Zvažte letadlo p a čára, která ji protíná . Nechat ALE je libovolný bod v prostoru. Nakreslete čáru přes tento bod , rovnoběžně s čárou . Nechat . Tečka se nazývá bodová projekce ALE do letadla p v paralelním provedení podél dané linie . Letadlo p , na kterou se promítají body prostoru, se nazývá promítací rovina.

p - promítací rovina;

- přímý design; ;

; ; ;

Ortogonální design je speciální případ paralelního provedení. Ortogonální promítání je rovnoběžné promítání, ve kterém je promítací přímka kolmá k promítací rovině. Ortogonální promítání je široce používáno v technickém kreslení, kde se obrazec promítá do tří rovin - horizontální a dvou vertikálních.

Definice: Pravopisné promítání bodu M do letadla p volala základna M 1 kolmý MM 1, snížený z bodu M do letadla p.

Označení: , , .

Definice: Ortografická projekce postavy F do letadla p je množina všech bodů roviny, které jsou ortogonálními průměty množiny bodů obrazce F do letadla p.

Ortogonální design jako speciální případ paralelní design má stejné vlastnosti:

p - promítací rovina;

- přímý design; ;

1) ;

2) , .

1. Průměty rovnoběžných čar jsou rovnoběžné.

PROJEKČNÍ PLOCHA PLOCHÉ POSTAVY

Teorém: Plocha průmětu plochého mnohoúhelníku na určitou rovinu se rovná ploše promítnutého mnohoúhelníku vynásobené kosinusem úhlu mezi rovinou mnohoúhelníku a promítací rovinou.

Fáze 1: Promítnutý obrazec je trojúhelník ABC, jehož strana AC leží v promítací rovině a (rovnoběžné s promítací rovinou a).

Dáno:

Dokázat:

Důkaz:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Podle věty o třech kolmicích;

ВD - výška; V 1 D - výška;

5. - lineární úhel dihedrálního úhlu;

6. ; ; ; ;

Fáze 2: Promítnutý obrazec je trojúhelník ABC, jehož žádná ze stran neleží v promítací rovině a a není s ní rovnoběžná.

Dáno:

Dokázat:

Důkaz:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(fáze 1);

5. ; ; ;

(fáze 1);

Jeviště: Navržený obrazec je libovolný mnohoúhelník.

Důkaz:

Mnohoúhelník je rozdělen úhlopříčkami nakreslenými z jednoho vrcholu na konečný počet trojúhelníků, pro každý z nich platí věta. Věta tedy bude platit i pro součet ploch všech trojúhelníků, jejichž roviny svírají s promítací rovinou stejný úhel.

Komentář: Dokázaná věta platí pro jakýkoli plochý útvar ohraničený uzavřenou křivkou.

Cvičení:

1. Najděte oblast trojúhelníku, jehož rovina je nakloněna k promítací rovině pod úhlem, pokud je jeho průmětem pravidelný trojúhelník se stranou a.

2. Najděte oblast trojúhelníku, jehož rovina je skloněna k promítací rovině pod úhlem, pokud je jeho průmět rovnoramenný trojúhelník se stranou 10 cm a základnou 12 cm.

3. Najděte plochu trojúhelníku, jehož rovina je nakloněna k promítací rovině pod úhlem, pokud je jeho průmět trojúhelník se stranami 9, 10 a 17 cm.

4. Vypočítejte plochu lichoběžníku, jehož rovina je skloněna k promítací rovině pod úhlem, je-li jeho průmět rovnoramenný lichoběžník, jehož větší základna je 44 cm, strana 17 cm a úhlopříčka je 39 cm.

5. Vypočítejte projekční plochu pravidelného šestiúhelníku o straně 8 cm, jehož rovina je nakloněna k projekční rovině pod úhlem.

6. Kosočtverec se stranou 12 cm a ostrým úhlem svírá s danou rovinou úhel. Vypočítejte plochu průmětu kosočtverce na tuto rovinu.

7. Kosočtverec o straně 20 cm a úhlopříčce 32 cm svírá s danou rovinou úhel. Vypočítejte plochu průmětu kosočtverce na tuto rovinu.

8. Průmět vrchlíku na vodorovnou rovinu je obdélník se stranami a . Najděte oblast převisu, pokud jsou boční plochy stejné obdélníky nakloněný k vodorovné rovině pod úhlem a střední část vrchlíku je čtverec rovnoběžný s projekční rovinou.

11. Cvičení na téma "Čáry a roviny ve vesmíru":

Strany trojúhelníku jsou 20 cm, 65 cm, 75 cm Z vrcholu většího úhlu trojúhelníku k jeho rovině je nakreslena kolmice rovna 60 cm Zjistěte vzdálenost od konců kolmice k větší strana trojúhelník.

