Tento článek je obecný pohled na operace se zlomky. Zde formulujeme a zdůvodňujeme pravidla pro sčítání, odčítání, násobení, dělení a umocňování zlomků obecného tvaru A/B, kde A a B jsou nějaká čísla, číselné výrazy nebo výrazy s proměnnými. Materiál jako obvykle dodáme s vysvětlujícími příklady s podrobné popisyřešení.

Navigace na stránce.

Pravidla pro provádění operací s číselnými zlomky obecného tvaru

Domluvme se na číslech obecný pohled rozumět zlomkům, ve kterých může být čitatel a/nebo jmenovatel reprezentován nejen přirozenými čísly, ale i jinými čísly nebo číselnými výrazy. Pro přehlednost uvádíme několik příkladů takových zlomků: .

Známe pravidla, podle kterých . Podle stejných pravidel můžete provádět operace se zlomky obecného tvaru:

Odůvodnění pravidel

Abychom zdůvodnili platnost pravidel pro provádění akcí s obecnými číselnými zlomky, můžeme začít z následujících bodů:

• zlomkový pruh je v podstatě znakem dělení,
• dělení nějakým nenulovým číslem lze považovat za násobení převrácenou hodnotou dělitele (tím se hned vysvětluje pravidlo dělení zlomků),
• vlastnosti akcí s reálnými čísly,
• a jeho obecné chápání,

Umožňují vám provádět následující transformace, zdůvodňující pravidla sčítání, odčítání zlomků se stejnými a různých jmenovatelů, stejně jako pravidlo pro násobení zlomků:

Příklady

Uveďme příklady provedení akce se zlomky obecného tvaru podle pravidel naučených v předchozím odstavci. Řekněme si hned, že obvykle po provedení operací se zlomky výsledný zlomek vyžaduje zjednodušení a proces zjednodušení zlomku je často obtížnější než provedení předchozích akcí. Nebudeme se zdržovat zjednodušením zlomků (odpovídajícím transformacím se věnujeme v článku Transformace zlomků), abychom nebyli odvedeni od tématu, které nás zajímá.

Začněme příklady sčítání a odčítání zlomků s stejných jmenovatelů. Začneme sečtením zlomků a . Je zřejmé, že jmenovatelé jsou si rovni. Podle odpovídajícího pravidla zapíšeme zlomek, jehož čitatel se rovná součtučitatelů původních zlomků a jmenovatele ponechte stejný, máme . Přidání je hotovo, zbývá zjednodušit výsledný zlomek: . Tak, .

Bylo možné provést rozhodnutí jiným způsobem: nejprve provést přechod na běžné zlomky a poté provést sčítání. S tímto přístupem máme .

Nyní odečtěte od zlomku zlomek . Jmenovatelé zlomků jsou si rovni, proto postupujeme podle pravidla pro odečítání zlomků se stejnými jmenovateli:

Přejděme k příkladům sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli. Zde hlavní problém spočívá v přivedení zlomků ke společnému jmenovateli. Pro zlomky obecného tvaru jde o poměrně rozsáhlé téma, podrobně jej rozebereme v samostatném článku. snížení zlomků na společného jmenovatele. Nyní se omezíme na pár obecná doporučení, protože nás v tuto chvíli více zajímá technika provádění akcí se zlomky.

Obecně je proces podobný redukci na společného jmenovatele obyčejných zlomků. To znamená, že jmenovatelé jsou prezentováni jako součiny, pak se vezmou všechny faktory ze jmenovatele prvního zlomku a k nim se přidají chybějící faktory ze jmenovatele druhého zlomku.

Když jmenovatelé sčítaných nebo odečítaných zlomků nemají společné faktory, pak je logické brát jejich součin jako společného jmenovatele. Vezměme si příklad.

Řekněme, že potřebujeme sečíst zlomky a 1/2. Zde je jako společného jmenovatele logické vzít součin jmenovatelů původních zlomků, tedy . V tomto případě bude dodatečný faktor pro první zlomek 2 . Po vynásobení čitatele a jmenovatele jím získá zlomek tvar . A pro druhý zlomek je dalším faktorem výraz. S jeho pomocí se zlomek 1/2 zredukuje do tvaru. Zbývá sečíst výsledné zlomky se stejnými jmenovateli. Zde je shrnutí celého řešení:

U zlomků obecného tvaru již nehovoříme o nejmenším společném jmenovateli, na který se obyčejné zlomky obvykle redukují. I když v této věci je stále žádoucí usilovat o nějaký minimalismus. Tím chceme říci, že není nutné hned brát za společného jmenovatele součin jmenovatelů původních zlomků. Například není vůbec nutné brát společného jmenovatele zlomků a součinu . Zde jako společného jmenovatele můžeme vzít .

Zaměříme se na příklady násobení zlomků obecného tvaru. Vynásobte zlomky a . Pravidlo pro provedení této akce nám říká, abychom zapsali zlomek, jehož čitatel je součinem čitatelů původních zlomků a jmenovatel je součinem jmenovatelů. My máme . Zde, stejně jako v mnoha jiných případech při násobení zlomků, můžete zlomek zmenšit: .

Pravidlo pro dělení zlomků umožňuje přejít od dělení k násobení reciprokou. Zde si musíte pamatovat, že abyste získali zlomek převrácený k danému zlomku, musíte prohodit čitatel a jmenovatel tohoto zlomku. Zde je příklad přechodu od dělení obecných zlomků k násobení: . Zbývá provést násobení a zjednodušit výsledný zlomek (v případě potřeby viz transformace iracionálních výrazů):

Na závěr informací z tohoto odstavce připomínáme, že jakékoli číslo nebo číselný výraz lze vyjádřit jako zlomek se jmenovatelem 1, proto lze sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel a zlomků považovat za provedení vhodnou akci se zlomky, z nichž jeden má ve jmenovateli jednotku. Například nahrazení ve výrazu odmocniny tří zlomků, budeme postupovat od násobení zlomku číslem k násobení dvou zlomků: .

Provádění operací se zlomky obsahujícími proměnné

Pravidla z první části tohoto článku platí i pro provádění operací se zlomky, které obsahují proměnné. Zdůvodněme první z nich - pravidlo sčítání a odčítání zlomků se stejnými jmenovateli, ostatní se dokazují úplně stejně.

Dokažme, že pro libovolné výrazy A , C a D (D je shodně nenulové) máme rovnost na jeho rozsahu přijatelných hodnot proměnných.

Vezměme si nějakou sadu proměnných z ODZ. Nechť výrazy A, C a D nabývají hodnot a 0, c 0 a d 0 pro tyto hodnoty proměnných. Poté dosazením hodnot proměnných z vybrané množiny do výrazu se z něj stane součet (rozdíl) číselných zlomků se stejnými jmenovateli tvaru , který podle pravidla sčítání (odečítání) číselných zlomků s stejných jmenovatelů, se rovná . Ale nahrazením hodnot proměnných z vybrané množiny do výrazu se změní na stejný zlomek. To znamená, že pro vybranou sadu hodnot proměnných z ODZ jsou hodnoty výrazů a stejné. Je jasné, že hodnoty uvedených výrazů budou stejné pro jakoukoli jinou sadu hodnot proměnných z ODZ, což znamená, že výrazy a jsou shodně stejné, to znamená, že dokazovaná rovnost je pravdivá. .

