Každý předmět nebo jev má určité vlastnosti (znaky).

Ukazuje se, že vytvoření pojmu o předmětu znamená především schopnost odlišit jej od jiných jemu podobných předmětů.

Můžeme říci, že pojem je mentální obsah slova.

Koncept - je to forma myšlení, která zobrazuje předměty v jejich nejobecnějších a nejpodstatnějších charakteristikách.

Pojem je forma myšlenky, nikoli forma slova, protože slovo je pouze štítek, kterým označujeme tu či onu myšlenku.

Slova mohou být různá, ale stále znamenají stejný koncept. V ruštině - „tužka“, v angličtině - „tužka“, v němčině - bleistift. Stejná myšlenka má různé verbální výrazy v různých jazycích.

VZTAHY MEZI POJMY. EULERSKÉ KRUHY.

Pojmy, které mají ve svém obsahu společné rysy, se nazývají SROVNATELNÝ(„právník“ a „zástupce“; „student“ a „sportovec“).

Jinak se berou v úvahu koncepty NESROVNATELNÝ(„krokodýl“ a „notebook“; „člověk“ a „parník“).

Pokud mají pojmy kromě společných znaků také společné prvky objemu, pak se nazývají KOMPATIBILNÍ.

Mezi srovnatelnými pojmy existuje šest typů vztahů. Vztahy mezi rozsahy pojmů je vhodné označovat pomocí Eulerových kružnic (kruhové diagramy, kde každá kružnice označuje rozsah pojmu).

TYP VZTAHU MEZI POJMY	OBRÁZEK ​​POMOCÍ KRUHŮ EULER
EKVIVALITA (IDENTITA) Rozsahy pojmů se zcela shodují. Tito. Jde o pojmy, které se liší obsahem, ale myslí se v nich na stejné prvky objemu.	1) A - Aristoteles B - zakladatel logiky 2) A - čtverec B - rovnostranný obdélník
PODŘÍZENÍ (SUBORDINACE) Rozsah jednoho pojmu je zcela zahrnut do rozsahu druhého, ale nevyčerpává jej.	1) A - osoba B - student 2) A - zvíře B - slon
KŘÍŽENÍ (KŘÍŽENÍ) Objemy dvou pojmů se částečně shodují. To znamená, že pojmy obsahují společné prvky, ale také prvky, které patří pouze jednomu z nich.	1) A - právník B - zástupce 2) A - student B - sportovec
KOORDINACE (KOORDINACE) Pojmy, které nemají společné prvky, jsou zcela zahrnuty do rozsahu třetího, širšího pojmu.	1) A - zvíře B - kočka; C - pes; D - myš 2) A - drahý kov B - zlato; C - stříbro; D - platina
PROTIPARA (KONTRAPARITA) Pojmy A a B nejsou jednoduše zahrnuty do rozsahu třetího pojmu, ale zdá se, že jsou na jeho opačných pólech. To znamená, že pojem A má ve svém obsahu takový znak, který je v pojmu B nahrazen opačným.	1) A - bílá kočka; B - červená kočka (kočky jsou černé i šedé) 2) A - horký čaj; ledový čaj (čaj může být i teplý) Tj. pojmy A a B nevyčerpávají celý rozsah pojmu, do kterého jsou zahrnuty.
ROZPOR (INTRADITIONALITA) Vztah mezi pojmy, z nichž jeden vyjadřuje přítomnost některých vlastností, a druhý - jejich nepřítomnost, to znamená, že tyto vlastnosti jednoduše popírá, aniž by je nahradil jinými.	1) A - vysoký dům B - nízký dům 2) A - výherní tiket B - nevýherní tiket Tj. pojmy A a ne-A vyčerpávají celý rozsah pojmu, do kterého jsou zahrnuty, protože mezi ně nelze umístit žádný další pojem.

Cvičení: Určete typ vztahu na základě rozsahu níže uvedených pojmů. Nakreslete je pomocí Eulerových kruhů.

1) A - horký čaj; B - ledový čaj; C - čaj s citronem

Horký čaj (B) a ledový čaj (C) jsou v opačném vztahu.

Čaj s citronem (C) může být buď horký,

tak studená, ale může být i např. teplá.

2)A- dřevo; V- kámen; S- struktura; D- Dům.

Je každá budova (C) domem (D)? - Ne.

Je každý dům (D) budovou (C)? - Ano.

Něco dřevěného (A) je to nutně dům (D) nebo budova (C) - Ne.

Ale můžete najít dřevěnou konstrukci (například budku),

Najdete zde i dřevěný dům.

Něco z kamene (B) není nutně dům (D) nebo budova (C).

Ale může tam být kamenná budova nebo kamenný dům.

3)A- ruské město; V- hlavní město Ruska;

S- Moskva; D- město na Volze; E- Uglich.

Hlavní město Ruska (B) a Moskva (C) jsou stejné město.

Uglich (E) je město na Volze (D).

Ve stejné době, Moskva, Uglich, jako každé město na Volze,

jsou ruská města (A)

Popis prezentace po jednotlivých snímcích:

1 snímek

Popis snímku:

2 snímek

Popis snímku:

Leonard Euler Leonard Euler, největší matematik 18. století, se narodil ve Švýcarsku. V roce 1727 Na pozvání petrohradské akademie věd přijel do Ruska. Euler se ocitl v kruhu vynikajících matematiků a dostal skvělé příležitosti k tvorbě a publikování svých děl. Pracoval s vášní a brzy se stal, podle jednomyslného uznání svých současníků, prvním matematikem na světě. Jedním z prvních, kdo používal k řešení problémů kruhy, byl vynikající německý matematik a filozof Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). V jeho hrubých skicách byly nalezeny kresby s kruhy. Tuto metodu pak důkladně rozvinul švýcarský matematik Leonhard Euler (1707 – 1783). (1707-1783)

3 snímek

Popis snímku:

V letech 1761 až 1768 napsal slavné „Dopisy německé princezně“, kde Euler hovořil o své metodě, o zobrazování kulis ve formě kruhů. Proto se kresby ve formě kruhů obvykle nazývají „eulerovské kruhy“. Euler poznamenal, že reprezentace množin jako kruhů „je velmi vhodná pro usnadnění našeho uvažování“. Je jasné, že slovo „kruh“ je zde velmi podmíněné; množiny mohou být zobrazeny v rovině ve formě libovolných obrazců.

