Повдигането на отрицателна степен е един от основните елементи на математиката, който често се среща при решаване на алгебрични задачи. По-долу има подробни инструкции.

Как да повдигнем на отрицателна степен - теория

Когато повдигаме число на обикновена степен, ние умножаваме стойността му няколко пъти. Например 3 3 = 3×3×3 = 27. При отрицателна дроб е вярно обратното. Общата форма на формулата ще бъде както следва: a -n = 1/a n. По този начин, за да повдигнете число на отрицателна степен, трябва да разделите едно на даденото число, но на положителна степен.

Как да повдигнем на отрицателна степен - примери за обикновени числа

Като имаме предвид горното правило, нека решим няколко примера.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Отговор: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Отговор -4 -2 = 1/16.

Но защо отговорите в първия и втория пример са еднакви? Факт е, че когато отрицателно число се повиши до четна степен (2, 4, 6 и т.н.), знакът става положителен. Ако степента беше четна, тогава минусът щеше да остане:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как да повдигнем числата от 0 до 1 на отрицателна степен

Не забравяйте, че когато повишавате число между 0 и 1 на положителна степен, стойността намалява с увеличаване на степента. Така например, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Пример 3: Изчислете 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Отговор: 0,5 -2 = 4

Анализ (последователност от действия):

• Преобразувайте десетичната дроб 0,5 в дробната дроб 1/2. Така е по-лесно.
  Повишете 1/2 на отрицателна степен. 1/(2) -2. Разделяме 1 на 1/(2) 2, получаваме 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Изчислете 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Изчислете -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Отговор: -0,5 -3 = -8

Въз основа на 4-ти и 5-ти пример можем да направим няколко извода:

• За положително число в диапазона от 0 до 1 (пример 4), повдигнато на отрицателна степен, независимо дали степента е четна или нечетна, стойността на израза ще бъде положителна. Освен това, колкото по-голяма е степента, толкова по-голяма е стойността.
• За отрицателно число в диапазона от 0 до 1 (пример 5), повдигнато на отрицателна степен, дали степента е четна или нечетна не е важно, стойността на израза ще бъде отрицателна. В този случай, колкото по-висока е степента, толкова по-ниска е стойността.

Как да повдигнем на отрицателна степен - степен под формата на дробно число

Изразите от този тип имат следния вид: a -m/n, където a е редовно число, m е числителят на степента, n е знаменателят на степента.

Да разгледаме един пример:
Изчислете: 8 -1/3

Решение (последователност от действия):

• Нека си припомним правилото за повдигане на число на отрицателна степен. Получаваме: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Забележете, че знаменателят има числото 8 в дробна степен. Общата форма за изчисляване на дробна степен е следната: a m/n = n √8 m.
• Така 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаваме кубичен корен от осем, който е равен на 2. Оттук 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Отговор: 8 -1/3 = 2

В една от предишните статии вече споменахме силата на числото. Днес ще се опитаме да се ориентираме в процеса на намиране на значението му. Научно казано, ще разберем как да повдигнем на степен правилно. Ще разберем как се извършва този процес и в същото време ще се докоснем до всички възможни показатели: естествени, ирационални, рационални, цели числа.

Така че, нека да разгледаме по-отблизо решенията на примерите и да разберем какво означава това:

1. Дефиниция на понятието.
2. Издигане до отрицателно изкуство.
3. Цял индикатор.
4. Повишаване на число на ирационална степен.

Дефиниция на понятието

Ето дефиниция, която точно отразява значението: „Степененето е определението на стойността на степен на число.“

Съответно повишаването на числото а в чл. r и процесът на намиране на стойността на степента a с експонента r са идентични понятия. Например, ако задачата е да се изчисли стойността на степента (0,6)6″, тогава тя може да бъде опростена до израза „Повишете числото 0,6 на степен 6“.

След това можете да продължите директно към правилата за строителство.

