1. Substituční metoda: z libovolné rovnice soustavy vyjádříme jednu neznámou pomocí druhé a dosadíme ji do druhé rovnice soustavy.

Úkol.Řešte soustavu rovnic:

Řešení. Z první rovnice soustavy vyjádříme v přes X a dosadit do druhé rovnice soustavy. Pojďme na systém ekvivalentní originálu.

Po předložení těchto podmínek bude mít systém podobu:

Z druhé rovnice zjistíme: . Dosazení této hodnoty do rovnice v = 2 - 2X, dostaneme v= 3. Řešením této soustavy je tedy dvojice čísel .

2. Metoda algebraické sčítání : sečtením dvou rovnic získáte rovnici s jednou proměnnou.

Úkol.Řešte rovnici systému:

Řešení. Vynásobením obou stran druhé rovnice 2 dostaneme soustavu ekvivalentní originálu. Sečtením dvou rovnic tohoto systému se dostaneme k systému

Po zmenšení podobných výrazů bude mít tento systém podobu: Z druhé rovnice najdeme . Dosazením této hodnoty do rovnice 3 X + 4v= 5, dostáváme , kde . Řešením této soustavy je tedy dvojice čísel .

3. Metoda zavádění nových proměnných: hledáme v systému nějaké opakované výrazy, které budeme označovat novými proměnnými, čímž zjednodušíme podobu systému.

Úkol.Řešte soustavu rovnic:

Řešení. Napišme tento systém jinak:

Nechat x + y = u, hu = proti. Pak dostaneme systém

Řešíme to substituční metodou. Z první rovnice soustavy vyjádříme u přes proti a dosadit do druhé rovnice soustavy. Pojďme na systém těch.

Z druhé rovnice soustavy najdeme proti 1 = 2, proti 2 = 3.

Dosazením těchto hodnot do rovnice u = 5 - proti, dostaneme u 1 = 3,
u 2 = 2. Pak máme dva systémy

Řešením první soustavy dostaneme dvě dvojice čísel (1; 2), (2; 1). Druhý systém nemá řešení.

Cvičení pro samostatnou práci

1. Řešení soustav rovnic substituční metodou.

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a nadcházejících událostech.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy v oblasti ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

V této lekci se budeme zabývat metodami řešení soustavy lineárních rovnic. V rámci vyšší matematiky je potřeba soustavy lineárních rovnic řešit jak formou samostatných úloh, např. "Řešení soustavy pomocí Cramerových vzorců", tak v rámci řešení jiných úloh. Téměř ve všech odvětvích vyšší matematiky se musíme zabývat soustavami lineárních rovnic.

Nejprve trocha teorie. Co v tomto případě znamená matematické slovo „lineární“? To znamená, že v rovnicích soustavy Všechno proměnné jsou zahrnuty v prvním stupni: žádné luxusní věci jako atd., ze kterých mají radost jen účastníci matematických olympiád.

Ve vyšší matematice se k označení proměnných nepoužívají pouze písmena známá z dětství.
Poměrně oblíbenou možností jsou proměnné s indexy: .
Nebo počáteční písmena latinské abecedy, malá a velká:
Není tak vzácné najít řecká písmena: - mnohým dobře známá "alfa, beta, gama". A také sada s indexy, řekněme, s písmenem "mu":

Použití té či oné sady písmen závisí na oboru vyšší matematiky, ve kterém se setkáváme se systémem lineárních rovnic. Takže například v soustavách lineárních rovnic, se kterými se setkáváme při řešení integrálů, diferenciálních rovnic, je tradičně obvyklé používat označení

Ale bez ohledu na to, jak jsou proměnné označeny, principy, metody a metody řešení soustavy lineárních rovnic se od toho nemění. Pokud tedy narazíte na něco hrozného, ​​jako je, nespěchejte se strachem zavřít knihu problémů, koneckonců místo toho můžete nakreslit slunce, místo toho - ptáka a místo toho - tvář (učitele). A kupodivu lze vyřešit i soustavu lineárních rovnic s těmito zápisy.