4 snímek

Popis snímku:

Po Eulerovi stejnou metodu vyvinul český matematik Bernard Bolzano (1781 – 1848). Pouze na rozdíl od Eulera nekreslil kruhové, ale obdélníkové diagramy. Eulerovu kruhovou metodu používal i německý matematik Ernst Schroeder (1841 – 1902). Tato metoda je široce používána v jeho knize Algebra Logic. Ale největšího rozkvětu dosáhly grafické metody ve spisech anglického logika Johna Venna (1843 - 1923). Tuto metodu nejpodrobněji nastínil ve své knize „Symbolic Logic“, vydané v Londýně v roce 1881. Na počest Venna se místo Eulerových kruhů odpovídající kresby někdy nazývají Vennovy diagramy; v některých knihách se jim také říká Euler-Vennovy diagramy (nebo kruhy).

5 snímek

Popis snímku:

Euler zobrazil množinu všech reálných čísel pomocí těchto kružnic: N je množina přirozených čísel, Z je množina celých čísel, Q je množina racionálních čísel, R je množina všech reálných čísel. Jak Eulerovy kruhy pomáhají při řešení problémů? R Q Z N

6 snímek

Popis snímku:

Eulerovy kruhy Jedná se o nový typ úlohy, ve které potřebujete najít nějaký průsečík množin nebo jejich sjednocení při dodržení podmínek úlohy.

Snímek 7

Popis snímku:

Kruhy EULER jsou geometrický diagram, pomocí kterého můžete znázornit vztahy mezi podmnožinami pro vizuální znázornění.

8 snímek

Popis snímku:

Snímek 9

Popis snímku:

Řešení problémů "Obydlený ostrov" a "Bokovky" Někteří kluci z naší třídy rádi chodí do kina. Je známo, že 15 dětí sledovalo film „Obydlený ostrov“, 11 lidí sledovalo film „Bokovky“, z nichž 6 sledovalo „Obydlený ostrov“ i „Bokovky“. Kolik lidí vidělo pouze film „Hipsters“?

10 snímek

Popis snímku:

Řešení Takto nakreslíme dvě kulisy: na průsečík kulis postavíme 6 lidí, kteří sledovali filmy „Obydlený ostrov“ a „Bokovky“. 15 – 6 = 9 – lidí, kteří sledovali pouze „Obydlený ostrov“. 11 – 6 = 5 – lidé, kteří sledovali pouze „bokovky“. Dostáváme: Odpověď. 5 lidí sledovalo pouze „Hipstery“. 6 „obydlený ostrov“ „bokovky“ „obydlený ostrov“ „bokovky“ 9 6 5

11 snímek

Popis snímku:

„World of Music“ Do obchodu „World of Music“ přišlo 35 zákazníků. Z toho 20 lidí si koupilo nový disk zpěváka Maxima, 11 si koupilo disk Zemfiry, 10 lidí si nekoupilo ani jeden disk. Kolik lidí si koupilo CD Maxima a Zemfiry? Řešení Představme tyto množiny na Eulerových kružnicích.

12 snímek

Popis snímku:

Nyní počítejme: Celkem je ve velkém kruhu 35 kupujících a ve dvou menších 35–10 = 25 kupujících. Podle podmínek problému si nové CD zpěváka Maxima zakoupilo 20 kupujících, tedy 25 – 20 = 5 kupujících si koupilo pouze CD Zemfiry. A problém říká, že 11 kupujících koupilo disk Zemfiry, což znamená, že 11 – 5 = 6 kupujících koupilo disky Maxima i Zemfiry: Odpověď: 6 kupujících koupilo disky Maxima i Zemfiry.

Snímek 13

Popis snímku:

Úvaha o nejjednodušších případech Eulerových–Vennových kruhů a) Nechť je dána určitá množina a naznačena vlastnost A Je zřejmé, že prvky této množiny mohou, ale nemusí mít tuto vlastnost. Proto se tato množina rozdělí na dvě části, které lze označit A a A*. To lze na obrázku znázornit dvěma způsoby. Velký kruh představuje danou množinu, malý kruh A představuje tu část prvků dané množiny, která má vlastnost A, a prstencovitá část A* představuje tu část prvků, která vlastnost A nemá.

14 snímek

Popis snímku:

b) Nechť je dána určitá množina a naznačeny dvě vlastnosti: A, B. Protože prvky dané množiny mohou, ale nemusí mít každou z těchto vlastností, pak jsou možné čtyři případy: AB, AB*, A*B, A *B*. V důsledku toho se tato množina rozdělí na 4 podmnožiny. To lze také znázornit dvěma způsoby: ve formě kruhů nebo diagramů. Na prvním obrázku je kruh A podmnožinou těch prvků této množiny, které mají vlastnost A, a oblast mimo kruh, tzn. oblast A* je podmnožinou těch prvků, které nemají vlastnost A. Podobně kruh B a oblast mimo něj. Na druhém obrázku jsou podmnožiny A, A*, B*, B znázorněny odlišně: podmnožina A je oblast nalevo od svislé čáry a podmnožina A* je oblast napravo od této čáry. B a B* jsou znázorněny podobně: oblast B je horní půlkruh a oblast B* je spodní půlkruh.