Příklady sčítání a odčítání zlomků s proměnnými

Když jsou jmenovatelé zlomků, které se sčítají nebo odčítají, stejné, pak je vše docela jednoduché - čitatelia se sčítají nebo odečítají a jmenovatel zůstává stejný. Je zřejmé, že frakce získaná poté je zjednodušena, pokud je to nutné a možné.

Všimněte si, že někdy se jmenovatelé zlomků liší jen na první pohled, ale ve skutečnosti se jedná o shodně stejné výrazy, jako např. a , nebo a . A někdy stačí počáteční zlomky zjednodušit, aby se „objevily“ jejich shodné jmenovatele.

Příklad.

, b) , v) .

Řešení.

a) Potřebujeme odečítat zlomky se stejnými jmenovateli. Podle odpovídajícího pravidla necháme jmenovatele stejného a odečteme čitatele, máme . Akce provedena. Ale stále můžete otevřít závorky v čitateli a přinést podobné výrazy: .

b) Je zřejmé, že jmenovatelé sčítaných zlomků jsou stejní. Proto sečteme čitatele a jmenovatele ponecháme stejný: . Přidání dokončeno. Je však snadné vidět, že výsledný zlomek lze snížit. Čitatel výsledného zlomku lze totiž zmenšit o druhou mocninu součtu jako (lgx+2) 2 (viz zkrácené vzorce pro násobení), takže probíhají následující transformace: .

c) Zlomky v součtu mají různé jmenovatele. Převedením jednoho ze zlomků však můžete přistoupit ke sčítání zlomků se stejnými jmenovateli. Ukážeme dvě řešení.

První způsob. Jmenovatel prvního zlomku lze rozložit pomocí vzorce rozdílu čtverců a poté tento zlomek snížit: . Takto, . Není na škodu zbavit se iracionality ve jmenovateli zlomku: .

Druhý způsob. Vynásobením čitatele a jmenovatele druhého zlomku (tento výraz nezmizí pro žádné hodnoty proměnné x z DPV pro původní výraz) vám umožní dosáhnout dvou cílů najednou: zbavit se iracionality a přejít na sčítání zlomky se stejnými jmenovateli. My máme

Odpovědět:

A) , b) , v) .

Poslední příklad nás přivedl k otázce přivedení zlomků ke společnému jmenovateli. Tam jsme se téměř náhodou dostali ke stejným jmenovatelům, zjednodušujícím jeden ze sčítaných zlomků. Ale ve většině případů se při sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli musí cíleně přivést zlomky ke společnému jmenovateli. K tomu se jmenovatelé zlomků obvykle prezentují jako součiny, všechny faktory se převezmou ze jmenovatele prvního zlomku a doplní se k nim chybějící faktory ze jmenovatele druhého zlomku.

Příklad.

Provádějte akce se zlomky: a) , před naším letopočtem) .

Řešení.

a) Se jmenovateli zlomků není třeba nic dělat. Jako společného jmenovatele bereme produkt . V tomto případě je dalším faktorem pro první zlomek výraz a pro druhý zlomek - číslo 3. Tyto dodatečné faktory přinášejí zlomky do společného jmenovatele, což nám dále umožňuje provést akci, kterou potřebujeme, kterou máme

b) V tomto příkladu jsou jmenovatelé již prezentováni jako součiny a nejsou nutné žádné další transformace. Je zřejmé, že faktory ve jmenovatelích se liší pouze v exponentech, proto jako společný jmenovatel bereme součin faktorů s největšími exponenty, tzn. . Pak bude dodatečný faktor pro první zlomek x 4 a pro druhý - ln(x+1) . Nyní jsme připraveni odečítat zlomky:

c) A v tomto případě budeme pro začátek pracovat se jmenovateli zlomků. Vzorce rozdílu druhých mocnin a druhé mocniny součtu umožňují přejít od původního součtu k výrazu . Nyní je jasné, že tyto zlomky lze zredukovat na společného jmenovatele . S tímto přístupem bude řešení další pohled:

Odpovědět:

A)

b)

v)

Příklady násobení zlomků s proměnnými

Násobením zlomků se získá zlomek, jehož čitatel je součinem čitatelů původních zlomků a jmenovatel je součin jmenovatelů. Zde, jak vidíte, je vše známé a jednoduché a můžeme jen dodat, že zlomek získaný v důsledku této akce se často snižuje. V těchto případech se snižuje, pokud to samozřejmě není nutné a odůvodněné.

V článku si ukážeme jak řešit zlomky s jednoduchými jasnými příklady. Pojďme pochopit, co je zlomek a zvážit řešení zlomků!

pojem zlomky je uveden do kurzu matematiky od 6. ročníku střední školy.

Zlomky vypadají takto: ±X / Y, kde Y je jmenovatel, říká, na kolik částí byl celek rozdělen, a X je čitatel, říká, kolik takových částí bylo vzato. Pro názornost si uveďme příklad s dortem:

V prvním případě se dort nakrájel stejně a odebrala se jedna polovina, tzn. 1/2. V druhém případě se dort rozřezal na 7 dílů, ze kterých se odebraly 4 díly, tzn. 4/7.

Pokud část dělení jednoho čísla druhým není celé číslo, zapíše se jako zlomek.

Například výraz 4:2 \u003d 2 dává celé číslo, ale 4:7 není zcela dělitelné, takže tento výraz je zapsán jako zlomek 4/7.

Jinými slovy zlomek je výraz, který označuje dělení dvou čísel nebo výrazů a který se píše s lomítkem.

Je-li čitatel menší než jmenovatel, je zlomek správný, je-li naopak, je nesprávný. Zlomek může obsahovat celé číslo.

Například 5 celých 3/4.

Tento záznam znamená, že k získání celých 6 nestačí jedna část ze čtyř.

Pokud si chcete vzpomenout jak řešit zlomky pro 6. ročník musíte to pochopit řešení zlomků v podstatě jde o pochopení několika jednoduchých věcí.

• Zlomek je v podstatě výraz pro zlomek. Tedy číselné vyjádření toho, o jaký díl se jedná daná hodnota z jednoho celku. Například zlomek 3/5 vyjadřuje, že rozdělíme-li něco celku na 5 dílů a počet dílů nebo dílů tohoto celku je tři.
• Zlomek může být menší než 1, například 1/2 (nebo v podstatě polovina), pak je to správně. Pokud je zlomek větší než 1, například 3/2 (tři poloviny nebo jeden a půl), pak je to špatně a pro zjednodušení řešení je pro nás lepší vybrat celou část 3/2= 1 celá 1 /2.
• Zlomky jsou stejná čísla jako 1, 3, 10 a dokonce i 100, pouze čísla nejsou celá, ale zlomková. S nimi můžete provádět všechny stejné operace jako s čísly. Počítání zlomků není složitější a dále si to ukážeme na konkrétních příkladech.