Něco, co mám takovou předtuchu, že článek bude docela dlouhý, takže malý obsah. Sekvenční „debriefing“ tedy bude následující:

– Řešení soustavy lineárních rovnic substituční metodou („školní metoda“);
– Řešení soustavy metodou sčítání (odčítání) rovnic soustavy po členech;
– Řešení soustavy podle Cramerových vzorců;
– Řešení soustavy pomocí inverzní matice;
– Řešení soustavy Gaussovou metodou.

Každý zná soustavy lineárních rovnic z školní kurz matematika. Ve skutečnosti začínáme s opakováním.

Řešení soustavy lineárních rovnic substituční metodou

Tato metoda lze také nazvat „školní metodou“ nebo metodou odstraňování neznámých. Obrazně řečeno, lze ji také nazvat „polohotovou Gaussovou metodou“.

Příklad 1

Zde máme soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými. Všimněte si, že volné členy (čísla 5 a 7) jsou umístěny na levé straně rovnice. Obecně řečeno, je jedno, kde jsou, vlevo nebo vpravo, jde jen o to, že v úlohách ve vyšší matematice se tak často nacházejí. A takový záznam by neměl být matoucí, v případě potřeby lze systém vždy zapsat "jako obvykle":. Nezapomeňte, že při přenosu termínu z části na část je třeba změnit její znaménko.

Co to znamená řešit soustavu lineárních rovnic? Řešení soustavy rovnic znamená nalezení množiny jejích řešení. Řešením systému je množina hodnot všech proměnných v něm obsažených, který změní KAŽDOU rovnici systému ve skutečnou rovnost. Navíc systém může být nekompatibilní (nemám řešení) Nestyď se, je to tak obecná definice=) Budeme mít pouze jednu hodnotu "x" a jednu hodnotu "y", které splňují každou rovnici s-we.

Pro řešení systému existuje grafická metoda, kterou najdete v lekci. Nejjednodušší problémy s přímkou. Tam jsem o tom mluvil geometrický smysl soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. Ale teď na dvoře je éra algebry a čísel-čísel, akcí-akcí.

rozhodujeme se: z první rovnice vyjádříme:
Výsledný výraz dosadíme do druhé rovnice:

Otevřeme závorky, dáme podobné výrazy a najdeme hodnotu:

Dále si připomeneme, z čeho tančili:
Hodnotu již známe, zbývá najít:

Odpovědět:

Poté, co byl JAKÝKOLI způsob vyřešen JAKÝKOLI systém rovnic, důrazně doporučuji zkontrolovat (ústně, na konceptu nebo na kalkulačce). Naštěstí to jde rychle a snadno.

1) Dosaďte nalezenou odpověď do první rovnice:

- je dosažena správná rovnost.

2) Nalezenou odpověď dosadíme do druhé rovnice:

- je dosažena správná rovnost.

Nebo, jednodušeji řečeno, „vše se spojilo“

Uvažovaný způsob řešení není jediný, z první rovnice bylo možné vyjádřit , ale nikoli .
Můžete i naopak - vyjádřit něco z druhé rovnice a dosadit to do první rovnice. Mimochodem, všimněte si, že nejnevýhodnější ze čtyř způsobů je vyjádřit z druhé rovnice:

Získávají se zlomky, ale proč? Existuje racionálnější řešení.

V některých případech jsou však zlomky stále nepostradatelné. V tomto ohledu upozorňuji na to, JAK jsem ten výraz napsal. Ne takhle: a v žádném případě takhle: .

Pokud se ve vyšší matematice zabýváte zlomková čísla, pak se pokuste provést všechny výpočty v obyčejných nesprávných zlomcích.

Přesně tak, ne nebo!

Čárku lze použít pouze příležitostně, zejména pokud - toto je konečná odpověď na nějaký problém a s tímto číslem není třeba provádět žádné další akce.