Повдигане на отрицателна степен

За по-голяма яснота трябва да обърнете внимание на следната верига от изрази:

110=0,1=1* 10 минус 1 супена лъжица,

1100=0,01=1*10 в минус 2 градуса,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 до минус 4 градуса.

Благодарение на тези примери можете ясно да видите способността за незабавно изчисляване на 10 на произволна минус степен. За тази цел е достатъчно просто да преместите десетичния компонент:

• 10 на -1 степен - пред единица има 1 нула;
• в -3 - три нули преди единица;
• в -9 има 9 нули и така нататък.

Също така е лесно да се разбере от тази диаграма колко ще бъде 10 минус 5 супени лъжици. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как да повдигнем число на естествена степен

Спомняйки си определението, вземаме предвид, че естественото число а в чл. n е равно на произведението на n фактора, всеки от които е равен на a. Нека илюстрираме: (a*a*…a)n, където n е броят на числата, които се умножават. Съответно, за да се повиши a до n, е необходимо да се изчисли произведението от следната форма: a*a*…a делено на n пъти.

От това става очевидно, че повдигане до естествени ул. разчита на способността за извършване на умножение(този материал е разгледан в раздела за умножаване на реални числа). Нека да разгледаме проблема:

Повдигнете -2 до 4-ти st.

Имаме работа с естествен индикатор. Съответно ходът на решението ще бъде следният: (-2) в чл. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Сега всичко, което остава, е да умножим целите числа: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаваме 16.

Отговор на проблема:

(-2) в чл. 4=16.

Пример:

Изчислете стойността: три цяло две седми на квадрат.

Този пример е равен на следния продукт: три цяло и две седми, умножено по три цяло и две седми. Припомняйки си как се умножават смесени числа, завършваме конструкцията:

• 3 точка 2 седмини, умножени по себе си;
• е равно на 23 седми, умножено по 23 седми;
• е равно на 529 четиридесет и девети;
• намаляваме и получаваме 10 тридесет и девет четиридесет и девети.

Отговор: 10 39/49

Що се отнася до въпроса за повишаване на ирационален показател, трябва да се отбележи, че изчисленията започват да се извършват след приключване на предварителното закръгляване на основата на степента до всяка цифра, която би позволила получаването на стойността с дадена точност. Например, трябва да повдигнем на квадрат числото P (pi).

Започваме със закръгляване на P до стотни и получаваме:

P на квадрат = (3,14)2 = 9,8596. Въпреки това, ако намалим P до десет хилядни, получаваме P = 3,14159. Тогава повдигането на квадрат дава напълно различно число: 9,8695877281.

Тук трябва да се отбележи, че в много задачи не е необходимо да се повдигат ирационални числа на степени. По правило отговорът се въвежда или под формата на действителната степен, например корен от 6 на степен 3, или, ако изразът позволява, се извършва неговата трансформация: корен от 5 до 7 степени = 125 корен от 5.

Как да повдигнем число на цяла степен

Тази алгебрична манипулация е подходяща вземете предвид за следните случаи:

• за цели числа;
• за нулев индикатор;
• за степен на положително цяло число.

Тъй като почти всички положителни цели числа съвпадат с масата на естествените числа, задаването на степен положително цяло число е същият процес като задаването в чл. естествено. Описахме този процес в предишния параграф.

Сега нека поговорим за изчисляването на st. нула. Вече разбрахме по-горе, че нулевата степен на числото a може да се определи за всяко ненулево a (реално), докато a в чл. 0 ще е равно на 1.

Съответно, повишаването на всяко реално число до нула st. ще даде един.

Например 10 в st. 0=1, (-3,65)0=1 и 0 в st. 0 не може да се определи.

За да завършим повдигането до цяло число, остава да вземем решение за опциите за отрицателни цели числа. Спомняме си, че чл. от a с цяло число -z ще се дефинира като дроб. Знаменателят на дробта е st. с положително цяло число, чиято стойност вече се научихме да намираме. Сега остава само да разгледаме пример за конструкция.