Jak řešit zlomky. Příklady.

Pro zlomky lze použít řadu aritmetických operací.

Přivedení zlomku ke společnému jmenovateli

Například je třeba porovnat zlomky 3/4 a 4/5.

Pro vyřešení problému nejprve najdeme nejnižšího společného jmenovatele, tzn. nejmenší číslo, které je beze zbytku dělitelné každým ze jmenovatelů zlomků

Nejmenší společný jmenovatel (4,5) = 20

Poté se jmenovatel obou zlomků zredukuje na nejnižšího společného jmenovatele

Odpověď: 15/20

Sčítání a odčítání zlomků

Pokud je nutné vypočítat součet dvou zlomků, přivedou se nejprve ke společnému jmenovateli, poté se sečtou čitatelia, přičemž jmenovatel zůstane nezměněn. Rozdíl zlomků je uvažován podobným způsobem, jediný rozdíl je v tom, že se čitatelé odečítají.

Například potřebujete najít součet zlomků 1/2 a 1/3

Nyní najděte rozdíl mezi zlomky 1/2 a 1/4

Násobení a dělení zlomků

Zde je řešení zlomků jednoduché, zde je vše docela jednoduché:

• Násobení - čitatelé a jmenovatelé zlomků se mezi sebou násobí;
• Dělení - nejprve dostaneme zlomek, převrácenou hodnotu druhého zlomku, tzn. prohodíme jeho čitatele a jmenovatele, načež výsledné zlomky vynásobíme.

Například:

Na tomto o jak řešit zlomky, Všechno. Pokud máte nějaké dotazy ohledně řešení zlomků, něco není jasné, tak napište do komentářů a my vám odpovíme.

Pokud jste učitel, je možné si prezentaci stáhnout pro základní škola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) přijde vhod.

Aritmetické operace s obyčejnými zlomky

1. Doplnění.

Chcete-li sečíst zlomky se stejnými jmenovateli, sečtěte jejich čitatele a jmenovatele ponechte stejný.

Příklad. .

Chcete-li sečíst zlomky s různými jmenovateli, musíte je přivést k nejnižšímu společnému jmenovateli a poté sečíst výsledné čitatele a pod součet podepsat společného jmenovatele.

Příklad.

Stručně napsáno takto:

Chcete-li přidat smíšená čísla, musíte samostatně najít součet celých čísel a součet zlomkových částí. Akce se píše takto:

2. Odečítání.

Chcete-li odečíst zlomky se stejnými jmenovateli, musíte odečíst čitatele odečteného od čitatele minuendu a ponechat stejného jmenovatele. Akce se píše takto:

Chcete-li odečíst zlomky s různými jmenovateli, musíte je nejprve přivést k nejmenšímu společnému jmenovateli, poté odečíst čitatel podtrahendu od čitatele minuendu a pod jejich rozdíl podepsat společného jmenovatele. Akce se píše takto:

Pokud potřebujete odečíst jedno smíšené číslo od jiného smíšeného čísla, pak pokud možno odečtěte zlomek od zlomku a celek od celku. Akce se píše takto:

Pokud je zlomek subtrahendu větší než zlomek minuendu, odebere se jedna jednotka z celého čísla minuendu, rozdělí se na příslušné podíly a přičte se ke zlomku minuendu, načež se postupuje tak, jak je popsáno výše. Akce se píše takto:

Udělejte totéž, když potřebujete odečíst zlomkové číslo od celého čísla.

Příklad. .

3. Rozšíření vlastností sčítání a odčítání na zlomková čísla.Všechny zákony a vlastnosti sčítání a odčítání přirozená čísla platí i pro zlomková čísla. Jejich použití v mnoha případech značně zjednodušuje proces výpočtu.

4. Násobení.

Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vynásobit čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem a vytvořit z prvního součinu čitatele az druhého součinu jmenovatele.

Při násobení by se mělo (pokud je to možné) provést redukci.

Příklad. .

Pokud vezmeme v úvahu, že celé číslo je zlomek se jmenovatelem 1, lze násobení zlomku celým číslem a celého čísla zlomkem provést podle stejného pravidla.

Příklady.

5. Násobení smíšených čísel.

Chcete-li vynásobit smíšená čísla, musíte je nejprve převést na nesprávné zlomky a pak vynásobte pravidlem násobení zlomků.

Příklad. .

6. Dělení zlomku zlomkem.

Chcete-li zlomek vydělit zlomkem, musíte vynásobit čitatele prvního zlomku jmenovatelem druhého a jmenovatel prvního zlomkem čitatele druhého a napsat první součin jako čitatele a druhý jako jmenovatel.

Příklad. .

Stejným pravidlem můžete dělit zlomek celým číslem a celé číslo zlomkem, pokud celé číslo reprezentujete jako zlomek se jmenovatelem 1.

Příklady.

7. Dělení smíšených čísel.

K provedení dělení smíšených čísel se nejprve převedou na nesprávné zlomky a poté se rozdělí podle pravidla pro dělení zlomků.

Příklad. .

8. Nahrazení dělení násobením.

Pokud prohodíte čitatel a jmenovatel v libovolném zlomku, dostanete nový zlomek, převrácený k danému. Například za zlomekreciproční bude.

Je zřejmé, že součin dvou reciprokých hodnot je 1.

1. Hledání zlomku čísla.

Existuje mnoho problémů, ve kterých musíte najít část nebo zlomek daného čísla. Takové problémy se řeší násobením.

Úkol. Hosteska měla 20 rublů;používala je na nákupy. Kolik stojí nákupy?

Zde musíte najítčíslo 20. Můžete to udělat takto:

Odpovědět. Hosteska utratila 8 rublů.

Příklady. Najděte z 30. Řešení. .

Najít z . Řešení. .

1. Hledání čísla podle známé hodnoty jeho zlomku.

Někdy je potřeba určit celé číslo ze známé části čísla a zlomku vyjadřujícího tuto část. Takové úkoly se řeší dělením.

Úkol. Ve třídě je 12 členů Komsomolu, což ječást všech studentů ve třídě. Kolik studentů je ve třídě?

Řešení. .

Odpovědět. 20 studentů.

Příklad. Najděte číslocož je 34.

Řešení. .

Odpovědět. Požadované číslo je.

1. Zjištění poměru dvou čísel.

Zvažme problém: Dělník vyrobil 40 dílů za den. Jakou část měsíčního úkolu splnil pracovník, pokud má měsíční plán 400 dílů?

Řešení. .

Odpovědět. Dělník dokončensoučástí měsíčního plánu.

V tomto případě je část (40 dílů) vyjádřena jako zlomky celku (400 dílů). Také říkají, že byl zjištěn poměr počtu vyrobených dílů za den k měsíčnímu plánu.

1. Převod desetinného čísla na běžný zlomek.

Převést desetinný do obyčejného, ​​zapíše se se jmenovatelem a pokud možno redukuje:

Příklady.