Mnoho čtenářů si pravděpodobně myslelo „proč tak podrobné vysvětlení, jako u opravné třídy, a vše je jasné“. Nic takového, vypadá to tak jednoduše školní příklad a kolik VELMI důležitých závěrů! Tady je další:

Každý úkol by se měl snažit splnit co nejracionálnějším způsobem.. Už jen proto, že šetří čas a nervy a také snižuje pravděpodobnost, že uděláte chybu.

Pokud v úloze ve vyšší matematice narazíte na soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými, pak můžete vždy použít substituční metodu (pokud není uvedeno, že je třeba soustavu řešit jinou metodou)“.
Navíc v některých případech je vhodné použít substituční metodu s větším počtem proměnných.

Příklad 2

Řešte soustavu lineárních rovnic se třemi neznámými

Podobný systém rovnic často vzniká při použití tzv. metody neurčitých koeficientů, kdy najdeme integrál racionální zlomkové funkce. Zmíněný systém jsem odtamtud převzal já.

Při hledání integrálu – cíle rychle najděte hodnoty koeficientů a nebuďte sofistikovaní s Cramerovými vzorci, metodou inverzní matice atd. Proto je v tomto případě vhodná substituční metoda.

Když je daná jakákoliv soustava rovnic, je v první řadě žádoucí to zjistit, ale jde to HNED nějak zjednodušit? Při analýze rovnic systému si všimneme, že druhou rovnici systému lze vydělit 2, což uděláme:

Odkaz: matematický symbol znamená "z toho plyne toto", často se používá při řešení problémů.

Nyní analyzujeme rovnice, potřebujeme vyjádřit nějakou proměnnou prostřednictvím zbytku. Jakou rovnici zvolit? Pravděpodobně jste již uhodli, že nejjednodušší způsob pro tento účel je vzít první rovnici systému:

Zde nezáleží na tom, kterou proměnnou vyjádřit, stejně dobře lze vyjádřit nebo .

Dále dosadíme výraz pro do druhé a třetí rovnice systému:

Otevřete závorky a přidejte podobné výrazy:

Třetí rovnici vydělíme 2:

Z druhé rovnice vyjádříme a dosadíme do třetí rovnice:

Téměř vše je připraveno, ze třetí rovnice najdeme:
Z druhé rovnice:
Z první rovnice:

Ověření: Nahraďte nalezené hodnoty proměnných v levá strana každá rovnice systému:

1)
2)
3)

Získají se odpovídající pravé strany rovnic, takže řešení je nalezeno správně.

Příklad 3

Řešte soustavu lineárních rovnic se 4 neznámými

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí(odpověď na konci lekce).

Řešení soustavy sčítáním (odčítáním) rovnic soustavy po členech

Při řešení soustav lineárních rovnic bychom se měli snažit používat nikoli „školní metodu“, ale metodu sčítání (odčítání) rovnic soustavy po členech. Proč? To šetří čas a zjednodušuje výpočty, nicméně nyní to bude přehlednější.

Příklad 4

Řešte soustavu lineárních rovnic:

Vzal jsem stejný systém jako v prvním příkladu.
Při analýze soustavy rovnic si všimneme, že koeficienty proměnné jsou shodné v absolutní hodnotě a opačné ve znaménku (–1 a 1). V této situaci mohou být rovnice přidány po členech:

Činnosti zakroužkované červeně se provádějí MENTÁLNĚ.
Jak vidíte, v důsledku termwise sčítání jsme ztratili proměnnou . To ve skutečnosti je podstatou metody je zbavit se jedné z proměnných.

Řešení systémů lineárních algebraických rovnic (SLAE) je bezpochyby nejdůležitějším tématem kurzu lineární algebry. Obrovské množství úloh ze všech odvětví matematiky je redukováno na řešení soustav lineárních rovnic. Tyto faktory vysvětlují důvod vytvoření tohoto článku. Materiál článku je vybrán a strukturován tak, abyste s jeho pomocí mohli

• zvolit optimální metodu pro řešení vašeho systému lineárních algebraických rovnic,
• studovat teorii zvolené metody,
• vyřešte svůj systém lineárních rovnic s podrobným zvážením řešení typických příkladů a problémů.

