынужденных колебаниях. Построение амплитудно-фазовых характеристик звеньев с запаздыванием будет рассмотрено ниже.

В целях единства записи уравнений представим второе из соотношений (14.4) для элемента запаздывания в операторном виде. Разложив правую часть его в ряд Тейлора, получим

или, в принятой ранее символической операторной записи,

Это выражение совпадает с формулой теоремы запаздывания для изображений функций (табл. 7.2). Таким образом, для звена чистого запаздывания получаем передаточную функцию в виде

Заметим, что в некоторых случаях наличие большого числа малых постоянных времени в системе регулирования можно учесть в виде постоянного запаздывания, равного сумме этих постоянных времени. Действительно, пусть система содержит последовательно включенных апериодических звеньев первого порядка с коэффициентом передачи, равным единице, и величиной каждой постоянной времени Тогда результирующая передаточная функция будет

Если то в пределе получаем . Уже при передаточная функция (14.8) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (14.6).

Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (14.4) будем теперь записывать в виде

Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет

где через обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенного линейного звена без запаздывания.

Частотная передаточная функция получается из (14.10) подстановкой

где - модуль и фаза частотной передаточной функции звена без запаздывания. Отсюда получаем следующее правило.

Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого линейного звена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного линейного звена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке на угол , где - значение частоты колебаний в данной точке характеристики (рис. 14.4, а).

Так как в начале амплитудно-фазовой характеристики а в конце то начальная точка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается на начало координат (если степень операторного многочлена меньше, чем многочлена

Выше говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики) вида рис. 14.3, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны как уравнением (14.2), так и (14.5). Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (14.2) и (14.5) показаны на рис. 14.4, а и соответственно. Принципиальное отличие первой состоит в том, что она имеет точку D пересечения с осью

При сравнении обеих характеристик между собой и с экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикой реального звена надо принимать во внимание не только форму кривой, на и характер распределения отметок частот о вдоль нее.

Линейная система с запаздыванием.

Пусть одноконтурная или многоконтурная автоматическая система в числе своих звеньев имеет одно звена с запаздыванием. Тогда уравнение этого звена имеет вид (14.9). Если таких звеньев несколько, то они могут иметь разные величины запаздывания Все выведенные в главе 5 общие формулы для уравнений и передаточных функций систем автоматического регулирования остаются в силе и для любых линейных систем с запаздыванием, если только в эти формулы подставлять значения передаточных функций в виде (14.10).

Например, для разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев, среди которых имеется два звена с запаздыванием соответственно, передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид

где - передаточная функция разомкнутой цепи без учета запаздывания, равная произведению передаточных функций включенных последовательно звеньев.

Таким образом, при исследовании динамики разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев безралично, будет ли все запаздывание сосредоточено в одном каком-нибудь звене или разнесено по разным звеньям. Для многоконтурных цепей получатся более сложные соотношения.

Если имеется звено с отрицательной обратной связью, обладающей запаздыванием , то оно будет описываться уравнениями;

Системы с запаздыванием отличаются от рассмотренных ранее систем тем, что в одном или нескольких из своих звеньев имеют запаздывание во времени начала изменения выходной величины (после начала изменения входной) на величину т, называемую временем запаздывания, причем это время запаздывания остается постоянным и во всем последующем ходе процесса.

Например, если звено описывается уравнением

(апериодическое звено первого порядка), то уравнение соответствующего звена с запаздыванием будет иметь вид

(апериодическое звено первого порядка с запаздыванием). Такого вида уравнения называются уравнениями с запаздывающим аргументом,

Тогда уравнение (6.31) запишется в обыкновенном

изменяется скачком от нуля до единицы (рис. 6.20,

стоящей в правой части уравнении звена,

). В общем случае, как и для (6.31), уравнение динамики любого звена с запаздыванием можно разбить на два:

что соответствует условной разбивке звена с запаздыванием (рис. 6.21, а) па два: обыкновенное звено того же порядка и с теми же коэффициентами и предшествующий ему элемент запаздывания (рис. 6.21,6).

означает время движения металла от валков до измерителя толщины. В двух последних примерах величина т называется транспортным запаздыванием.

В первом приближении определенной величиной запаздывания т могут быть охарактеризованы трубопроводы или длинные электрические линии, входящие в звенья системы.

показанная на рис. 6.22, б, то можно приближенно описать это звено как апериодическое звено первого порядка с запаздыванием (6.31), взяв величины т, Г и к с экспериментальной кривой (рис, 6,22, б).

Заметим также, что такая же экспериментальная кривая согласно графику рис. 6.22, в может трактоваться и как временная характеристика обыкновенного апериодического звена второго порядка с уравнением

и к можно вычислить из соотношений, записанных в § 4.5 для данного звена, по некоторым замерам на экспериментальной кривой или другими способами.