2. Z bodu odděleného od roviny ve vzdálenosti cm jsou nakresleny dva nakloněné, které svírají s rovinou úhly rovné , a mezi sebou - pravý úhel. Najděte vzdálenost mezi průsečíky nakloněné roviny.

3. Strana pravidelného trojúhelníku je 12 cm Bod M volíme tak, aby úsečky spojující bod M se všemi vrcholy trojúhelníku svíraly s jeho rovinou úhly. Najděte vzdálenost od bodu M k vrcholům a stranám trojúhelníku.

4. Stranou čtverce je nakreslena rovina pod úhlem k úhlopříčce čtverce. Najděte úhly, pod kterými jsou dvě strany čtverce nakloněny k rovině.

5. Rameno rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku je nakloněno k rovině a procházející přes přeponu pod úhlem. Dokažte, že úhel mezi rovinou a a rovinou trojúhelníku je .

6. Dihedrální úhel mezi rovinami trojúhelníků ABC a DBC je . Najděte AD, pokud AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Kontrolní otázky na téma "Čáry a roviny ve vesmíru"

1. Vyjmenujte základní pojmy stereometrie. Formulujte axiomy stereometrie.

2. Dokažte důsledky axiomů.

3. Co je vzájemné domluvě dvě čáry v prostoru? Definujte protínající se, rovnoběžné, protínající se čáry.

4. Dokažte kritérium pro protínající se čáry.

5. Jaká je vzájemná poloha přímky a roviny? Uveďte definice protínajících se, rovnoběžných čar a rovin.

6. Dokažte znaménko rovnoběžnosti přímky a roviny.

7. Jaká je vzájemná poloha dvou rovin?

8. Definujte rovnoběžné roviny. Dokažte kritérium pro rovnoběžnost dvou rovin. Formulujte věty o rovnoběžných rovinách.

9. Definujte úhel mezi čarami.

10. Dokažte znaménko kolmosti přímky a roviny.

11. Uveďte definice podstavy kolmice, podstavy šikminy, průmětu šikminy do roviny. Formulujte vlastnosti kolmice a šikmé, spuštěné do roviny z jednoho bodu.

12. Definujte úhel mezi přímkou ​​a rovinou.

13. Dokažte větu o třech kolmicích.

14. Uveďte definice úhlu lomu, lineárního úhlu lomu.

15. Dokažte znaménko kolmosti dvou rovin.

16. Definujte vzdálenost mezi dvěma různými body.

17. Definujte vzdálenost od bodu k přímce.

18. Definujte vzdálenost od bodu k rovině.

19. Definujte vzdálenost mezi přímkou ​​a rovinou s ní rovnoběžnou.

20. Definujte vzdálenost mezi rovnoběžnými rovinami.

21. Definujte vzdálenost mezi šikmými čarami.

22. Definujte ortogonální průmět bodu do roviny.

23. Definujte ortogonální průmět obrazce do roviny.

24. Formulujte vlastnosti průmětů do roviny.

25. Formulujte a dokažte větu o projekční ploše plochého mnohoúhelníku.

Hodina geometrie v 10. ročníku

V jedné z předchozích lekcí jste se seznámili s pojmem průmět bodu na danou rovinu rovnoběžnou s danou přímkou.

V této lekci budete pokračovat ve studiu čar a rovin; Naučte se, jak najít úhel mezi přímkou ​​a rovinou. Seznámíte se s pojmem ortogonální promítání do roviny a zvážíte jeho vlastnosti. Lekce poskytne definice vzdálenosti od bodu k rovině a od bodu k přímce, úhlu mezi přímkou ​​a rovinou. Bude dokázána slavná věta o třech kolmicích.

ortogonální projekce

Ortogonální promítání bodu a obrazce.

Ortogonální promítání součásti.

Ortogonální průmět bodu A na danou rovinu se nazývá průmět bodu na tuto rovinu rovnoběžnou

přímka kolmá k této rovině. ortogonální projekce

obrazec na danou rovinu p sestává z pravoúhlých průmětů všech bodů tohoto obrazce do roviny p. Ortogonální promítání se často používá k zobrazení prostorových těles v rovině, zejména v technických výkresech. Poskytuje realističtější obraz než libovolné paralelní promítání, zejména kulatých těles.

Kolmé a šikmé

Nechť je přímka vedena bodem A, který nepatří do roviny p, kolmou k této rovině a protíná ji v bodě B.

nazývá se segment AB

kolmý, snížena z bodu

A na této rovině a samotný bod B je základnou této kolmice. Libovolný segment AC, kde C -

libovolný bod roviny p, jiný než B, se nazývá nakloněný

toto letadlo.