Stručný popis materiálu článku.

Nejprve uvedeme všechny potřebné definice, pojmy a zavedeme nějakou notaci.

Dále uvažujeme metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, ve kterých je počet rovnic roven počtu neznámých proměnných a které mají jednoznačné řešení. Za prvé se zaměříme na Cramerovu metodu, za druhé si ukážeme maticovou metodu řešení takových soustav rovnic a za třetí si rozebereme Gaussovu metodu (metodu postupné eliminace neznámých proměnných). Pro upevnění teorie určitě vyřešíme několik SLAE různými způsoby.

Poté přejdeme k řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecný pohled, ve kterém se počet rovnic neshoduje s počtem neznámých proměnných nebo je hlavní matice systému degenerovaná. Formulujeme Kronecker-Capelliho teorém, který nám umožňuje stanovit kompatibilitu SLAE. Analyzujme řešení systémů (v případě jejich kompatibility) pomocí konceptu minoritní báze matice. Zvážíme také Gaussovu metodu a podrobně popíšeme řešení příkladů.

Určitě se pozastavte nad strukturou obecného řešení homogenních a nehomogenních soustav lineárních algebraických rovnic. Uveďme koncept fundamentálního systému řešení a ukažme, jak se obecné řešení SLAE zapisuje pomocí vektorů fundamentálního systému řešení. Pro lepší pochopení se podívejme na pár příkladů.

Na závěr uvažujeme soustavy rovnic, které jsou redukovány na lineární, a také různé problémy, při jejichž řešení vznikají SLAE.

Navigace na stránce.

Definice, pojmy, označení.

Budeme uvažovat soustavy p lineárních algebraických rovnic s n neznámými proměnnými (p se může rovnat n ) tvaru

Neznámé proměnné, - koeficienty (některá reálná nebo komplexní čísla), - volné členy (také reálná nebo komplexní čísla).

Tato forma SLAE se nazývá koordinovat.

V matricový formulář tato soustava rovnic má tvar
kde - hlavní matice systému, - maticový sloupec neznámých proměnných, - maticový sloupec volných členů.

Přidáme-li k matici A jako (n + 1)-tý sloupec matici-sloupec volných členů, dostaneme tzv. rozšířená matrice soustav lineárních rovnic. Obvykle je rozšířená matice označena písmenem T a sloupec volných členů je oddělen svislou čarou od zbytku sloupců, tj.

Řešením soustavy lineárních algebraických rovnic nazvaný soubor hodnot neznámých proměnných, který promění všechny rovnice systému na identity. Maticová rovnice pro dané hodnoty neznámých proměnných se také změní v identitu.

Pokud má soustava rovnic alespoň jedno řešení, pak se nazývá kloub.

Pokud soustava rovnic nemá řešení, pak se nazývá nekompatibilní.

Pokud má SLAE jedinečné řešení, pak se nazývá určitý; pokud existuje více než jedno řešení, pak - nejistý.

Jsou-li volné členy všech rovnic soustavy rovny nule , pak je zavolán systém homogenní, v opačném případě - heterogenní.

Řešení elementárních soustav lineárních algebraických rovnic.

Pokud se počet systémových rovnic rovná počtu neznámých proměnných a determinant jeho hlavní matice není roven nule, budeme takové SLAE nazývat základní. Takové soustavy rovnic mají jedinečné řešení a v případě homogenní soustavy jsou všechny neznámé proměnné rovny nule.

Začali jsme studovat takové SLAE v střední škola. Při jejich řešení jsme vzali jednu rovnici, vyjádřili jednu neznámou proměnnou jinými a dosadili ji do zbývajících rovnic, pak vzali další rovnici, vyjádřili další neznámou proměnnou a dosadili ji do jiných rovnic a tak dále. Nebo použili metodu sčítání, to znamená, že přidali dvě nebo více rovnic, aby odstranili nějaké neznámé proměnné. Těmito metodami se nebudeme podrobně zabývat, protože jde v podstatě o modifikace Gaussovy metody.