15 snímek

Popis snímku:

c) Nechť je dána určitá množina a naznačeny tři vlastnosti: A, B, C. V tomto případě je tato množina rozdělena na osm částí. To lze znázornit dvěma způsoby.

16 snímek

Popis snímku:

Úlohy řešené pomocí Eulerových kruhů Úloha č. 1. Kolik přirozených čísel z prvních deseti není dělitelných ani 2, ani 3? Řešení. K vyřešení problému je vhodné použít Eulerovy kruhy. V našem případě jsou to tři kruhy: velký kruh je množina čísel od 1 do 10, uvnitř velkého kruhu jsou dva menší kruhy, které se navzájem protínají. Nechť je množina čísel, která jsou násobky 2, nastavena jako A a množina čísel, která jsou násobky 3, je nastavena jako B. Uvažujme. Každé druhé číslo je dělitelné 2. To znamená, že takových čísel bude 10:2=5. 3 je dělitelné 3 čísly (10:3). Ta čísla, která jsou dělitelná 6, jsou dělitelná 2 a 3. Takové číslo je pouze jedno. Množina A se tedy skládá z 5-1=4 čísel, množina B – 3-1=2 čísla. Z toho vyplývá, že první desítka obsahuje 10-(4+1+2)=3 čísla.

Snímek 17

Popis snímku:

Úloha č. 2. Úloha vyřešena pomocí Euler-Vennova diagramu. Kluci měli za úkol vyrobit kostky. Několik kostek bylo vyrobeno z lepenky a zbytek ze dřeva. Kostky byly ve dvou velikostech: velké a malé. Některé z nich byly natřeny zeleně, jiné červeně. Vzniklo tak 16 zelených kostek. Bylo 6 velkých zelených kostek Bylo 8 červených kartonových kostek Bylo 7 velkých dřevěných kostek a 11 malých dřevěných kostek. Řešení. Pojďme udělat kresbu.

18 snímek

Popis snímku:

Příprava problémů praktického významu. Úloha 1. Ve třídě je 35 žáků. 12 z nich je v matematickém kroužku, 9 v biologickém kroužku a 16 dětí tyto kroužky nenavštěvuje. Kolik biologů se zajímá o matematiku? Řešení: Vidíme, že kroužky navštěvuje 19 dětí, protože 35 - 16 = 19, z toho 10 lidí navštěvuje pouze matematický kroužek (19-9 = 10) a 2 biologové (12-10 = 2) se zajímají o matematiku. Odpověď: 2 biologové. S pomocí Eulerových kruhů je snadné vidět jiný způsob řešení problému. Znázorněme počet studentů pomocí velkého kruhu a do něj umístěte menší kruhy. Je zřejmé, že v obecné části kruhů budou právě ti biologové-matematici, kterých se problém ptá. Nyní počítejme: Uvnitř velkého kruhu je 35 studentů, uvnitř kruhů M a B: 35-16 = 19 studentů, uvnitř kruhu M - 12 chlapů, což znamená, že v té části kruhu B, která nemá nic společného s kruhem M, je 19-12 =7 studentů, proto jsou v MB 2 studenti (9-7=2). O matematiku se tedy zajímají 2 biologové. 1)35-16=19(osob); 2) 12+9=21 (osob); 3)21-19=2(osoby). Odpověď: 2 biologové.

Snímek 19

Popis snímku:

Vyplňte schéma. 1) Musíme začít s podmnožinou, pro kterou jsou uvedeny tři vlastnosti. Jedná se o velké zelené kostky vyrobené z kartonu – takové kostky jsou 4 2) Dále hledáme podmnožinu, pro kterou jsou uvedeny dvě z uvedených tří vlastností. Jedná se o velké zelené kostky - 6. Ale tato podskupina se skládá z lepenky a dřeva. Byly tam 4 kartonové, takže 6-4 = 2 dřevěné. 3) Je 7 velkých dřevěných kostek z toho jsou 2 zelené, to znamená, že bude 7-2=5 červených. 4) 9 červených dřevěných kostek, z nichž 5 je velkých. To znamená, že bude 9-5=4 malých červených dřevěných kostek. 5) Je 11 malých dřevěných kostek z toho jsou 4 červené To znamená, že je 11-4 = 7 malých zelených dřevěných kostek. 6) Celkový počet zelených kostek je 16. Zelené kostky jsou umístěny v prstencové části sestávající ze čtyř částí. To znamená, že existuje 16 malých zelených kartonových kostek - (4+2+7) = 3. 7) Zbývá poslední podmínka: bylo 8 červených kartonových kostek Nepotřebujeme vědět, kolik z nich je malých a kolik je velkých. 8) Počítáme: 2+5+8+4+4+7+3=33. Odpověď: Celkem bylo vyrobeno 33 kostek.

22 snímek

Popis snímku:

"Matematická encyklopedie". K přípravě této práce byly použity materiály ze stránky http://minisoft.net.ru/ http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html http://reshizadachu.ucoz.ru/ index/ krugi_ehjlera/0-18

Leonhard Euler - největší z matematiků napsal více než 850 vědeckých prací.V jednom z nich se objevily tyto kruhy.

Napsal to vědec"jsou velmi vhodné pro usnadnění našich úvah."

Eulerovy kruhy je geometrický diagram, který pomáhá najít a/nebo zpřehlednit logické souvislosti mezi jevy a pojmy. Pomáhá také vykreslit vztah mezi množinou a její částí.

Problém 1

Z 90 turistů jedoucích na výlet mluví 30 lidí německy, 28 lidí anglicky, 42 lidí francouzsky.8 lidí mluví anglicky a německy současně, 10 lidí mluví anglicky a francouzsky, 5 lidí mluví německy a francouzsky, 3 lidé mluví všemi třemi jazyky. Kolik turistů nemluví žádným jazykem?