Пример:

Изчислете стойността на числото 2 в куб с цяло отрицателно число.

Процес на решение:

Според дефиницията на степен с отрицателен показател означаваме: две минус 3 степени. е равно на едно към две на трета степен.

Знаменателят се изчислява просто: две на куб;

3 = 2*2*2=8.

Отговор: две на минус 3-ти ст. = една осма.

Видео

От това видео ще научите какво да правите, ако степента е с отрицателен показател.

Операции с мощности и корени. Степен с минус ,

нула и дробна индикатор. За изрази, които нямат смисъл.

Операции със степени.

1. При умножаване на степени с една и съща основа техните показатели се събират:

a m · a n = a m + n.

2. При деление на степени с еднаква основа техните показатели се приспадат .

3. Степента на произведението на два или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори.

(абв… ) n = a n· b n · c n…

4. Степента на отношение (фракция) е равна на съотношението на степените на дивидента (числител) и делителя (знаменател):

(а/б ) n = a n / b n.

5. При повишаване на степен на степен техните показатели се умножават:

(a m ) n = a m n .

Всички горни формули се четат и изпълняват в двете посоки отляво надясно и обратно.

ПРИМЕР (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корени. Във всички формули по-долу символът означава аритметичен корен(радикалният израз е положителен).

1. Коренът от произведението на няколко фактора е равен на произведението корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на корените на дивидента и делителя:

3. При повдигане на корен на степен е достатъчно да се повдигне на тази степен радикално число:

4. Ако увеличим степента на корена вм повишаване нам степента е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалим степента на корена вм извлечете корена веднъж и по едно и също времем та степен на радикално число, тогава стойността на корена не еще се промени:

Разширяване на понятието степен. Досега разглеждахме степени само с естествени показатели;но действия с степени и корени също могат да доведат до отрицателен, нулаИ дробенпоказатели. Всички тези експоненти изискват допълнително определение.

Степен с отрицателен показател. Степен на някакво число c отрицателна (цяло число) експонента се дефинира като едно разделено на степен на същото число с показател, равен на абсолютната стойностотрицателен показател:

Tсега формулата a m: a n= a m - н може да се използва не само зам, повече от н, но и с м, по-малко от н .

ПРИМЕР а 4 :а 7 =а 4 - 7 =а - 3 .

Ако искаме формулатаa m : a n= a m - нбеше справедливо, когатоm = n, имаме нужда от дефиниция на степен нула.

Диплома с нулев индекс. Степента на всяко ненулево число с показател нула е 1.

ПРИМЕРИ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степен с дробен показател. Да се ​​вдигне реално числои на степен m/n , трябва да извлечете корена n-та степен на m -та степен на това число A:

За изрази, които нямат смисъл. Има няколко такива израза.произволен брой.

Всъщност, ако приемем, че този израз е равен на някакво число х, то според дефиницията на операцията деление имаме: 0 = 0 · х. Но това равенство възниква, когато всяко число x, което трябваше да се докаже.

Случай 3.

0 0 - произволен брой.

Наистина ли,

Решение. Нека разгледаме три основни случая:

1) х = 0 – тази стойност не удовлетворява това уравнение

(Защо?).

2) когато х> 0 получаваме: х/х = 1, т.е. 1 = 1, което означава

Какво х– произволен брой; но като се има предвид, че в

В нашия случай х> 0, отговорът ех > 0 ;

3) когато х < 0 получаем: – х/х= 1, т.е . –1 = 1, следователно,

В този случай няма решение.

По този начин, х > 0.

Изрази, преобразуване на изрази

Степенен израз (изрази със степен) и тяхното преобразуване

В тази статия ще говорим за преобразуване на изрази със степени. Първо, ще се съсредоточим върху трансформациите, които се извършват с изрази от всякакъв вид, включително изрази за мощност, като отваряне на скоби и въвеждане на подобни термини. И тогава ще анализираме трансформациите, присъщи конкретно на изразите със степени: работа с основата и показателя, използване на свойствата на степените и т.н.