Hlavními metodami řešení elementárních soustav lineárních rovnic jsou Cramerova metoda, maticová metoda a Gaussova metoda. Pojďme je roztřídit.

Řešení soustav lineárních rovnic Cramerovou metodou.

Potřebujeme vyřešit soustavu lineárních algebraických rovnic

ve kterém je počet rovnic roven počtu neznámých proměnných a determinant hlavní matice systému je odlišný od nuly, tedy .

Nechť je determinant hlavní matice systému a jsou determinanty matic, které se získají z A nahrazením 1., 2., …, n sloupec respektive sloupec volných členů:

Při takovém zápisu se neznámé proměnné počítají pomocí vzorců Cramerovy metody as . Takto se nalézá řešení soustavy lineárních algebraických rovnic Cramerovou metodou.

Příklad.

Cramerova metoda .

Řešení.

Hlavní matice systému má tvar . Vypočítejte jeho determinant (pokud je to nutné, viz článek):

Protože determinant hlavní matice systému je nenulový, má systém jedinečné řešení, které lze nalézt Cramerovou metodou.

Sestavte a vypočítejte potřebné determinanty (determinant se získá nahrazením prvního sloupce v matici A sloupcem volných členů, determinant - nahrazením druhého sloupce sloupcem volných členů, - nahrazením třetího sloupce matice A sloupcem volných členů ):

Hledání neznámých proměnných pomocí vzorců :

Odpovědět:

Hlavní nevýhodou Cramerovy metody (pokud ji lze nazvat nevýhodou) je složitost výpočtu determinantů při počtu rovnic soustavy větším než tři.

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic maticovou metodou (pomocí inverzní matice).

Nechť je soustava lineárních algebraických rovnic uvedena v maticovém tvaru , kde matice A má rozměr n x n a její determinant je nenulový.

Protože , pak je matice A invertibilní, to znamená, že existuje inverzní matice . Pokud obě části rovnosti vynásobíme vlevo, dostaneme vzorec pro nalezení sloupcové matice neznámých proměnných. Dostali jsme tedy řešení soustavy lineárních algebraických rovnic maticovou metodou.

Příklad.

Řešte soustavu lineárních rovnic maticová metoda.

Řešení.

Přepišme soustavu rovnic do maticového tvaru:

Protože

pak lze SLAE řešit maticovou metodou. Pomocí inverzní matice lze nalézt řešení tohoto systému jako .

Sestavme inverzní matici pomocí matice algebraických doplňků prvků matice A (pokud je to nutné, viz článek):

Zbývá vypočítat - matici neznámých proměnných vynásobením inverzní matice na matici-sloupci volných členů (v případě potřeby viz článek):

Odpovědět:

nebo v jiném zápisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavním problémem při hledání řešení soustav lineárních algebraických rovnic maticovou metodou je složitost hledání inverzní matice, zejména pro čtvercové matice vyššího než třetího řádu.

Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou metodou.

Předpokládejme, že potřebujeme najít řešení systému n lineárních rovnic s n neznámými proměnnými
determinant hlavní matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovy metody spočívá v postupném vyloučení neznámých proměnných: nejprve je x 1 vyloučeno ze všech rovnic systému, počínaje druhou, pak x 2 je vyloučeno ze všech rovnic, počínaje třetí, a tak dále, dokud pouze neznámá proměnná x n zůstává v poslední rovnici. Takový proces transformace rovnic systému pro postupnou eliminaci neznámých proměnných se nazývá přímou Gaussovou metodou. Po dokončení dopředného běhu Gaussovy metody se z poslední rovnice zjistí x n, pomocí této hodnoty se z předposlední rovnice vypočítá x n-1 atd., z první rovnice se zjistí x 1. Proces výpočtu neznámých proměnných při přechodu od poslední rovnice systému k první se nazývá reverzní Gaussova metoda.

Pojďme si stručně popsat algoritmus pro eliminaci neznámých proměnných.