Řešení:

Pojďme si stav problému znázornit graficky – pomocí tří kruhů

Odpovědět: 10 lidí.

Problém 2

Mnoho dětí v naší třídě miluje fotbal, basketbal a volejbal. A někteří mají dokonce dva nebo tři tyto sporty. Je známo, že 6 lidí ze třídy hraje pouze volejbal, 2 - pouze fotbal, 5 - pouze basketbal. Pouze 3 lidé mohou hrát volejbal a fotbal, 4 mohou hrát fotbal a basketbal, 2 mohou hrát volejbal a basketbal Jedna osoba ze třídy může hrát všechny hry, 7 nemůže hrát žádnou hru. Potřebujete najít:

Kolik lidí je ve třídě?

Kolik lidí může hrát fotbal?

Kolik lidí může hrát volejbal?

Problém 3

Na dětském táboře bylo 70 dětí. Z toho 20 působí v dramatickém kroužku, 32 zpívá ve sboru, 22 sportuje. V dramatickém kroužku je 10 sborových dětí, ve sboru 6 sportovců, v dramatickém kroužku 8 sportovců a 3 sportovci navštěvují dramatický kroužek i sbor. Kolik dětí nezpívá ve sboru, nezajímá se o sport a není zapojeno do dramatického kroužku? Kolik kluků se věnuje pouze sportu?

Problém 4

Ze zaměstnanců společnosti navštívilo 16 Francii, 10 Itálii, 6 Anglii. V Anglii a Itálii - pět, v Anglii a Francii - 6, ve všech třech zemích - 5 zaměstnanců. Kolik lidí navštívilo Itálii a Francii, pokud společnost zaměstnává celkem 19 lidí a každý z nich navštívil alespoň jednu z těchto zemí?

Problém 5

Žáci šestých tříd vyplnili dotazník, v němž se ptali na své oblíbené kreslené filmy. Ukázalo se, že většině z nich se líbily „Sněhurka a sedm trpaslíků“, „SpongeBob SquarePants“ a „Vlk a tele“. Ve třídě je 38 žáků. 21 studentů jako Sněhurka a sedm trpaslíků. Kromě toho se třem z nich líbí také „Vlk a tele“, šesti „SpongeBob SquarePants“ a jednomu dítěti se stejně líbí všechny tři kreslené filmy. „Vlk a tele“ má 13 fanoušků, z nichž pět jmenovalo v dotazníku dvě karikatury. Musíme určit, kolik žáků šestého ročníku má rádo SpongeBob SquarePants.

Úlohy k řešení pro studenty

1. Ve třídě je 35 žáků. Všichni jsou čtenáři školních a okresních knihoven. Z toho 25 půjčuje knihy ze školní knihovny, 20 z okresní knihovny. Kolik z nich:

a) nejsou čtenáři školní knihovny;

b) nejsou čtenáři okresní knihovny;

c) jsou pouze čtenáři školní knihovny;

d) jsou pouze čtenáři okresní knihovny;

e) jsou čtenáři obou knihoven?

2. Každý žák ve třídě studuje angličtinu nebo němčinu, případně obojí. Angličtinu studuje 25 lidí, němčinu 27 lidí a obě 18 lidí. Kolik studentů je ve třídě?

3. Na list papíru nakreslete kruh o ploše 78 cm2 a čtverec o ploše 55 cm2. Průsečík kruhu a čtverce je 30 cm2. Část listu, kterou nezabírá kruh a čtverec, má plochu 150 cm2. Najděte oblast listu.

4. Ve skupině turistů je 25 lidí. Mezi nimi je 20 osob mladších 30 let a 15 osob starších 20 let. Mohlo by to tak být? Pokud ano, v jakém případě?

5. V MŠ je 52 dětí. Každý z nich miluje dort nebo zmrzlinu nebo obojí. Polovina dětí má ráda dorty a 20 lidí má rádo dorty a zmrzlinu. Kolik dětí miluje zmrzlinu?

6. Ve třídě je 36 lidí. Žáci této třídy navštěvují kroužky matematické, fyzikální a chemické, přičemž kroužek matematický navštěvuje 18 lidí, kroužek 14 - fyzikální, 10 - chemický Navíc je známo, že všechny tři kroužky navštěvují 2 lidé, 8 lidí - matematický i fyzikální. 5 - matematické i chemické, 3 - fyzikální i chemické kroužky. Kolik žáků ve třídě nenavštěvuje žádný kroužek?

7. Po prázdninách se třídní učitelka zeptala, které z dětí jde do divadla, kina nebo cirkusu. Ukázalo se, že z 36 studentů dva nikdy nebyli v kině, divadle nebo cirkuse. Kino navštívilo 25 lidí; v divadle - 11; v cirkuse - 17; jak v kině, tak v divadle - 6; jak v kině, tak v cirkuse - 10; v divadle i v cirkuse - 4. Kolik lidí navštívilo divadlo, kino a cirkus současně?

Řešení problémů s jednotnou státní zkouškou pomocí Eulerových kruhů

Problém 1

V dotazovacím jazyce vyhledávače se symbol "|" používá k označení logické operace "OR" a symbol "&" se používá pro logickou operaci "AND".

Křižník a bitevní loď? Předpokládá se, že všechny otázky jsou prováděny téměř současně, takže množina stránek obsahující všechna hledaná slova se během provádění dotazů nemění.

Žádost	Nalezené stránky (v tisících)
Křižník | Bitevní loď	7000
Křižník	4800
Bitevní loď	4500

Řešení:

Pomocí Eulerových kružnic zobrazujeme podmínky problému. V tomto případě používáme čísla 1, 2 a 3 k označení výsledných oblastí.