Навигация в страницата.

Какво представляват изразите на властта?

Терминът „степенни изрази“ практически не се появява в училищните учебници по математика, но се появява доста често в колекции от задачи, особено в тези, предназначени за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит, например. След анализ на задачите, в които е необходимо да се извършват каквито и да е действия със степенни изрази, става ясно, че степенните изрази се разбират като изрази, съдържащи мощности в своите записи. Следователно можете да приемете следното определение за себе си:

Определение.

Силови изразиса изрази, съдържащи степени.

Да дадем примери за степенни изрази. Нещо повече, ние ще ги представим според това как става развитието на възгледите от степен с естествен показател към степен с реален показател.

Както е известно, на този етап първо се запознават със степента на число с естествен показател, първите най-прости степенни изрази от вида 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1); 4, 3 a 2 се появяват −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.н.

Малко по-късно се изучава степента на число с цяло число, което води до появата на степенни изрази с цели отрицателни степени, като следното: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

В гимназията се връщат към степени. Там се въвежда степен с рационален показател, което води до появата на съответните степенни изрази: , , и така нататък. Накрая се разглеждат степени с ирационални показатели и изрази, които ги съдържат: , .

Въпросът не се ограничава до изброените степенни изрази: по-нататък променливата прониква в експонентата и например възникват следните изрази: 2 x 2 +1 или . И след като се запознаем с , започват да се появяват изрази със степени и логаритми, например x 2·lgx −5·x lgx.

И така, ние се справихме с въпроса какво представляват изразите на мощност. След това ще се научим да ги трансформираме.

Основни типове преобразувания на степенни изрази

Със степенни изрази можете да извършите всяка от основните трансформации на идентичност на изрази. Например, можете да отворите скоби, да замените числови изрази с техните стойности, да добавите подобни термини и т.н. Естествено, в този случай е необходимо да се следва приетата процедура за извършване на действия. Да дадем примери.

Пример.

Изчислете стойността на степенния израз 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според реда на изпълнение на действията първо изпълнете действията в скоби. Там, първо, заместваме степента 4 2 с нейната стойност 16 (ако е необходимо, вижте), и второ, изчисляваме разликата 16−12=4. Ние имаме 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В получения израз заместваме степента 2 3 с нейната стойност 8, след което изчисляваме произведението 8·4=32. Това е желаната стойност.

Така, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Отговор:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Пример.

Опростете изрази със степени 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очевидно този израз съдържа подобни членове 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 и можем да ги представим: .

Отговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз със степени като произведение.

Решение.

Можете да се справите със задачата, като представите числото 9 като степен на 3 2 и след това използвате формулата за съкратено умножение - разлика на квадратите:

Отговор:

Съществуват и редица идентични трансформации, присъщи специално на изразите на мощност. Ще ги анализираме допълнително.

Работа с основа и степен

Има степени, чиято основа и/или експонента не са просто числа или променливи, а някои изрази. Като пример даваме записите (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Когато работите с такива изрази, можете да замените както израза в основата на степента, така и израза в експонентата с идентично равен израз в ODZ на неговите променливи. С други думи, според известните ни правила, можем отделно да трансформираме основата на степента и отделно експонентата. Ясно е, че в резултат на тази трансформация ще се получи израз, който е идентично равен на първоначалния.

Такива трансформации ни позволяват да опростим изрази със способности или да постигнем други цели, от които се нуждаем. Например в израза на степен, споменат по-горе (2+0,3 7) 5−3,7, можете да извършвате операции с числата в основата и степента, което ще ви позволи да преминете към степен 4,1 1,3. И след като отворим скобите и приведем подобни членове към основата на степента (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), получаваме степенен израз на по-проста форма a 2·(x+ 1) .