Budeme předpokládat, že , protože toho můžeme vždy dosáhnout přeskupením rovnic soustavy. Neznámou proměnnou x 1 vyloučíme ze všech rovnic soustavy, počínaje druhou. Chcete-li to provést, přidejte první rovnici vynásobenou ke druhé rovnici systému, přidejte první vynásobenou ke třetí rovnici a tak dále, přidejte první vynásobenou k n-té rovnici. Systém rovnic po takových transformacích nabude tvaru

kde .

Ke stejnému výsledku bychom došli, kdybychom x 1 vyjádřili pomocí jiných neznámých proměnných v první rovnici soustavy a výsledný výraz dosadili do všech ostatních rovnic. Proměnná x 1 je tedy vyloučena ze všech rovnic, počínaje druhou.

Dále postupujeme podobně, ale pouze s částí výsledného systému, která je vyznačena na obrázku

Chcete-li to provést, přidejte druhý vynásobený ke třetí rovnici systému, přidejte druhý vynásobený ke čtvrté rovnici a tak dále, přidejte druhý vynásobený k n-té rovnici. Systém rovnic po takových transformacích nabude tvaru

kde . Proměnná x 2 je tedy vyloučena ze všech rovnic, počínaje třetí.

Dále přistoupíme k eliminaci neznámé x 3, přičemž postupujeme obdobně s částí systému vyznačenou na obrázku

Pokračujeme tedy v přímém průběhu Gaussovy metody, dokud systém nezíská formu

Od tohoto okamžiku začínáme obrácený průběh Gaussovy metody: x n vypočítáme z poslední rovnice jako , pomocí získané hodnoty x n zjistíme x n-1 z předposlední rovnice a tak dále, zjistíme x 1 z první rovnice.

Příklad.

Řešte soustavu lineárních rovnic Gaussova metoda.

Řešení.

Vynechme neznámou proměnnou x 1 z druhé a třetí rovnice soustavy. Za tímto účelem k oběma částem druhé a třetí rovnice přidáme odpovídající části první rovnice, vynásobené respektive:

Nyní odstraníme x 2 ze třetí rovnice přidáním k jejímu levému a pravé části levá a pravá strana druhé rovnice, vynásobené:

Tím je dopředný průběh Gaussovy metody dokončen, začínáme zpětný průběh.

Z poslední rovnice výsledné soustavy rovnic zjistíme x 3:

Z druhé rovnice dostaneme .

Z první rovnice najdeme zbývající neznámou proměnnou a tím je dokončen opačný průběh Gaussovy metody.

Odpovědět:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecného tvaru.

V obecném případě se počet rovnic soustavy p neshoduje s počtem neznámých proměnných n:

Takové SLAE nemusí mít žádná řešení, mít jediné řešení nebo mít nekonečně mnoho řešení. Toto tvrzení platí také pro soustavy rovnic, jejichž hlavní matice je čtvercová a degenerovaná.

Kronecker-Capelliho věta.

Před nalezením řešení soustavy lineárních rovnic je nutné zjistit její kompatibilitu. Odpověď na otázku, kdy je SLAE kompatibilní a kdy nekompatibilní, dává Kroneckerova-Capelliho věta:
pro konzistentní systém p rovnic s n neznámými (p se může rovnat n ) je nutné a postačující, aby hodnost hlavní matice systému byla rovna hodnosti rozšířené matice, tedy Rank( A) = Pořadí (T) .

Uvažujme jako příklad aplikaci Kronecker-Cappelliho věty pro stanovení kompatibility soustavy lineárních rovnic.

Příklad.

Zjistěte, zda má soustava lineárních rovnic řešení.

Řešení.

. Použijme metodu ohraničení nezletilých. Minor druhého řádu odlišný od nuly. Pojďme se podívat na nezletilé třetího řádu, které to obklopují:

Protože všechny hraničící nezletilé třetího řádu jsou rovny nule, hodnost hlavní matice je dvě.

Na druhé straně hodnost rozšířené matice je roven třem, protože moll třetího řádu

odlišný od nuly.