Na základě podmínek úlohy vytvoříme rovnice:

1. Křižník | Bitevní loď: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Křižník: 1 + 2 = 4800
3. Bitevní loď: 2 + 3 = 4500

Najít Křižník a bitevní loď(na obrázku označeno jako oblast 2), dosaďte rovnici (2) do rovnice (1) a zjistěte, že:

4800 + 3 = 7000, z čehož dostaneme 3 = 2200.

Nyní můžeme tento výsledek dosadit do rovnice (3) a zjistit, že:

2 + 2200 = 4500, z toho 2 = 2300.

Odpovědět: 2300 - počet stránek nalezených na vyžádáníKřižník a bitevní loď.

Problém 2

V dotazovacím jazyce vyhledávače k ​​označení

Tabulka zobrazuje dotazy a počet nalezených stránek pro určitý segment internetu.

Žádost	Nalezené stránky (v tisících)
Dorty | Koláče	12000
Dorty a koláče	6500
Koláče	7700

Kolik stránek (v tisících) bude nalezeno pro dotaz? Dorty?

Řešení

Abychom problém vyřešili, zobrazme sady koláčů a koláčů ve formě Eulerových kruhů.

A B C).

Z výpisu problému vyplývá:

Dorty │koláče = A + B + C = 12 000

Dorty a koláče = B = 6500

Koláče = B + C = 7700

Chcete-li zjistit počet koláčů (Cakes = A + B ), musíme najít sektor A Dorty│Korty ) odečtěte množinu koláčů.

Dorty│koláče – koláče = A + B + C -(B + C) = A = 1200 – 7700 = 4300

Sektor A rovná se tedy 4300

Dorty = A + B = 4300 + 6500 = 10800

Problém 3

|", a pro logickou operaci "AND" - symbol "&".

Tabulka zobrazuje dotazy a počet nalezených stránek pro určitý segment internetu.

Žádost	Nalezené stránky (v tisících)
Dorty & Pečení	5100
Dort	9700
Dort | Pekařství	14200

Kolik stránek (v tisících) bude nalezeno pro dotaz? Pekařství?

Předpokládá se, že všechny dotazy byly provedeny téměř současně, takže množina stránek obsahujících všechna hledaná slova se během provádění dotazů nezměnila.

Řešení

Abychom problém vyřešili, zobrazíme množiny Dorty a Pečení ve formě Eulerových kruhů.

Označme každý sektor samostatným písmenem ( A B C).

Z výpisu problému vyplývá:

Dorty a pečivo = B = 5100

Dort = A + B = 9700

Dort │ Pečivo = A + B + C = 14200

Chcete-li zjistit množství pečení (Pečení = B + C ), musíme najít sektor V , k tomu z obecné sady ( Dort │ Pečení) odečtěte sadu Dort.

Dort │ Pečení – Dort = A + B + C -(A + B) = C = 14200–9700 = 4500

Sektor B se rovná 4500, tedy Pečení = B + C = 4500 + 5100 = 9600

Problém 4
klesající
IndikovatLogická operace "OR" používá symbol "|", a pro logickou operaci "AND" - symbol "&".
Řešení

Představme si sady pasteveckých psů, teriérů a španělů ve formě Eulerových kruhů, označujících sektory písmeny ( ABECEDA ).

S paniels │(teriéři a ovčáci) = G + B

S paniel│pastýřští psi= G + B + C

španělé│teriéři│ovčáci= A + B + C + D

teriéři & ovčáci = B

Seřaďme čísla požadavků v sestupném pořadí podle počtu stran:3 2 1 4

Problém 5

Tabulka zobrazuje dotazy na vyhledávací server. Seřaďte čísla požadavků vzrůstající počet stránek, které vyhledávač najde pro každý požadavek.
IndikovatLogická operace "OR" používá symbol "|", a pro logickou operaci "AND" - symbol "&".

1	barokní | klasicismus | empír
2	barokní | (klasicismus a empírový styl)
3	klasicismus a empírový styl
4	barokní | klasicismus

Řešení

Představme si množiny klasicismus, empírový styl a klasicismus v podobě Eulerových kruhů, označujících sektory písmeny ( ABECEDA ).

Transformujme problémový stav ve formě součtu sektorů:

baroko│klasicismus│empír = A + B + C + D
Baroko │(klasicismus & empír) = G + B
klasicismus a empírový styl = B
barokní│klasicismus = G + B + A

Ze součtů sektorů vidíme, který požadavek vyprodukoval více stránek.

Seřaďme čísla požadavků ve vzestupném pořadí podle počtu stran:3 2 4 1

Problém 6
Tabulka zobrazuje dotazy na vyhledávací server. Seřaďte čísla požadavků vzrůstající počet stránek, které vyhledávač najde pro každý požadavek.
IndikovatLogická operace "OR" používá symbol "|", a pro logickou operaci "AND" - symbol "&".

1	kanárci | stehlíky | obsah
2	kanárci a obsah
3	kanárci a stehlíkové a obsah
4	chov & chov & kanárů & stehlíků

Řešení

Pro vyřešení problému si představme dotazy ve formě Eulerových kruhů.

K - kanárci,

Ш – stehlíky,

R – chov.

kanárci | teriéři | obsah	kanárci a obsah	kanárci a stehlíkové a obsah	chov & chov & kanárů & stehlíků

První požadavek má největší oblast stínovaných sektorů, pak druhý, pak třetí a čtvrtý požadavek má nejmenší.

Ve vzestupném pořadí podle počtu stránek budou požadavky uvedeny v následujícím pořadí: 4 3 2 1

Vezměte prosím na vědomí, že v prvním požadavku obsahují vyplněné sektory Eulerových kruhů vyplněné sektory druhého požadavku a vyplněné sektory druhého požadavku obsahují vyplněné sektory třetího požadavku a vyplněné sektory třetího požadavku obsahují vyplněný sektor čtvrtého požadavku.