Използване на свойства на степен

Един от основните инструменти за трансформиране на изрази със степени са равенствата, които отразяват . Нека си припомним основните. За всякакви положителни числа a и b и произволни реални числа r и s са верни следните свойства на степените:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Имайте предвид, че за естествени, цели и положителни показатели ограниченията за числата a и b може да не са толкова строги. Например за естествените числа m и n равенството a m ·a n =a m+n е вярно не само за положителни a, но и за отрицателни, и за a=0.

В училище, когато се трансформират изрази на мощност, основният фокус е върху способността да се избере подходящото свойство и да се приложи правилно. В този случай основите на степените обикновено са положителни, което позволява свойствата на степените да се използват без ограничения. Същото важи и за трансформацията на изрази, съдържащи променливи в основите на мощностите - обхватът на допустимите стойности на променливите обикновено е такъв, че базите приемат само положителни стойности върху него, което ви позволява свободно да използвате свойствата на мощностите . Като цяло, трябва постоянно да се питате дали е възможно да използвате някакво свойство на степени в този случай, тъй като неточното използване на свойства може да доведе до стесняване на образователната стойност и други проблеми. Тези точки са обсъдени подробно и с примери в статията трансформация на изрази, използващи свойства на степени. Тук ще се ограничим до разглеждането на няколко прости примера.

Пример.

Изразете израза a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 като степен с основа a.

Решение.

Първо, трансформираме втория множител (a 2) −3, използвайки свойството за повишаване на степен на степен: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Оригиналният израз на степен ще приеме формата a 2,5 ·a −6:a −5,5. Очевидно остава да използваме свойствата на умножение и деление на степени с една и съща основа, която имаме
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Отговор:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Свойствата на степените при преобразуване на степенни изрази се използват както отляво надясно, така и отдясно наляво.

Пример.

Намерете стойността на степенния израз.

Решение.

Равенството (a·b) r =a r ·b r, приложено отдясно наляво, ни позволява да преминем от оригиналния израз към продукт на формата и по-нататък. И когато се умножават степени с еднакви основи, показателите се събират: .

Беше възможно да се трансформира оригиналният израз по друг начин:

Отговор:

.

Пример.

Даден е степенният израз a 1,5 −a 0,5 −6 , въведете нова променлива t=a 0,5 .

Решение.

Степента a 1,5 може да бъде представена като 0,5 3 и след това, въз основа на свойството на степента към степен (a r) s =a r s, приложено отдясно наляво, да го трансформира във формата (a 0,5) 3. По този начин, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Сега е лесно да въведем нова променлива t=a 0,5, получаваме t 3 −t−6.

Отговор:

t 3 −t−6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Изразите на степен могат да съдържат или представляват дроби със степени. Всяка от основните трансформации на дроби, които са присъщи на всякакъв вид дроби, е напълно приложима за такива дроби. Тоест дроби, които съдържат степени, могат да бъдат намалени, намалени до нов знаменател, да се работи отделно с техния числител и отделно със знаменателя и т.н. За да илюстрирате тези думи, помислете за решения на няколко примера.

Пример.

Опростете израза на мощността .

Решение.

Този израз на мощност е дроб. Нека работим с неговия числител и знаменател. В числителя отваряме скобите и опростяваме получения израз, използвайки свойствата на степените, а в знаменателя представяме подобни термини:

И нека също да променим знака на знаменателя, като поставим минус пред дробта: .

Отговор:

.

Редуцирането на дроби, съдържащи степени, до нов знаменател се извършва подобно на редуцирането на рационални дроби до нов знаменател. В този случай също се намира допълнителен множител и числителят и знаменателят на дробта се умножават по него. Когато извършвате това действие, си струва да запомните, че намаляването до нов знаменател може да доведе до стесняване на ODZ. За да предотвратите това да се случи, е необходимо допълнителният коефициент да не отива на нула за никакви стойности на променливите от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример.