Takto, Rang(A) , tedy podle Kronecker-Capelliho věty můžeme dojít k závěru, že původní systém lineárních rovnic je nekonzistentní.

Odpovědět:

Neexistuje žádný systém řešení.

Naučili jsme se tedy stanovit nekonzistenci systému pomocí Kronecker-Capelliho teorému.

Jak ale najít řešení SLAE, pokud je prokázána jeho kompatibilita?

K tomu potřebujeme pojem menší báze matice a větu o hodnosti matice.

Zavolá se menší nejvyšší řád matice A, jiný než nula základní.

Z definice základu minor vyplývá, že jeho pořadí se rovná hodnosti matice. Pro nenulovou matici A může být několik základních mollů, vždy je jeden základní moll.

Vezměme si například matici .

Všechny minoritní hodnoty třetího řádu této matice jsou rovny nule, protože prvky třetího řádku této matice jsou součtem odpovídajících prvků prvního a druhého řádku.

Následující minory druhého řádu jsou základní, protože jsou nenulové

Nezletilí nejsou základní, protože se rovnají nule.

Věta o hodnosti matice.

Je-li hodnost matice řádu p x n r, pak všechny prvky řádků (a sloupců) matice, které netvoří zvolený základ minor, jsou lineárně vyjádřeny pomocí odpovídajících prvků řádků (a sloupců). ), které tvoří základ minor.

Co nám dává věta o hodnosti matice?

Pokud jsme Kroneckerovou-Capelliho větou stanovili kompatibilitu systému, pak zvolíme libovolnou základní vedlejší hlavní matici systému (její řád je roven r) a vyloučíme ze systému všechny rovnice, které tvoří zvolenou základní moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentní původnímu, protože vyřazené rovnice jsou stále nadbytečné (podle teorému o pořadí matice jsou lineární kombinací zbývajících rovnic).

Výsledkem je, že po vyřazení přebytečných rovnic systému jsou možné dva případy.

Pokud je počet rovnic r ve výsledné soustavě roven počtu neznámých proměnných, pak bude definitivní a jediné řešení lze nalézt Cramerovou metodou, maticovou metodou nebo Gaussovou metodou.

Příklad.

.

Řešení.

Hodnost hlavní matice systému je roven dvěma, protože moll druhého řádu odlišný od nuly. Rozšířená matice hodnost je také roven dvěma, protože jediná minoritní skupina třetího řádu je rovna nule

a moll druhého řádu uvažovaného výše je odlišný od nuly. Na základě Kronecker-Capelliho teorému lze tvrdit kompatibilitu původního systému lineárních rovnic, protože Rank(A)=Rank(T)=2 .

Jako základ vedlejší bereme . Je tvořena koeficienty první a druhé rovnice:


Třetí rovnice soustavy se nepodílí na tvorbě základní moll, proto ji ze soustavy na základě maticové věty o pořadí vyloučíme:


Tak jsme získali elementární systém lineárních algebraických rovnic. Vyřešíme to Cramerovou metodou:


Odpovědět:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Pokud je počet rovnic r ve výsledném SLAE menší než počet neznámých proměnných n , pak členy tvořící základní moll ponecháme v levých částech rovnic a zbývající členy převedeme do pravých částí rovnic. systému s opačným znaménkem.

Neznámé proměnné (je jich r) zbývající na levé straně rovnic se nazývají hlavní.

Volají se neznámé proměnné (je jich n - r), které skončily na pravé straně volný, uvolnit.

Nyní předpokládáme, že volné neznámé proměnné mohou nabývat libovolných hodnot, zatímco r hlavních neznámých proměnných bude vyjádřeno pomocí volných neznámých proměnných jedinečným způsobem. Jejich vyjádření lze nalézt řešením výsledného SLAE Cramerovou metodou, maticovou metodou nebo Gaussovou metodou.

Vezměme si příklad.

Příklad.

Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic .

Řešení.