Jen za takových podmínek si můžeme být jisti, že jsme problém vyřešili správně.

Problém 7 (Unifikovaná státní zkouška 2013)

V dotazovacím jazyce vyhledávače se symbol "|" používá k označení logické operace "OR" a symbol "&" se používá pro logickou operaci "AND".

Tabulka zobrazuje dotazy a počet nalezených stránek pro určitý segment internetu.

Žádost	Stránky nalezeny (v tisících)
Fregata | ničitel	3400
Fregata a torpédoborec	900
Fregata	2100

Kolik stránek (v tisících) bude nalezeno pro dotaz? ničitel?
Předpokládá se, že všechny dotazy byly provedeny téměř současně, takže množina stránek obsahujících všechna hledaná slova se během provádění dotazů nezměnila. 28. května 2015

Leonhard Euler (1707-1783) - slavný švýcarský a ruský matematik, člen Petrohradské akademie věd, prožil většinu svého života v Rusku. Nejznámější v matematické analýze, statistice, informatice a logice je Eulerův kruh (Euler-Vennův diagram), používaný k označení rozsahu pojmů a souborů prvků.

John Venn (1834-1923) – anglický filozof a logik, spoluautor Euler-Vennova diagramu.

Kompatibilní a nekompatibilní koncepty

Pojem v logice znamená formu myšlení, která odráží základní rysy třídy homogenních objektů. Označují se jedním nebo více slovy: „mapa světa“, „dominantní kvintakord“, „pondělí“ atd.

V případě, kdy prvky rozsahu jednoho pojmu zcela nebo částečně patří do rozsahu jiného, ​​hovoříme o kompatibilních pojmech. Pokud ani jeden prvek z rozsahu určitého pojmu nepatří do rozsahu jiného, ​​máme situaci s neslučitelnými pojmy.

Každý typ konceptu má zase svůj vlastní soubor možných vztahů. Pro kompatibilní koncepty jsou to následující:

• identita (ekvivalence) svazků;
• průnik (částečná shoda) objemů;
• podřízenost (podřízenost).

Pro nekompatibilní:

• podřízenost (koordinace);
• opačný (naopak);
• rozpor (rozpor).

Schematicky jsou vztahy mezi pojmy v logice obvykle označovány pomocí Euler-Vennových kružnic.

Vztahy ekvivalence

V tomto případě pojmy znamenají stejný předmět. Rozsah těchto pojmů se tedy zcela shoduje. Například:

A - Sigmund Freud;

B je zakladatelem psychoanalýzy.

Čtverec;

B - rovnostranný obdélník;

C je rovnoúhelníkový kosočtverec.

Pro zápis se používají plně shodné Eulerovy kružnice.

Křižovatka (částečná shoda)

Učitel;

B je milovník hudby.

Jak je vidět z tohoto příkladu, rozsah pojmů se částečně shoduje: určitá skupina učitelů se může ukázat jako milovníci hudby a naopak - mezi milovníky hudby mohou být zástupci učitelské profese. Obdobný vztah bude v případě, kdy pojem A je např. „obyvatel města“ a pojem B je „řidič“.

podřízenost (podřízenost)

Schematicky označené jako Eulerovy kruhy různých měřítek. Vztah mezi pojmy je v tomto případě charakteristický tím, že podřízený pojem (rozsahem menší) je zcela zahrnut do podřazeného (rozsahem většího). Podřazený pojem přitom podřadný zcela nevyčerpává.

Například:

Strom;

B - borovice.

Koncept B bude podřízen konceptu A. Protože borovice patří ke stromům, koncept A se v tomto příkladu stává podřízeným a „pohlcuje“ rozsah konceptu B.

Podřízenost (koordinace)

Vztah charakterizuje dva nebo více pojmů, které se navzájem vylučují, ale zároveň patří do určitého obecného obecného okruhu. Například:

A - klarinet;

B - kytara;

C - housle;

D - hudební nástroj.

Pojmy A, B, C se navzájem nepřekrývají, nicméně všechny patří do kategorie hudebních nástrojů (koncept D).

Naproti (naopak)

Opačné vztahy mezi pojmy znamenají, že tyto pojmy patří do stejného rodu. Navíc jeden z konceptů má určité vlastnosti (znaky), zatímco druhý je popírá a nahrazuje je v přírodě opačnými. Máme tedy co do činění s antonymy. Například:

A - trpaslík;

B je obr.

S opačnými vztahy mezi pojmy je Eulerův kruh rozdělen na tři segmenty, z nichž první odpovídá pojmu A, druhý pojmu B a třetí všem ostatním možným pojmům.

rozpor (rozpor)

V tomto případě oba pojmy představují druhy stejného rodu. Stejně jako v předchozím příkladu jeden z konceptů označuje určité kvality (znaky), zatímco druhý je popírá. Na rozdíl od vztahu opozice však druhý, opačný koncept nenahrazuje popírané vlastnosti jinými, alternativními. Například:

A - těžký úkol;

B je snadný úkol (ne-A).

Eulerův okruh vyjadřující rozsah pojmů tohoto druhu je rozdělen na dvě části – třetí, mezičlánek v tomto případě neexistuje. Pojmy jsou tedy také antonyma. V tomto případě se jeden z nich (A) stane kladným (potvrzujícím nějaký atribut) a druhý (B nebo jiný než A) se stává záporným (popírá odpovídající atribut): „bílý papír“ - „ne bílý papír“, „domácí historie“ - „zahraniční historie“ atd.

Klíčovou charakteristikou, která definuje Eulerovy kruhy, je tedy poměr objemů pojmů vůči sobě navzájem.