Všimněte si, že bod B v této definici je ortogonální

projekce bodu A a segmentu AC - Kolmé a šikmé. ortogonální promítání šikmého AB.

Ortografické promítání mají všechny vlastnosti běžných rovnoběžných promítání, ale mají i řadu nových vlastností.

Nechť je nakreslena kolmice a několik nakloněných čar z jednoho bodu do roviny. Pak jsou následující tvrzení pravdivá.

1. Libovolná šikmina je delší než kolmý i kolmý průmět šikminy do této roviny.

2. Stejné šikmé plochy mají stejné ortogonální projekce a naopak, šikmé plochy se stejnými projekcemi jsou také stejné.

3. Jeden šikmý úhel je delší než druhý právě tehdy, když je kolmý průmět prvního šikmého úhlu delší než kolmý průmět druhého šikmého průřezu.

Vlastnosti ortogonálního promítání

Důkaz.

Nechť je z bodu A nakreslena kolmice AB a dvě nakloněné AC a AD do roviny p; pak úsečky BC a BD jsou pravoúhlé průměty těchto úseček do roviny p.

Dokažme první tvrzení: libovolná šikmá plocha je delší než kolmý i pravoúhlý průmět šikminy do této roviny. Uvažujme například šikmý AC a trojúhelník ABC tvořený kolmicí AB, tímto šikmým AC a jeho pravoúhlým průmětem BC. Tento trojúhelník je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu B a přepony AC, která, jak víme z planimetrie, je delší než každá z ramen, tzn. a kolmice AB a projekce BC.

Z bodu A do roviny pi je nakreslena kolmice AB a dvě nakloněné AC a AD.

Vlastnosti ortogonálního promítání

trojúhelníky

ABC a ABD

stejné délky a přepony.

Nyní dokažme druhé tvrzení, totiž: stejné šikmé mají stejné ortogonální průměty a naopak, šikmé mající stejné průměty jsou také stejné.

Zvážit pravoúhlé trojúhelníky ABC a ABD. Oni jsou

mají společnou nohu AB. Pokud jsou šikmé AC a AD stejné, pak jsou pravoúhlé trojúhelníky ABC a ABD stejné v noze a přeponě a pak BC=BD. Naopak, pokud jsou projekce BC a BD stejné, pak jsou tyto stejné trojúhelníky stejné ve dvou větvích a jejich přepony AC a AD jsou také stejné.

odporuje podmínce. Pokud slunce< BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию.

Zbývá třetí možnost: BC > BD. Věta byla prokázána.

Pokud je BC větší než BD,

pak AC je větší než strana

AE se rovná AD.

Ortogonální promítání je speciální případ rovnoběžného promítání, kdy směr promítání S je kolmý (kolmý) k promítací rovině S   1 (obr. 1.11).

Rýže. 1.11. ortogonální projekce pravý úhel

Ortogonální projekce je široce používána v inženýrské praxi pro zobrazování geometrických obrazců v rovině, protože má řadu výhod oproti středové a paralelní (šikmé) projekci, mezi které patří:

a) jednoduchost grafických konstrukcí pro určování pravoúhlých průmětů bodů;

b) možnost za určitých podmínek zachovat tvar a rozměry promítaného obrazce na výčnělcích.

Tyto výhody zajistily široké použití ortogonálního promítání ve strojírenství, zejména pro přípravu technických výkresů.

Pro ortogonální projekci platí všech devět výše uvažovaných invariantních vlastností. Kromě toho je nutné poznamenat ještě jednu, desátou, invariantní vlastnost, která platí pouze pro ortogonální promítání.

10. Pokud je alespoň jedna strana pravého úhlu rovnoběžná s promítací rovinou, pak se pravý úhel promítne do této promítací roviny bez zkreslení (obr. 1.11)

Na Obr. 1.11 ukazuje pravý úhel ABD, jehož obě strany jsou rovnoběžné s promítací rovinou  1. Podle invariantní vlastnosti 9.2 se tento úhel promítne do roviny  1 bez zkreslení, tj. A 1 B 1 D 1 =90.

Vezměme libovolný bod C na promítajícím nosníku DD 1, pak bude výsledné ABC přímé, protože ABBB 1 DD 1 .

Průmět tohoto pravého úhlu ABC, ve kterém je pouze jedna strana AB rovnoběžná s rovinou průmětu  1, bude pravý úhel A 1 B 1 D 1.

Když už mluvíme o geometrických obrazcích a jejich projekcích, je třeba mít na paměti, že projekce obrazce je soubor průmětů všech jeho bodů.

1.6. Systém tří rovin promítání. Epure Monge.

Všechny prostorové geometrické obrazce lze orientovat vzhledem ke kartézskému pravoúhlému systému souřadnicových os - systému tří vzájemně kolmých souřadnicových rovin (obr. 1.12).