1. Převod zlomku na desetinné číslo.

Existuje několik způsobů, jak převést běžný zlomek na desetinné číslo.

První způsob. Chcete-li převést zlomek na desetinné číslo, musíte vydělit čitatele jmenovatelem.

Příklady. .

Druhý způsob. Chcete-li změnit obyčejný zlomek na desetinné číslo, musíte vynásobit čitatel a jmenovatel tohoto zlomku takovým číslem, aby jmenovatel byl jedna s nulami (pokud je to možné).

Příklad.

1. Porovnejte desetinná místa podle velikosti. Chcete-li zjistit, který ze dvou desetinných zlomků je větší, musíte porovnat celé jejich části, desetiny, setiny atd. Jsou-li celé části stejné, zlomek s více desetiny je větší; jsou-li celá čísla a desetinná čísla stejná, je větší číslo s více setinami atd.

Příklad. Ze tří zlomků 2,432; 2,41 a 2,4098 je největší první, protože má nejvíce setin a celé a desetiny jsou ve všech zlomcích stejné.

Operace s desetinnými místy

1. Násobení a dělení desetinného čísla 10, 100, 1000 atd.

Chcete-li vynásobit desetinné místo 10, 100, 1000 atd. musíte čárku posunout na jednu, dvě, tři atd. podepsat vpravo. Pokud zároveň pro číslo není dostatek znaků, jsou přiřazeny nuly.

Příklad. 15,45 10 = 154,5; 32,3 100 = 3230.

Chcete-li vydělit desetinné místo 10, 100, 1000 atd., musíte čárku posunout na jednu, dvě, tři atd. podepsat doleva. Pokud není dostatek znamének k posunutí čárky, doplní se jejich počet vlevo o odpovídající počet nul.

Příklady. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5 : 100 = 0,035.

1. Sčítání a odčítání desetinných zlomků.

Desetinná čísla se sčítají a odčítají v podstatě stejným způsobem, jako se sčítají a odčítají přirozená čísla. Číslice se píše pod číslicí, čárka se píše pod čárkou

Příklady.

1. Násobení desetinných míst.

K vynásobení dvou desetinných zlomků stačí, aniž bychom dávali pozor na čárky, vynásobit je jako celá čísla a v součinu oddělit čárkou vpravo tolik desetinných míst, kolik bylo v násobidle a součiniteli dohromady.

Příklad 1. 2,064 0,05.

Vynásobíme celá čísla 2064 5 = 10320. První faktor měl tři desetinná místa, druhý - dvě. Produkt musí mít pět desetinných míst. Oddělíme je vpravo a získáme 0,10320. Nulu na konci lze zahodit: 2,064 0,05 = 0,1032.

Příklad 2. 1,125 0,08; 1125 8 = 9000.

Počet desetinných míst by měl být 3 + 2 = 5. Nalevo od 9000 (009000) přiřadíme nuly a oddělíme pět znaků zprava. Dostaneme 1,125 0,08 = 0,09000 = 0,09.

1. Dělení desetinných míst.

Uvažují se dva případy dělení desetinných zlomků beze zbytku: 1) dělení desetinného zlomku celým číslem; 2) dělení čísla (celého nebo zlomkového) desetinným zlomkem.

Dělení desetinného čísla celým číslem je stejné jako dělení celých čísel; výsledné zbytky se dělí postupně na menší desetinné části a dělení pokračuje, dokud není zbytek nulový.

Příklady.

Dělení čísla (celého nebo zlomkového) desetinným místem ve všech případech vede k dělení celým číslem. Chcete-li to provést, zvyšte dělitele o 10, 100, 1000 atd. krát, a aby se kvocient nezměnil, zvýší se dividenda o stejný počet krát, načež se vydělí celým číslem (jako v prvním případě).

Příklad. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;

1. Příklady společných akcí s obyčejnými a desetinnými zlomky.

Nejprve zvažte příklad všech akcí s desetinnými zlomky.

Příklad 1 Vypočítejte:

Zde využívají redukci dividendy a dělitele na celé číslo s přihlédnutím k tomu, že se podíl nemění. Pak máme:

Při řešení příkladů na společné akce s obyčejnými a desetinnými zlomky lze některé akce provádět v desetinných zlomcích a některé v obyčejných. Je třeba mít na paměti, že tomu tak není vždy společný zlomek lze převést na konečné desetinné číslo. Proto je zápis jako desetinný zlomek možný pouze tehdy, když je ověřeno, že takový převod je možný.

Příklad 2 Vypočítejte:

Zájem

Koncept zájmu.Procento čísla je setina tohoto čísla. Například místo „54 procent všech obyvatel naší země jsou ženy“, můžete říci „54 procent všech obyvatel naší země jsou ženy“. Místo slova „procenta“ píší i znak %, např. 35 % znamená 35 procent.

Protože procento je setina, vyplývá z toho, že procento je zlomek se jmenovatelem 100. Proto je zlomek 0,49, popř., lze číst jako 49 procent a zapsat bez jmenovatele jako 49 %. Obecně, když určíte, kolik setin je v daném desetinném zlomku, je snadné to zapsat jako procento. K tomu použijte pravidlo: chcete-li zapsat desetinný zlomek v procentech, musíte čárku v tomto zlomku posunout o dvě desetinná místa doprava.

Příklady. 0,33 = 33 %; 1,25 = 125 %; 0,002 = 0,2 %; 21 = 2100 %.

A naopak: 7 % = 0,07; 24,5 % = 0,245; 0,1 % = 0,001; 200 % = 2.

1. Zjištění procent z daného čísla

Úkol. Podle plánu musí tým traktoristů spotřebovat 9 tun paliva. Řidiči traktorů přijali sociální povinnost ušetřit 20 % paliva. Určete úspory paliva v tunách.

Pokud v této úloze místo 20 % napíšeme číslo 0,2 stejné, dostaneme problém najít zlomek čísla. A takové problémy se řeší násobením. Odtud přichází řešení:

20 % = 0,2; 9 0,2 = 1,8 (m).

Výpočty lze také zapsat takto:

(m)

K nalezení pár procent z daného čísla stačí dané číslo vydělit 100 a výsledek vynásobit počtem procent.

Úkol. Dělník v roce 1963 dostával 90 rublů měsíčně a v roce 1964 začal dostávat o 30 % více. Kolik vydělal v roce 1964?

Řešení (první metoda).

1) Kolik rublů navíc pracovník dostal?

(třít.)

90 + 27 = 117 (rub).

Druhý způsob.

1) Kolik procent z předchozího výdělku pobíral pracovník v roce 1964?

100% + 30% = 130%.

2) Jaký byl měsíční plat dělníka v roce 1964?

(třít.)

2. Nalezení čísla z dané hodnoty jeho procenta.

Úkol. V JZD byla kukuřice oseta na ploše 280 hektarů, což je 14 % z celkové osevní plochy. Určete osetou plochu JZD.

Pokud v této úloze místo 14 % napíšeme 0,14 resp, pak dostaneme problém najít číslo podle známé hodnoty jeho zlomku. A takové problémy se řeší dělením.