Vztahy mezi množinami

Měli byste také rozlišovat mezi koncepty prvků a množin, jejichž objem se odráží v Eulerových kruzích. Pojem množiny je vypůjčen z matematické vědy a má poměrně široký význam. Příklady v logice a matematice jej zobrazují jako určitou sbírku objektů. Samotné objekty jsou prvky této sady. „Množina je mnoho věcí pojatých jako jedna“ (Georg Cantor, zakladatel teorie množin).

Množiny se označují velkými písmeny: A, B, C, D... atd., prvky množin jsou označeny malými písmeny: a, b, c, d... atd. Příkladem množiny mohou být studenti v stejná třída, knihy stojící na určité polici (nebo například všechny knihy v určité knihovně), stránky v deníku, bobule na lesní mýtině atd.

Pokud zase určitá množina neobsahuje jediný prvek, nazývá se prázdná a značí se znaménkem Ø. Například množina průsečíků rovnoběžných čar, množina řešení rovnice x 2 = -5.

Řešení problému

Eulerovy kruhy se aktivně používají k řešení velkého množství problémů. Příklady v logice jasně demonstrují spojení mezi logickými operacemi a teorií množin. V tomto případě se používají pojmové pravdivostní tabulky. Například kruh označený jménem A představuje oblast pravdy. Oblast mimo kruh bude tedy představovat lež. Chcete-li určit oblast diagramu pro logickou operaci, měli byste zastínit oblasti definující Eulerův kruh, ve kterém budou jeho hodnoty pro prvky A a B pravdivé.

Použití Eulerových kruhů našlo široké praktické uplatnění v různých průmyslových odvětvích. Například v situaci s profesionální volbou. Pokud se subjekt zajímá o volbu budoucího povolání, může se řídit následujícími kritérii:

W – co rád dělám?

D - co to dělám?

P - jak mohu vydělat dobré peníze?

Znázorněme to ve formě diagramu: Eulerovy kružnice (příklady v logice - vztah průnik):

Výsledkem budou ty profese, které budou na průsečíku všech tří kruhů.

Euler-Vennovy kruhy zaujímají v matematice (teorii množin) zvláštní místo při výpočtu kombinací a vlastností. Eulerovy kružnice množiny prvků jsou uzavřeny v obraze obdélníku označujícího univerzální množinu (U). Místo kruhů lze použít i jiné uzavřené obrazce, ale podstata se nemění. Obrazce se navzájem prolínají, podle podmínek problému (v nejobecnějším případě). Také tyto údaje musí být odpovídajícím způsobem označeny. Prvky uvažovaných množin mohou být body umístěné uvnitř různých segmentů diagramu. Na jeho základě lze zastínit konkrétní oblasti, čímž se označí nově vytvořené množiny.

S těmito množinami je možné provádět základní matematické operace: sčítání (součet množin prvků), odčítání (rozdíl), násobení (součin). Navíc díky Euler-Vennovým diagramům je možné porovnávat množiny podle počtu prvků v nich obsažených, aniž by bylo nutné je počítat.

ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ POMOCÍ „KRUHŮ EULER“

Rybina Angelina

Třída 5 „D“, Městský vzdělávací ústav „Střední škola č. 59 s UIP“, Ruská federace,Saratov

Bagaeva Irina Viktorovna

vědecký poradce,učitel nejvyšší kategorie, učitel matematiky,Městská vzdělávací instituce "Střední škola č. 59 s UIP", Ruská federace,Saratov

"... kruhy jsou velmi vhodné pro usnadnění našeho myšlení"

Leonard Euler

Neexistuje žádný vědec, jehož jméno je ve vzdělávací matematické literatuře zmiňováno tak často jako jméno Euler. Dokonce i na střední škole se logaritmy a trigonometrie stále vyučují převážně „podle Eulera“.

V roce 1741 Euler napsal „Dopisy o různých fyzických a filozofických záležitostech, psané jisté německé princezně...“, kde se poprvé objevily „Eulerovy kruhy“. Euler tehdy napsal, že „kruhy jsou velmi vhodné pro usnadnění našeho myšlení“.

Při řešení řady problémů použil Leonhard Euler myšlenku reprezentovat množiny pomocí kruhů a byly nazývány „eulerovské kruhy“.

Pomocí těchto kruhů Euler také zobrazil množinu všech reálných čísel:

N - množina přirozených čísel,

Z - sada celých čísel,

Q - množina racionálních čísel,

· R je množina všech reálných čísel.

Obrázek 1. Ilustrace množiny reálných čísel

Co je sada?

Přesná definice tohoto pojmu v matematice neexistuje. Pojem „soubor“ není definován, je vysvětlen na příkladech: mnoho jablek v košíku; množina bodů na úsečce. Sada se skládá z prvků. V uvedených příkladech se jedná o jablka, písmena, tečky.

Sady jsou označeny velkými písmeny latinské abecedy: A, B, C, ... K, M, N ... X, ...; prvky množiny - malými písmeny abecedy: a, b, c, ... k, m, n ... x, y, .... A = (a; b; c; d) - množina A se skládá z prvků a, b , c, d, nebo, říkají, že prvek a patří do množiny A, se píše: aA (znak zní: „patří“). Prvek 5 není součástí sady A, říkají, že „5 nepatří do A“: 5 A, nebo . Pokud množina B neobsahuje jediný prvek, pak se říká, že je prázdná, značíme: B =.

Množinu lze chápat jako soubor libovolných objektů nazývaných prvky množiny. Příklady množin mohou být domy na naší ulici a abeceda je sbírka písmen a naše 5. třída „D“ je množina studentů.

Sady mohou být:

· Konečné (jejichž prvky lze spočítat; například množina čísel)

· Prázdné (neobsahující jediný prvek; například mnoho zajíců, kteří studují v naší třídě).

Množinu K nazýváme podmnožinou množiny N, jestliže každý prvek množiny K je prvkem množiny N. Značíme: KÍN. O množině K se říká, že je součástí množiny N.