Намалете дробите до нов знаменател: а) до знаменател а, б) към знаменателя.

Решение.

а) В този случай е доста лесно да разберете кой допълнителен множител помага за постигане на желания резултат. Това е множител на 0,3, тъй като a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Обърнете внимание, че в диапазона от допустими стойности на променливата a (това е наборът от всички положителни реални числа), силата на a 0,3 не изчезва, следователно имаме право да умножим числителя и знаменателя на даден част от този допълнителен фактор:

б) Като погледнете по-отблизо знаменателя, ще откриете това

и умножаването на този израз по ще даде сумата от кубове и , т.е. И това е новият знаменател, до който трябва да намалим първоначалната дроб.

Ето как открихме допълнителен фактор. В обхвата на допустимите стойности на променливите x и y изразът не изчезва, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на фракцията по него:

Отговор:

а) , б) .

Също така няма нищо ново в намаляването на дроби, съдържащи степени: числителят и знаменателят са представени като редица множители и същите множители на числителя и знаменателя са намалени.

Пример.

Намалете дроба: а) , б) .

Решение.

а) Първо, числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с числата 30 и 45, което е равно на 15. Също така очевидно е възможно да се извърши редукция с x 0,5 +1 и с . Ето какво имаме:

б) В този случай еднаквите множители в числителя и знаменателя не се виждат веднага. За да ги получите, ще трябва да извършите предварителни трансформации. В този случай те се състоят в разлагане на знаменателя на множители с помощта на формулата за разликата на квадратите:

Отговор:

а)

б) .

Преобразуването на дроби в нов знаменател и съкращаването на дроби се използват главно за извършване на неща с дроби. Действията се извършват по известни правила. При събиране (изваждане) на дроби те се свеждат до общ знаменател, след което числителите се събират (изваждат), но знаменателят остава същият. Резултатът е дроб, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите. Делението с дроб е умножение с обратното му.

Пример.

Следвай стъпките .

Решение.

Първо, изваждаме дробите в скобите. За да направим това, ги привеждаме към общ знаменател, който е , след което изваждаме числителите:

Сега умножаваме дробите:

Очевидно е възможно да се намали на степен x 1/2, след което имаме .

Можете също така да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: .

Отговор:

Пример.

Опростете Power Expression .

Решение.

Очевидно тази дроб може да бъде намалена с (x 2,7 +1) 2, това дава дробта . Ясно е, че трябва да се направи нещо друго със правомощията на X. За да направим това, трансформираме получената фракция в продукт. Това ни дава възможност да се възползваме от свойството за деление на степени с еднакви бази: . И в края на процеса преминаваме от последния продукт към фракцията.

Отговор:

.

И нека добавим също, че е възможно и в много случаи желателно да се прехвърлят множители с отрицателни показатели от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя, като се промени знакът на степента. Такива трансформации често опростяват по-нататъшни действия. Например, степенен израз може да бъде заменен с .

Преобразуване на изрази с корени и степени

Често в изрази, в които се изискват някои трансформации, заедно със степени присъстват и корени с дробни показатели. За да трансформирате такъв израз в желаната форма, в повечето случаи е достатъчно да отидете само до корени или само до степени. Но тъй като е по-удобно да се работи с правомощия, те обикновено преминават от корени към правомощия. Въпреки това е препоръчително да извършите такъв преход, когато ODZ на променливите за оригиналния израз ви позволява да замените корените със степени, без да е необходимо да се позовавате на модула или да разделяте ODZ на няколко интервала (обсъдихме това подробно в членът преход от корени към степени и обратно След запознаване със степента с рационален показател се въвежда степен с ирационален показател, което ни позволява да говорим за степен с произволен реален показател На този етап започва да бъде учи в училище. експоненциална функция, което е аналитично дадено чрез степен, чиято основа е число, а показателят е променлива. Така се сблъскваме със степенни изрази, съдържащи числа в основата на степента, а в показателя - изрази с променливи, и естествено възниква необходимостта да се извършват трансформации на такива изрази.