Řešení. 14 % = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Toto rozhodnutí můžete učinit takto:

(ha)

Chcete-li najít číslo pro danou hodnotu několika procent z ní, stačí tuto hodnotu vydělit počtem procent a vynásobit výsledek 100.

Úkol. V březnu závod vytavil 125,4 t kovu, překročení plánu o 4,5 %. Kolik tun kovu měl závod podle plánu vytavit v březnu?

Řešení.

1) Na kolik procent závod splnil plán v březnu?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) Kolik tun kovu musela rostlina vytavit?

(ha)

1. Zjištění procenta dvou čísel.

Úkol. Je potřeba zorat 300 hektarů půdy. První den se zoralo 120 hektarů. Kolik procent úkolu bylo oráno první den?

Řešení.

První způsob. 300 ha je 100 %, což znamená, že 1 % připadá na 3 ha. Když určíme, kolikrát 3 hektary, což je 1 %, jsou obsaženy ve 120 hektarech, zjistíme, kolik procent úkolu byla půda zorána první den.

120: 3 = 40(%).

Druhý způsob. Když jsme určili, jaká část půdy byla zorána první den, vyjádříme tento zlomek v procentech.

Napíšeme výpočet:

Vypočítat procentočísla a na číslo b , musíte najít poměr a až b a vynásobte to 100.

Jednou z nejdůležitějších věd, jejíž uplatnění můžeme vidět v oborech jako je chemie, fyzika a dokonce i biologie, je matematika. Studium této vědy vám umožňuje rozvíjet některé duševní vlastnosti, zlepšit schopnost koncentrace. Jedním z témat, která si v kurzu "Matematika" zaslouží zvláštní pozornost, je sčítání a odčítání zlomků. Pro mnoho studentů je studium obtížné. Snad náš článek pomůže lépe porozumět tomuto tématu.

Jak odčítat zlomky, jejichž jmenovatelé jsou shodní

Zlomky jsou stejná čísla, se kterými můžete provádět různé akce. Jejich rozdíl od celých čísel spočívá v přítomnosti jmenovatele. Proto při provádění akcí se zlomky musíte prostudovat některé jejich vlastnosti a pravidla. Většina jednoduchý případ je odčítání obyčejných zlomků, jejichž jmenovatelé jsou reprezentováni stejným číslem. Nebude těžké provést tuto akci, pokud znáte jednoduché pravidlo:

• Aby bylo možné od jednoho zlomku odečíst druhý, je nutné odečíst čitatel zlomku, který se má odečíst, od čitatele redukovaného zlomku. Toto číslo zapíšeme do čitatele rozdílu a jmenovatele ponecháme stejný: k / m - b / m = (k-b) / m.

Příklady odčítání zlomků, jejichž jmenovatelé jsou shodné

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od čitatele redukovaného zlomku "7" odečteme čitatele odečteného zlomku "3", dostaneme "4". Toto číslo zapíšeme do čitatele odpovědi a do jmenovatele dáme stejné číslo, které bylo ve jmenovateli prvního a druhého zlomku – „19“.

Níže uvedený obrázek ukazuje několik dalších takových příkladů.

Zvažte složitější příklad, kde se odečítají zlomky se stejnými jmenovateli:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Z čitatele redukovaného zlomku "29" odečtením postupně čitatelů všech následujících zlomků - "3", "8", "2", "7". Ve výsledku dostaneme výsledek „9“, který zapíšeme do čitatele odpovědi a do jmenovatele zapíšeme číslo, které je ve jmenovatelích všech těchto zlomků – „47“.

Sčítání zlomků se stejným jmenovatelem

Sčítání a odčítání obyčejných zlomků se provádí podle stejného principu.

• Chcete-li sečíst zlomky se stejnými jmenovateli, musíte sečíst čitatele. Výsledné číslo je čitatelem součtu a jmenovatel zůstává stejný: k/m + b/m = (k + b)/m.

Podívejme se, jak to vypadá na příkladu:

1/4 + 2/4 = 3/4.

K čitateli prvního členu zlomku - "1" - přidáme čitatel druhého členu zlomku - "2". Výsledek - "3" - je zapsán v čitateli částky a jmenovatel je ponechán stejný, jako byl přítomen ve zlomcích - "4".

Zlomky s různými jmenovateli a jejich odčítání

Již jsme zvažovali akci se zlomky, které mají stejného jmenovatele. Jak vidíme, vědět jednoduchá pravidla, je celkem snadné takové příklady vyřešit. Co když ale potřebujete provést akci se zlomky, které mají různé jmenovatele? Mnoho středoškoláků je z takových příkladů zmateno. Ale i zde platí, že pokud znáte princip řešení, příklady už pro vás nebudou těžké. Existuje zde také pravidlo, bez kterého je řešení takových zlomků prostě nemožné.

Chcete-li odečíst zlomky s různými jmenovateli, je třeba je zredukovat na stejného nejmenšího jmenovatele.



O tom, jak to udělat, si povíme podrobněji.

Vlastnost zlomku

Chcete-li snížit několik zlomků na stejného jmenovatele, musíte v řešení použít hlavní vlastnost zlomku: po dělení nebo vynásobení čitatele a jmenovatele stejným číslem získáte zlomek rovný danému.

Takže například zlomek 2/3 může mít jmenovatele jako "6", "9", "12" atd., to znamená, že může vypadat jako jakékoli číslo, které je násobkem "3". Poté, co vynásobíme čitatele a jmenovatele "2", dostaneme zlomek 4/6. Poté, co vynásobíme čitatel a jmenovatel původního zlomku "3", dostaneme 6/9, a pokud provedeme podobnou akci s číslem "4", dostaneme 8/12. V jedné rovnici to lze zapsat jako:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Jak přivést více zlomků ke stejnému jmenovateli

Zvažte, jak zredukovat několik zlomků na stejného jmenovatele. Vezměte si například zlomky zobrazené na obrázku níže. Nejprve musíte určit, jaké číslo se může stát jmenovatelem pro všechny z nich. Abychom to usnadnili, rozložme dostupné jmenovatele na faktory.

Jmenovatel zlomku 1/2 a zlomku 2/3 nelze rozložit. Jmenovatel 7/9 má dva faktory 7/9 = 7/(3 x 3), jmenovatel zlomku 5/6 = 5/(2 x 3). Nyní musíte určit, které faktory budou pro všechny tyto čtyři zlomky nejmenší. Vzhledem k tomu, že první zlomek má ve jmenovateli číslo „2“, znamená to, že musí být přítomen ve všech jmenovatelích, ve zlomku 7/9 jsou dvě trojky, což znamená, že musí být přítomny i ve jmenovateli. Vzhledem k výše uvedenému určíme, že jmenovatel se skládá ze tří faktorů: 3, 2, 3 a je roven 3 x 2 x 3 = 18.



Zvažte první zlomek - 1/2. Jeho jmenovatel obsahuje "2", ale není tam ani jedna "3", ale měly by být dvě. Abychom to udělali, vynásobíme jmenovatele dvěma trojicemi, ale podle vlastnosti zlomku musíme vynásobit čitatele dvěma trojicemi:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Podobně provádíme akce se zbývajícími zlomky.