Podmnožiny lze znázornit Eulerovými kruhy.

Obrázek 2. Obrázek podmnožiny

Akce se sadami

V matematice existuje několik operací s množinami. Podíváme se na dva z nich: průnik a spojení.

1. Průnik množin

Průnik množin M A N je soubor skládající se z prvků, které současně patří M A N. Průsečík mnoha M A N označeno .

Příklad. Sada N = ( A N D RE Y );

sada K = ( A L E K S E Y ); nastavit M = ( D M I T R I Y )

Obrázek 3. Příklad průniku množin

2. Sjednocení množin

Sjednocení množin je množina, která obsahuje všechny prvky původních množin. Unie množin M A N označený .

Příklad; 2) spojením souboru všech psích plemen a souboru mopsů je soubor všech psů.

Operace sjednocení a průniku množin jsou velmi pohodlně znázorněny pomocí Eulerových kružnic.

Průnik dvou množin M a N podle definice zahrnuje prvky, které patří do množin M a N současně

Příklad. Nechť D je soubor 12 nejhezčích dívek, M je soubor 12 nejchytřejších chlapců. Dostali jsme svou třídu.

Obrázek 4. Příklad slučování množin

3. Vnořené množiny.

Příklad. Existují tři sady: „děti“, „školáci“, „žáci základních škol“. Vidíme, že tyto 3 sady jsou umístěny jedna v druhé . O množině umístěné uvnitř jiné množiny se říká, že je vnořená.

Obrázek 5. Příklad vnořených sad

Problémy, které lze vyřešit pomocí Eulerových diagramů

Úkol č. 1

Na stůl byly hozeny dva ubrousky 10 cm x 10 cm Pokryly plochu stolu rovnou 168. Jaká je plocha překrytí?

1)168 – 10 x 10 = 68;

2) 10 x 10 – 68 = 32.

Odpověď: 32 cm

Obrázek 6. Nákres k úkolu č. 1

Problém č. 2

80 % třídy jelo na túru a 60 % na exkurze a všichni byli na vandru nebo na exkurzi. Kolik procent třídy bylo tam i tam?

A - mnoho studentů, kteří šli na túru

B - mnoho studentů, kteří byli na exkurzi

100 % – 80 % = 20 %

60 % – 20 % = 40 %

Odpověď: 40%

Obrázek 7. Výkres k úkolu č. 2

Problém č. 3

V naší třídě je 24 žáků. Všichni si užili zimní prázdniny 10 lidí lyžovalo, 16 jezdilo na kluziště a 12 dělalo sněhuláky. Kolik studentů umělo lyžovat, bruslit a postavit sněhuláka?

A - spousta kluků lyžuje

B - hodně kluků bruslí

S - spousta kluků dělá sněhuláky

Nechť x je počet mužů

kteří o těchto prázdninách stihli všechno!

(12 - x) + (16 - x) + (10 - x) + x = 24

Odpověď: 7 chlapů

Obrázek 8. Výkres k úkolu č. 3

Problém č. 4

9 mých přátel má rádo banány, 8 má rádo pomeranče, 7 má rád švestky, 5 má rád banány a pomeranče, 3 má rád banány a švestky, 4 má rád pomeranče a švestky, 2 má rád banány, pomeranče a švestky. Kolik přátel mám?

5 – 2 = 3 3 – 2 = 1 4 – 2 = 2

9 – 6 = 3 8 – 7 = 1 7 – 5 = 2

3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2 = 14

Odpověď: 14 přátel

Obrázek 9. Nákres k problému č. 4

Problém č. 5

V pionýrském táboře Dubki během směny odpočívalo 30 vynikajících žáků, 28 vítězů olympiád a 42 sportovců. 10 lidí bylo jak výborných žáků, tak vítězů olympiád, 5 vynikajících žáků a sportovců, 8 sportovců a vítězů olympiád, 3 byli jak výborní žáci, tak sportovci a vítězové olympiád.

Kolik kluků bylo na táboře?

A - mnoho vynikajících studentů

B - mnoho vítězů olympiád

C - mnoho sportovců

10 – 3 = 7 5 – 3 = 2 8 – 3 = 5

30 – 12 = 18 28 – 15 = 13 42 – 10 = 32

18 + 13 + 32 + 7 + 2 + 5 + 3 = 80

Odpověď: 80 chlapů

Obrázek 10. Nákres k problému č. 5

3. Závěr

Eulerovy diagramy jsou obecným názvem pro řadu metod grafického znázornění, široce používaných v různých oblastech matematiky: teorie množin, teorie pravděpodobnosti, logika, statistika, informatika atd. Použití Eulerových kruhů umožňuje i žákovi páté třídy snadno řešit problémy, které lze řešit pouze běžným způsobem na střední škole.

Bibliografie:

1.Alexandrová R.A., Potapov A.M. Základy teorie množin a matematické logiky. Workshop / Kaliningrad. 1997. - 66 s.

2. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. Příručka pro studenty 5.–6. M.: Vzdělávání, 1999. s. 189-191, 231.

3.Úkoly pro mimoškolní práci v matematice pro ročníky V-VI: Příručka pro učitele / Komp. V.Yu. Safonová. Ed. D.B. Fuksa, A.L. Gavronského. M.: MIROŠ, 1993. - str. 42.

4. Zábavná matematika. 5-11 tříd. Jak na to, aby hodiny nebyly nudné / Autor. komp. T.D. Gavrilová. Volgograd: Učitel, 2005. - str. 32-38.

5. Smykalová E.V. Doplňkové kapitoly o matematice pro žáky 5. ročníku. Petrohrad: SMIO Press, 2009. - str. 14-20.

6.Encyklopedie pro děti. T. 11. Matematika Vedoucí redaktor. M.D. Aksenov. M.: Avanta +, 2001. - str. 537-542.