функция (6.36) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (6.35).

Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (6.33) будем теперь записывать в виде

Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет

обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенного звена без запаздывания.

- модуль и фаза частотной передаточной функции звена без запаздывания.

Отсюда получаем следующее правило.

Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого звена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного звена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке на угол то, где со - значение частоты колебаний в данной точке характеристики (рис. 6.23, а).

начальная точка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается на начало координат (если степень операторного многочлена В меньше, чем многочлена С).

Выше говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики) вида рис. 6.22, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны как уравнением (6.31), так и (6.34). Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (6.31) и (6.34) показаны на рис. 6.23, а и б соответственно. Принципиальное отличие первой состоит в том, что она имеет точку D пересечения с осью (/. При сравнении обеих характеристик между собой и с экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикой реального звена надо принимать во внимание не только форму кривой, но и характер распределения отметок частот со вдоль нее.

Передаточная функция разомкнутой системы без запаздывания.

Характеристическое уравнение замкнутой системы, как показано в гл. 5, имеет вид

уравнение может иметь бесконечное количество корней.

Существенно изменяется очертание амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой цени, построенной но частотной передаточной функции

причем размыкание системы производится по определенному правилу, которое дается ниже.

Как следствие, для устойчивости линейных систем первого и второго порядка с запаздыванием, оказывается, уже недостаточно только положительности.коэффициентов, а для систем третьего и более высокого порядка с запаздыванием неприменимы критерии устойчивости Вышнеградского, Рауса и Гурвица.

Ниже будет рассмотрено определение устойчивости только по критерию Найквиста, так как его использование для этой пели оказывается наиболее простым.

1Построение амплитудно-фазовой характеристики и исследование устойчивости но критерию Найквиста лучше всего производить, если передаточная функция разомкнутой системы представлена в виде (6.38). Для получения этого необходимо произвести соответствующим образом размыкание системы.

Для случая, изображенного на рис. 6.24, а, размыкание можно сделать в любом месте главной цепи, например так, как это показано. Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет что совпадает по форме с (6.41).

Для случая, изображенного на рис. 6,24, б, размыкание главной цепи дает выражение

функции разомкнутой системы, не удобное для дальнейших исследований:

Наконец, в случае, изображенном на рис. 6.24, в, при размыкании системы в указанном месте получаем выражение, также совпадающее с (6.41):

Частотную передаточную функцию (6.41) можно представить в виде

Поэтому, представив выражение (6.41) в виде

Задачи для уравнений с запаздыванием . Рассмотрим вариационную задачу , в которой управление определяет фазовую траекторию системы задачей Коши для уравнения с запаздыванием  

В литературе подобные системы часто называют системами одновременных уравнений , имея в виду, что здесь зависимая переменная одного уравнения может появляться одновременно в виде переменной (но уже в качестве независимой) в одном или нескольких других уравнениях. В таком случае теряет смысл традиционное различение зависимых и независимых переменных . Вместо этого устанавливается различие между двумя видами переменных. Это, во-первых, совместно зависимые переменные (эндогенные), влияние которых друг на друга должно быть исследовано (матрица А в слагаемом Ay t) приведенной выше системы уравнений). Во-вторых, предопределенные переменные, которые, как предполагается, оказывают влияние на первые, однако не испытывают их воздействия это переменные с запаздыванием, т.е. лаговые (второе слагаемое) и определенные вне данной системы уравнений экзогенные переменные.  

Однако для уравнений с общими типами запаздываний и более или менее далеко проведенной спецификацией остатка еще нет достаточно надежных результатов в отношении свойств оценок . Так, оценки по регрессионному уравнению с общей полиномиальной формой лага обладают лишь свойством состоятельности , а оценки уравнений с запаздывающими экзогенными и эндогенными переменными , полученные трехшаговым методом наименьших квадратов (при наличии одновременно марковской остаточной автокорреляции первого порядка), не имеют даже этого свойства (см. анализ оценок в ).  

Таким образом, при синтезе быстродействующих систем максимальной степени устойчивости требуется вначале определить оптимальные значения bj, обеспечивающие выполнение условия (4), ng и со, (1=1, п), затем найти с/, при которых имеет место (10) и, наконец, из условия (12) при заданной величине С выбрать dj. Замечание. Из рассмотренных случаев следует, что структуры оптимальных решений т.е количество действительных и комплексно-сопряженных пар крайних правых корней, их сочетание, кратности и, как следствие, виды годографов оптимальных решений в плоскости Х зависят от размерности управления m (1.2) и при достаточно больших порядках п (1.1) не зависят от самого значения п. Иными словами, каждому заданному m соответствует свое вполне определенное количество структур оптимальных решений , которое достигается при значении порядка уравнения (1.1) п = п и увеличение порядка п > п не приводит к появлению новых оптимальных решений . Поэтому при п - > QO сохраняется возможность синтеза систем максимальной степени устойчивости, структуры оптимальных решений определяются только т, а значит при любом m известны структуры оптимальных решений и для объектов с запаздыванием.  