• 2/3 - ve jmenovateli chybí jedna tři a jedna dvě:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 nebo 7/(3 x 3) - ve jmenovateli chybí dva:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 nebo 5/(2 x 3) - ve jmenovateli chybí trojka:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Všechno dohromady to vypadá takto:



Jak odčítat a sčítat zlomky s různými jmenovateli

Jak bylo uvedeno výše, aby bylo možné sčítat nebo odečítat zlomky s různými jmenovateli, je nutné je zredukovat na stejného jmenovatele a poté použít pravidla pro odčítání zlomků se stejným jmenovatelem, která již byla popsána.

Zvažte to na příkladu: 4/18 – 3/15.

Hledání násobků 18 a 15:

• Číslo 18 se skládá z 3 x 2 x 3.
• Číslo 15 se skládá z 5 x 3.
• Společný násobek se bude skládat z následujících faktorů 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po nalezení jmenovatele je potřeba vypočítat faktor, který bude pro každý zlomek jiný, tedy číslo, kterým bude nutné násobit nejen jmenovatele, ale i čitatele. Abychom to udělali, vydělíme číslo, které jsme našli (společný násobek), jmenovatelem zlomku, pro který je třeba určit další faktory.

• 90 děleno 15. Výsledné číslo "6" bude násobitelem 3/15.
• 90 děleno 18. Výsledné číslo "5" bude násobitelem pro 4/18.

Dalším krokem v našem řešení je přivést každý zlomek ke jmenovateli "90".

Jak se to dělá, jsme již diskutovali. Podívejme se, jak je to napsáno na příkladu:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Pokud jde o zlomky s malými čísly, můžete určit společného jmenovatele, jako v příkladu na obrázku níže.



Podobně vyrobené a mající různé jmenovatele.

Odečítání a celočíselné části

Odčítání zlomků a jejich sčítání jsme již podrobně rozebrali. Jak ale odečíst, pokud má zlomek celočíselnou část? Opět použijeme několik pravidel:

• Převeďte všechny zlomky, které mají celočíselnou část, na nesprávné. mluvící jednoduše řečeno, vyjměte celý díl. Za tímto účelem se číslo celočíselné části vynásobí jmenovatelem zlomku a výsledný produkt se přičte k čitateli. Číslo, které bude získáno po těchto akcích, je čitatelem nesprávného zlomku. Jmenovatel zůstává nezměněn.
• Pokud mají zlomky různé jmenovatele, měly by být zredukovány na stejné.
• Proveďte sčítání nebo odčítání se stejnými jmenovateli.
• Při příjmu nesprávného zlomku vyberte celý díl.



Existuje další způsob, jak můžete sčítat a odečítat zlomky s celými částmi. Za tímto účelem se akce provádějí samostatně s celými částmi a odděleně se zlomky a výsledky se zaznamenávají společně.



Výše uvedený příklad se skládá ze zlomků, které mají stejného jmenovatele. V případě, že se jmenovatelé liší, je třeba je zredukovat na stejné a poté postupujte podle kroků uvedených v příkladu.

Odečítání zlomků od celého čísla

Další z odrůd akcí se zlomky je případ, kdy je třeba zlomek odečíst od Na první pohled se takový příklad zdá těžko řešitelný. Zde je však vše docela jednoduché. K jeho vyřešení je nutné převést celé číslo na zlomek a to s takovým jmenovatelem, který je ve zlomku k odečtení. Dále provedeme odčítání podobné odčítání se stejnými jmenovateli. Například to vypadá takto:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odčítání zlomků uvedené v tomto článku (6. stupeň) je základem pro řešení více těžké příklady které se probírají v pozdějších hodinách. Znalost této problematiky je následně využita při řešení funkcí, derivací a podobně. Proto je velmi důležité porozumět výše uvedeným akcím se zlomky a porozumět jim.

Tento článek je o běžné zlomky. Zde se seznámíme s pojmem zlomek celku, což nás přivede k definici obyčejného zlomku. Dále se zastavíme u uznávaného zápisu pro obyčejné zlomky a uvedeme příklady zlomků, řekněme o čitateli a jmenovateli zlomku. Poté uvedeme definice správných a nesprávných, kladných a záporných zlomků a také zvážíme polohu zlomkových čísel na souřadnicovém paprsku. Na závěr uvádíme hlavní akce se zlomky.

Navigace na stránce.

Akcie celku

Nejprve představíme sdílet koncept.

Předpokládejme, že máme nějaký objekt složený z několika naprosto stejných (tj. stejných) částí. Pro názornost si můžete představit například jablko nakrájené na několik stejných částí nebo pomeranč, který se skládá z několika stejných plátků. Každá z těchto stejných částí, které tvoří celý objekt, se nazývá podíl na celku nebo jednoduše akcií.

Všimněte si, že podíly jsou různé. Pojďme si to vysvětlit. Řekněme, že máme dvě jablka. První jablko nakrájíme na dvě stejné části a druhé na 6 stejných částí. Je jasné, že podíl prvního jablka bude jiný než podíl druhého jablka.

V závislosti na počtu podílů, které tvoří celý objekt, mají tyto podíly své vlastní názvy. Pojďme analyzovat sdílet jména. Pokud se objekt skládá ze dvou částí, kterákoli z nich se nazývá jedna druhá část celého objektu; pokud se objekt skládá ze tří částí, pak se kterákoli z nich nazývá jedna třetí část a tak dále.

Jedna sekundová pauza má zvláštní jméno - polovina. Jedna třetina se nazývá Třetí a jeden čtyřnásobný - čtvrťák.

Pro stručnost následující označení akcií. Jedna druhá akcie je označena jako nebo 1/2, jedna třetina akcie - jako nebo 1/3; jedna čtvrtina sdílení – lajk nebo 1/4 a tak dále. Všimněte si, že zápis s vodorovným pruhem se používá častěji. Pro upevnění materiálu uveďme ještě jeden příklad: zápis označuje sto šedesát sedminu celku.

Pojem podíl se přirozeně rozšiřuje od objektů k veličinám. Například jednou z délkových mír je metr. Pro měření délek menší než metr lze použít zlomky metru. Můžete tedy použít například půl metru nebo desetinu či tisícinu metru. Obdobně se uplatňují podíly ostatních množství.

Obecné zlomky, definice a příklady zlomků

K popisu počtu akcií slouží běžné zlomky. Uveďme příklad, který nám umožní přiblížit se definici obyčejných zlomků.

Nechte pomeranč skládat z 12 dílů. Každá akcie v tomto případě představuje jednu dvanáctinu celého pomeranče, tedy . Označme dvě doby jako , tři doby jako a tak dále, 12 taktů jako . Každý z těchto záznamů se nazývá obyčejný zlomek.

Nyní si dáme generálku definice společných zlomků.