Трябва да се каже, че трансформацията на изрази от посочения тип обикновено трябва да се извърши при решаването експоненциални уравненияИ експоненциални неравенстваи тези преобразувания са доста прости. В преобладаващата част от случаите те се основават на свойствата на степента и са насочени в по-голямата си част към въвеждане на нова променлива в бъдеще. Уравнението ще ни позволи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Първо, степените, в експонентите на които е сумата от определена променлива (или израз с променливи) и число, се заменят с продукти. Това се отнася за първия и последния член на израза от лявата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

След това двете страни на равенството се разделят на израза 7 2 x, който на ODZ на променливата x за оригиналното уравнение приема само положителни стойности (това е стандартна техника за решаване на уравнения от този тип, ние не сме говорим за това сега, така че се фокусирайте върху последващите трансформации на изрази със степени):

Сега можем да съкратим дроби със степен, което дава .

И накрая, съотношението на степените с еднакви показатели се заменя със степени на отношенията, което води до уравнението , което е еквивалентно . Направените трансформации ни позволяват да въведем нова променлива, която редуцира решението на първоначалното експоненциално уравнение до решението на квадратно уравнение

И. В. Бойков, Л. Д. РомановаСборник от задачи за подготовка за единния държавен изпит. Част 1. Пенза 2003 г.

Урок и презентация на тема: "Показател с отрицателен показател. Определение и примери за решаване на задачи"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина Интеграл за 8 клас
Ръководство за учебника Muravin G.K. Ръководство към учебника на Алимов Ш.А.

Определяне на степен с отрицателен показател

Момчета, добри сме в повишаването на числата на степени.
Например: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Знаем добре, че всяко число на нулева степен е равно на единица. $a^0=1$, $a≠0$.
Възниква въпросът какво се случва, ако повдигнете число на отрицателна степен? Например, на какво ще бъде равно числото $2^(-2)$?
Първите математици, които зададоха този въпрос, решиха, че няма смисъл да изобретяват колелото и е добре всички свойства на степените да останат същите. Тоест, когато се умножават степени с една и съща основа, показателите се събират.
Нека разгледаме този случай: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Открихме, че произведението на такива числа трябва да дава едно. Единицата в продукта се получава чрез умножаване на реципрочните числа, тоест $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Такива разсъждения доведоха до следното определение.
Определение. Ако $n$ е естествено число и $a≠0$, тогава е валидно равенството: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Важна идентичност, която често се използва, е: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
По-специално, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Примери за решения

Пример 1.
Изчислете: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Решение.
Нека разгледаме всеки термин поотделно.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Остава да извършите операции събиране и изваждане: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Отговор: $6\frac(1)(4)$.

Пример 2.
Представете дадено число като степен на просто число $\frac(1)(729)$.

Решение.
Очевидно $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Но 729 не е просто число, завършващо на 9. Може да се предположи, че това число е степен на три. Последователно разделете 729 на 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Извършени са шест операции и това означава: $729=3^6$.
За нашата задача:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Отговор: $3^(-6)$.

Пример 3. Изразете израза като степен: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Решение. Първото действие винаги се извършва в скоби, след това умножението $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Отговор: $a$.

Пример 4. Докажете идентичността:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Решение.
От лявата страна разглеждаме всеки фактор в скоби отделно.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Да преминем към дроба, на който делим.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Да направим делението.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Получихме правилната самоличност, която трябваше да докажем.

В края на урока отново ще запишем правилата за работа със степени, тук показателят е цяло число.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Проблеми за самостоятелно решаване

1. Изчислете: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Представете даденото число като степен на просто число $\frac(1)(16384)$.
3. Изразете израза като степен:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Докажете самоличността:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.