Возникает вопрос как определить значение временного запаздывания для каждого показателя Для определения соответствующих временных лагов используем корреляционный анализ динамических рядов данных. Основным критерием для определения временного лага является наибольшая величина коэффициента взаимной корреляции временных рядов показателей с различным периодом запаздывания их влияния на показатель инфляции. В итоге уравнение примет следующий вид  

Кроме этого, метод С. д. позволяет связать в рамках одной модели многочисленные потоки (физич. управляющие и информационные) и уровни аккумулирующих эти потоки величин капиталовложения и выбытие фондов с уровнем осн. капитала, рождаемость и смертность в различных возрастных группах с возрастной структурой населения и т. п. Метод С. д. наиболее ярко отражает структуру всех принимаемых во внимание обратных связен, хорошо приспособлен для учёта разных форм запаздывания, приводит к системе дифференциальных уравнений , решения к-рых поддаются достаточно простому экспериментальному исследованию на устойчивость в зависимости от параметров и структуры самой модели.  

Правила можно также группировать и по другим признакам. Например, по инструменту денежно-кредитной политики (валютный курс , процентная ставка или денежный агрегат) по наличию внешнеэкономических связей (открытая или закрытая экономика) по включению прогноза экономических переменных в уравнение правила (перспективные и адаптивные правила) по величине запаздывания (с лагами или без) и т.д.  

Модель с учетом времени полета снаряда и запаздыванием в переносе огня позволяет учесть задержки в системе раннего предупреждения о ракетном нападении противника и системе космического наблюдения за его ракетно-ядерными силами. Эта модель определяется уравнениями  

Блок постоянного запаздывания БПЗ-2М предназначен для воспроизведения функций с запаздывающим аргументом в аналоговых вычислительных устройствах может быть использован при электрическом моделировании процессов, связанных с транспортировкой вещества или передачей энергии, при аппроксимации уравнений сложных многоемкостных объектов уравнениями первого и второго порядка с запаздыванием.  

Функции решений представляют собой формулировку линии поведения, определяющую, каким образом имеющаяся информация об уровнях приводит к выбору решений , связанных с величинами текущих темпов потока. Функция решения может иметь форму несложного уравнения, которое определяет простейшую реакцию ма-териалопотока на состояния одного или двух уровней (так, производительность транспортной системы часто может быть адекватно выражена количеством товаров в пути, представляющим собой уровень, и константой - средним запаздыванием на время транспортировки). С другой стороны, функция решения может представлять собой длинную и детально разработанную цепь вычислений, выполняемых с учетом изменения ряда дополнительных условий.  

В настоящее время нет полной ясности, какой же фактор является основной причиной отсутвия диатомей в Байкале в холодные периоды. В [Грачев и др., 1997] решающим считается повышенная мутность воды, вызванная работой горных ледников, в [Гавшин и др., 1998] основным считается падение концентрации кремния из-за замирания эрозии в водосборном бассейне Байкала. Модификация модели (2.6.7), где первое уравнение описывает динамику концентрации кремния, а второе - динамику осаждения взвеси, позволяет предложить подход для выявления того, какой же из этих двух факторов является главным. Ясно, что из-за огромной водной массы биота Байкала будет реагировать на изменения климата с некоторым запаздыванием по сравнению с реакцией растительных сообществ водосборного бассейна озера. Поэтому диатомовый сигнал должен запаздывать по сравнению с палинологическим сигналом. Если главная причина исчезновения диатомей в холодные периоды - уменьшение концентрации кремния, то такие запаздывания реакций на потепления должны быть больше, чем запаздывания для похолоданий. Если же главный фактор подавления диатомей - мутность из-за ледников, то запаздывание реакций на похолодания должно быть примерно таким же или даже большим, чем на потепления.  

Последнее уравнение, как мог заметить читатель, описывает поведение простейшего самонастраивающегося механизма с пропорциондль-ным запаздыванием. В приложении А приводится блок-схема, по-  

Процедура PERRON97 определяет в этом случае дату излома как 1999 07, если выбор даты излома осуществляется по минимуму -статистики критерия единичного корня ta=i, взятому по всем возможным моментам излома. При этом ta= = - 3.341, что выше 5% критического уровня - 5.59, и гипотеза единичного корня не отвергается. Наибольшее запаздывание разностей, включаемых в правую часть уравнений, выбирается равным 12 в рамках применения процедуры GS для редукции модели с 10% уровнем значимости.