Vyslovená definice obyčejných zlomků nám umožňuje přinést příklady běžných zlomků: 5/10 , 21/1 , 9/4 , . A tady jsou záznamy neodpovídají znělé definici obyčejných zlomků, to znamená, že to nejsou obyčejné zlomky.

Čitatel a jmenovatel

Pro pohodlí rozlišujeme v obyčejných zlomcích čitatel a jmenovatel.

Definice.

Čitatel obyčejný zlomek (m/n) je přirozené číslo m.

Definice.

Jmenovatel obyčejný zlomek (m/n) je přirozené číslo n.

Čitatel je tedy umístěn nad zlomkem (vlevo od lomítka) a jmenovatel pod zlomkem (vpravo od lomítka). Vezměme například obyčejný zlomek 17/29, v čitateli tohoto zlomku je číslo 17 a ve jmenovateli je číslo 29.

Zbývá prodiskutovat význam obsažený v čitateli a jmenovateli obyčejného zlomku. Jmenovatel zlomku ukazuje, z kolika podílů se skládá jedna položka, čitatel zase udává počet takových podílů. Například jmenovatel 5 zlomku 12/5 znamená, že jedna položka se skládá z pěti částí, a čitatel 12 znamená, že se vezme 12 takových částí.

Přirozené číslo jako zlomek se jmenovatelem 1

Jmenovatel obyčejného zlomku se může rovnat jedné. V tomto případě můžeme předpokládat, že předmět je nedělitelný, jinými slovy je to něco celistvého. Čitatel takového zlomku udává, kolik celých položek se bere. Obyčejný zlomek tvaru m/1 má tedy význam přirozeného čísla m. Takto jsme doložili rovnost m/1=m .

Přepišme poslední rovnost takto: m=m/1 . Tato rovnost nám umožňuje reprezentovat libovolné přirozené číslo m jako obyčejný zlomek. Například číslo 4 je zlomek 4/1 a číslo 103498 je zlomek 103498/1.

Tak, jakékoli přirozené číslo m může být reprezentováno jako obyčejný zlomek se jmenovatelem 1 jako m/1 a jakýkoli obyčejný zlomek tvaru m/1 může být nahrazen přirozeným číslem m.

Zlomkový pruh jako znak dělení

Zobrazení původního objektu ve formě n akcií není nic jiného než rozdělení na n stejných částí. Po rozdělení předmětu na n podílů ho můžeme rozdělit rovným dílem mezi n lidí - každý obdrží jeden podíl.

Máme-li zpočátku m identických objektů, z nichž každý je rozdělen na n podílů, pak můžeme těchto m objektů rovnoměrně rozdělit mezi n lidí, přičemž každé osobě přidělíme jeden podíl z každého z m objektů. V tomto případě bude mít každá osoba m podílů 1/n a m podílů 1/n dává obyčejný zlomek m/n. Společný zlomek m/n lze tedy použít k vyjádření rozdělení m položek mezi n lidí.

Dostali jsme tedy explicitní spojení mezi obyčejnými zlomky a dělením (viz obecná myšlenka dělení přirozených čísel). Tento vztah je vyjádřen takto: Pruh zlomku lze chápat jako dělicí znak, tedy m/n=m:n.

Pomocí obyčejného zlomku můžete napsat výsledek dělení dvou přirozených čísel, u kterých se dělení neprovádí celým číslem. Například výsledek dělení 5 jablek 8 lidmi lze zapsat jako 5/8, to znamená, že každé dostane pět osmin jablka: 5:8=5/8.

Stejné a nestejné obyčejné zlomky, srovnání zlomků

Je to docela přirozené jednání srovnání běžných zlomků, protože je jasné, že 1/12 pomeranče se liší od 5/12 a 1/6 jablka je stejná jako druhá 1/6 tohoto jablka.

Výsledkem porovnání dvou obyčejných zlomků je jeden z výsledků: zlomky jsou buď stejné, nebo nestejné. V prvním případě máme stejné společné zlomky a ve druhém nestejné společné zlomky. Uveďme definici stejných a nestejných obyčejných zlomků.

Definice.

rovnat se, je-li rovnost a d=b c pravdivá.

Definice.

Dva běžné zlomky a/ba c/d ne rovné, není-li splněna rovnost a d=b c.

Zde je několik příkladů stejných zlomků. Například běžný zlomek 1/2 se rovná zlomku 2/4, protože 1 4=2 2 (v případě potřeby viz pravidla a příklady násobení přirozených čísel). Pro jasnost si můžete představit dvě identická jablka, první je nakrájeno na polovinu a druhé - na 4 podíly. Je zřejmé, že dvě čtvrtiny jablka jsou 1/2 podílu. Dalšími příklady stejných společných zlomků jsou zlomky 4/7 a 36/63 a dvojice zlomků 81/50 a 1620/1000.

A běžné zlomky 4/13 a 5/14 se nerovnají, protože 4 14 = 56 a 13 5 = 65, tedy 4 14 ≠ 13 5. Dalším příkladem nestejných společných zlomků jsou zlomky 17/7 a 6/4.

Pokud se při porovnávání dvou obyčejných zlomků ukáže, že nejsou stejné, možná budete muset zjistit, který z těchto obyčejných zlomků méně další a které více. Ke zjištění slouží pravidlo pro porovnávání obyčejných zlomků, jehož podstatou je přivést porovnávané zlomky ke společnému jmenovateli a následně porovnat čitatele. Podrobné informace o tomto tématu jsou shromážděny v článku porovnání zlomků: pravidla, příklady, řešení.

Zlomková čísla

Každý zlomek je záznam zlomkové číslo. To znamená, že zlomek je jen „skořápka“ zlomkového čísla, jeho vzhled a celé sémantické zatížení je obsaženo přesně ve zlomkovém čísle. Pro stručnost a pohodlí je však koncept zlomku a zlomkového čísla kombinován a jednoduše nazýván zlomek. Zde je vhodné parafrázovat známé rčení: říkáme zlomek – myslíme zlomkové číslo, říkáme zlomkové číslo - myslíme zlomek.

Zlomky na souřadnicovém paprsku

Všechna zlomková čísla odpovídající obyčejným zlomkům mají své vlastní jedinečné místo na , to znamená, že mezi zlomky a body souřadnicového paprsku existuje vzájemná korespondence.

Abychom se dostali do bodu odpovídajícímu zlomku m / n na souřadnicovém paprsku, je nutné odložit m segmentů z počátku v kladném směru, jejichž délka je 1 / n zlomek jednotkového segmentu. Takové segmenty lze získat rozdělením jednoho segmentu na n stejných částí, což lze vždy provést pomocí kružítka a pravítka.

Ukažme si například bod M na souřadnicovém paprsku, odpovídající zlomku 14/10. Délka segmentu s konci v bodě O a bodu k němu nejblíže, označeného malou pomlčkou, je 1/10 jednotkového segmentu. Bod se souřadnicí 14/10 je odstraněn z počátku o 14 takových segmentů.