Rýže. 1.12. Obrázek soustavy tří promítacích rovin

Tyto souřadnicové roviny jsou označeny:

vodorovná rovina průmětů -  1;

frontální rovina průmětů -  2;

profilová rovina průmětů -  3 .

Průsečíky těchto rovin tvoří souřadnicové osy: souřadnicová osa je X; osa y - Y; aplikovaná osa - Z. Průsečík O souřadnicové osy se bere jako počátek souřadnic a označuje se písmenem O. Kladné směry os jsou: pro osu x - vlevo od počátku, pro osu Y - směrem k divákovi z roviny  2, pro osa z - nahoru od roviny  1; opačné směry jsou považovány za negativní.

Pro zjednodušení další úvahy budeme uvažovat pouze část prostoru nacházející se vlevo od profilové roviny průmětů  3 .

Za tohoto předpokladu tři souřadnicové promítací roviny svírají čtyři prostorové úhly - oktanty (v obecném případě - 8 oktantů).

Z Obr. 1.12 je vidět, že osa X rozděluje vodorovnou projekční rovinu  1 na dvě části: přední podlahu  1 (osy X a Y) a zadní podlahu  1 (osy X a - Y).

Rozděluje se osa X rovina čelní projekce 2 také ve dvou částech: horní patro 2 (osa X a Z) a spodní podlaha  2 (osa X a - Z).

Osa Y a použití Z rozdělte rovinu promítání profilu  3 na čtyři části:

horní přední patro  3 (osy Y a Z)

horní zadní podlaha  3 (osa Y a Z)

spodní přední podlaha  3 (osy Y a –Z)

spodní zadní podlaha  3 i (osy - Y a -Z)

Pro získání plochého (dvourozměrného) modelu prostorových souřadnicových rovin průmětů se horizontální  1 a profilová  3 rovina kombinují s frontální  2 v pořadí znázorněném šipkami na Obr. 1.12.

P
V tomto případě se horizontální projekční rovina  1 otočí kolem osy X o 90 a rovina promítání profilu  3 se také otočí kolem osy Z o 90 (směr otáčení je znázorněn na obr. 1.12).

Takto získaná kombinace tří promítacích rovin (obr. 1.13) je plochým modelem soustavy tří prostorových

na

Rýže. 1.13. Prostorový model bodu A

souřadnicové roviny.

Pro sestavení plochého modelu prostorového geometrického útvaru se každý jeho bod promítne ortogonálně na promítací roviny  1 ,  2 a  3, které se následně spojí do jedné roviny. Takto získaný plochý model prostorového geometrického útvaru se nazývá Mongeův diagram.

Pořadí vykreslování bodového grafu umístěného v prvním oktantu.

Na Obr. 1.13 znázorňuje prostorový bod A, jehož souřadnice (x, y, z) ukazují vzdálenosti, ve kterých je bod vzdálen od promítacích rovin.

D Abychom získali pravoúhlé průměty bodu A, je nutné z tohoto bodu snížit kolmice na promítací rovinu.

Průsečíky těchto kolmiček s promítacími rovinami tvoří průměty bodu A:

A 1 - horizontální projekce body;

A 2 - čelní průmět bodu;

ALE

Rýže. 1.14. Bod vykreslení A

3 – profilový průmět bodu.

Na Obr. 1.14 jsou roviny promítání  1 a  3 zarovnány s rovinou výkresu (s rovinou promítání  2) a spolu s nimi jsou zarovnány s rovinou výkresu a průmětem bodu A (A 1, A 2, A 3) a tím se získá rovinný model souřadnicových rovin průměty a rovinný model prostorového bodu A - jeho diagram.

Poloha průmětů bodu A na diagramu je jednoznačně určena jeho třemi souřadnicemi (obr. 1.14).

Na Obr. 1.13 a Obr. 1.14 také ukazuje, že na diagramu leží horizontální a čelní průmět bodu na stejné kolmici k ose X, stejně jako průmět frontální a profilový - na stejné kolmici k ose Z:

ALE 1 ALE 2  X, A 2 ALE 3  Z.

Obrázek 1.12 ukazuje, že body umístěné v různých oktantech mají určité znaky souřadnic.

Tabulka ukazuje znaménka souřadnic bodů umístěných v různých oktantech

Tabulka souřadnicových znaků

	Souřadnicové znaky

Otázky pro sebeovládání

Jaká je myšlenka za projekční metodou?

Co je podstatou středového promítání a jaké jsou jeho hlavní vlastnosti?

Co je podstatou paralelního promítání a jaké jsou jeho hlavní vlastnosti?

Co je podstatou ortogonálního (pravoúhlého) promítání?

Jak je formulována věta o pravoúhlém promítání?