Stejné zlomky odpovídají stejnému zlomkovému číslu, to znamená, že stejné zlomky jsou souřadnicemi stejného bodu na souřadnicovém paprsku. Například jeden bod odpovídá souřadnicím 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 na souřadnicovém paprsku, protože všechny zapsané zlomky jsou stejné (je umístěn ve vzdálenosti poloviny segmentu jednotky, odložený od počátek v kladném směru).

Na vodorovném a pravostranném souřadnicovém paprsku je bod, jehož souřadnice je velký zlomek, umístěn napravo od bodu, jehož souřadnice je menší zlomek. Podobně bod s menší souřadnicí leží vlevo od bodu s větší souřadnicí.

Vlastní a nevlastní zlomky, definice, příklady

Mezi obyčejnými zlomky jsou řádné a nevlastní zlomky. Toto dělení má v podstatě srovnání čitatele a jmenovatele.

Uveďme definici vlastních a nevlastních obyčejných zlomků.

Definice.

Správný zlomek je obyčejný zlomek, jehož čitatel je menší než jmenovatel, tedy pokud m

Definice.

Nepravý zlomek je obyčejný zlomek, ve kterém je čitatel větší nebo roven jmenovateli, to znamená, že pokud m≥n, pak je obyčejný zlomek nevlastní.

Zde je několik příkladů správných zlomků: 1/4 , , 32 765/909 003 . V každém ze zapsaných obyčejných zlomků je totiž čitatel menší než jmenovatel (pokud je to nutné, viz článek srovnání přirozených čísel), takže jsou z definice správné.

A zde jsou příklady nesprávných zlomků: 9/9, 23/4,. Čitatel prvního ze zapsaných obyčejných zlomků se skutečně rovná jmenovateli a ve zbývajících zlomcích je čitatel větší než jmenovatel.

Existují také definice vlastních a nevlastních zlomků na základě srovnání zlomků s jedním.

Definice.

opravit pokud je menší než jedna.

Definice.

Společný zlomek se nazývá špatně, pokud je rovna jedné nebo větší než 1 .

Správný je tedy obyčejný zlomek 7/11, protože 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 a 27/27=1.

Zamysleme se nad tím, jak si obyčejné zlomky s čitatelem větším nebo rovným jmenovateli zaslouží takový název – „špatně“.

Vezměme si jako příklad nevlastní zlomek 9/9. Tento zlomek znamená, že se vezme devět částí objektu, který se skládá z devíti částí. To znamená, že z dostupných devíti akcií můžeme sestavit celý subjekt. To znamená, že nesprávný zlomek 9/9 v podstatě dává celý objekt, tedy 9/9=1. Obecně platí, že nevlastní zlomky s čitatelem rovným jmenovateli označují jeden celý objekt a takový zlomek lze nahradit přirozeným číslem 1.

Nyní zvažte nesprávné zlomky 7/3 a 12/4. Je zcela zřejmé, že z těchto sedmi třetin můžeme vytvořit dva celé objekty (jeden celý objekt má 3 podíly, na složení dvou celých objektů pak potřebujeme 3 + 3 = 6 podílů) a stále zbude jeden třetinový podíl. To znamená, že nesprávný zlomek 7/3 v podstatě znamená 2 položky a dokonce 1/3 podílu takové položky. A z dvanácti čtvrtin můžeme vyrobit tři celé předměty (tři předměty po čtyřech částech). To znamená, že zlomek 12/4 v podstatě znamená 3 celé objekty.

Uvažované příklady nás vedou k následujícímu závěru: nevlastní zlomky lze nahradit buď přirozenými čísly, kdy je čitatel dělen jmenovatelem (například 9/9=1 a 12/4=3), nebo součtem a přirozené číslo a vlastní zlomek, kdy čitatel není dělitelný jmenovatelem rovnoměrně (například 7/3=2+1/3 ). Možná je to přesně to, co si nesprávné zlomky zaslouží takové jméno - „špatné“.

Zvláště zajímavé je zobrazení nevlastního zlomku jako součtu přirozeného čísla a vlastního zlomku (7/3=2+1/3). Tento proces se nazývá extrakce části celého čísla z nesprávného zlomku a zaslouží si samostatnou a pečlivější úvahu.

Za zmínku také stojí, že mezi nesprávnými zlomky a smíšenými čísly existuje velmi úzký vztah.

Kladné a záporné zlomky

Každý obyčejný zlomek odpovídá kladnému zlomkovému číslu (viz článek kladná a záporná čísla). Tedy obyčejné zlomky kladné zlomky. Například obyčejné zlomky 1/5, 56/18, 35/144 jsou kladné zlomky. Když je potřeba zdůraznit kladnost zlomku, umístí se před něj znaménko plus, například +3/4, +72/34.

Pokud před obyčejný zlomek vložíte znaménko mínus, bude tento záznam odpovídat zápornému zlomkovému číslu. V tomto případě se dá mluvit o záporné zlomky. Zde je několik příkladů záporných zlomků: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Kladné a záporné zlomky m/n a −m/n jsou opačná čísla. Například zlomky 5/7 a -5/7 jsou opačné zlomky.

Kladné zlomky, stejně jako kladná čísla obecně, označují nárůst, příjem, změnu nějaké hodnoty směrem nahoru atd. Záporné zlomky odpovídají výdajům, dluhu, změně jakékoli hodnoty ve směru poklesu. Například záporný zlomek -3/4 lze interpretovat jako dluh, jehož hodnota je 3/4.

Na vodorovném a pravém směru jsou negativní zlomky umístěny vlevo od referenčního bodu. Body souřadnicové čáry, jejichž souřadnicemi jsou kladný zlomek m/n a záporný zlomek −m/n, jsou umístěny ve stejné vzdálenosti od počátku, ale na opačných stranách bodu O .

Zde stojí za zmínku zlomky tvaru 0/n. Tyto zlomky se rovnají číslu nula, tedy 0/n=0 .

Kladné zlomky, záporné zlomky a zlomky 0/n se kombinují a tvoří racionální čísla.

Akce se zlomky

O jedné akci s obyčejnými zlomky - porovnávání zlomků - jsme již uvažovali výše. Jsou definovány další čtyři aritmetiky operace se zlomky- sčítání, odčítání, násobení a dělení zlomků. Zastavme se u každého z nich.

Obecná podstata akcí se zlomky je podobná podstatě odpovídajících akcí s přirozenými čísly. Nakreslíme analogii.

Násobení zlomků lze považovat za akci, při které je nalezen zlomek ze zlomku. Pro upřesnění uveďme příklad. Předpokládejme, že máme 1/6 jablka a potřebujeme z něj vzít 2/3. Část, kterou potřebujeme, je výsledkem vynásobení zlomků 1/6 a 2/3. Výsledkem vynásobení dvou obyčejných zlomků je obyčejný zlomek (který se v konkrétním případě rovná přirozenému číslu). Dále doporučujeme prostudovat informace k článku násobení zlomků - pravidla, příklady a řešení.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika: učebnice na 5 buněk. vzdělávací instituce.
• Vilenkin N.Ya. atd. Matematika. 6. třída: učebnice pro vzdělávací instituce.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro uchazeče o technické školy).