Najděte hodnost hlavní matice systému metodou hraničící nezletilé. Vezměme a 1 1 = 1 jako nenulový moll prvního řádu. Začněme hledat nenulovou minoritu druhého řádu obklopující tuto minoritu:


Našli jsme tedy nenulovou moll druhého řádu. Začněme hledat nenulovou hraniční moll třetího řádu:


Hodnost hlavní matice je tedy tři. Hodnost rozšířené matice je také rovna třem, to znamená, že systém je konzistentní.

Nalezený nenulový moll třetího řádu bude brán jako základní.

Pro názornost uvádíme prvky, které tvoří základ moll:


Termíny účastnící se základní moll ponecháme na levé straně rovnic soustavy a zbytek přeneseme s opačnými znaménky na pravé strany:


Volným neznámým proměnným x 2 a x 5 dáváme libovolné hodnoty, tedy bereme , kde jsou libovolná čísla. V tomto případě má SLAE formu


Získanou elementární soustavu lineárních algebraických rovnic řešíme Cramerovou metodou:


Tudíž, .

V odpovědi nezapomeňte uvést volné neznámé proměnné.

Odpovědět:

Kde jsou libovolná čísla.

Shrnout.

K řešení soustavy lineárních algebraických rovnic obecného tvaru nejprve zjistíme její kompatibilitu pomocí Kronecker-Capelliho věty. Pokud se hodnost hlavní matice nerovná hodnosti rozšířené matice, docházíme k závěru, že systém je nekonzistentní.

Pokud se hodnost hlavní matice rovná hodnosti rozšířené matice, pak vybereme základní moll a zahodíme rovnice systému, které se nepodílejí na tvorbě zvolené základní vedlejší matice.

Pokud je řád menšího základu roven počtu neznámých proměnných, pak má SLAE jedinečné řešení, které lze nalézt jakoukoli nám známou metodou.

Pokud je řád menšího základu menší než počet neznámých proměnných, ponecháme členy s hlavními neznámými proměnnými na levé straně rovnic systému, zbývající členy převedeme na pravé strany a přiřadíme libovolné hodnoty ​na volné neznámé proměnné. Z výsledné soustavy lineárních rovnic najdeme hlavní neznámé proměnné Cramerovou metodou, maticovou metodou nebo Gaussovou metodou.

Gaussova metoda pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecného tvaru.

Pomocí Gaussovy metody lze řešit systémy lineárních algebraických rovnic jakéhokoli druhu bez jejich předběžného zkoumání kompatibility. Proces postupné eliminace neznámých proměnných umožňuje učinit závěr o kompatibilitě i nekonzistenci SLAE, a pokud existuje řešení, umožňuje jej nalézt.

Z hlediska výpočetní práce je výhodnější Gaussova metoda.

Bacha Detailní popis a analyzoval příklady v článku Gaussova metoda řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecného tvaru.

Záznam obecného řešení homogenních a nehomogenních lineárních algebraických systémů pomocí vektorů základního systému řešení.

V této části se zaměříme na spojené homogenní a nehomogenní systémy lineárních algebraických rovnic, které mají nekonečný počet řešení.

Pojďme se nejprve zabývat homogenními systémy.

Základní rozhodovací systém Homogenní soustava p lineárních algebraických rovnic s n neznámými proměnnými je množinou (n – r) lineárně nezávislých řešení této soustavy, kde r je řád menší báze hlavní matice soustavy.

Pokud je značeno lineárně nezávislá rozhodnutí homogenní SLAE jako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) jsou matice sloupců n x 1), pak obecné řešení tohoto homogenního systému je reprezentován jako lineární kombinace vektorů základního systému řešení s libovolnými konstantními koeficienty С 1 , С 2 , …, С (n-r) , tedy .

Co znamená pojem obecné řešení homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec nastavuje vše možné řešení původní SLAE, jinými slovy, vezmeme-li libovolnou množinu hodnot libovolných konstant С 1, С 2, …, С (n-r), podle vzorce dostaneme jedno z řešení původního homogenního SLAE.

Pokud tedy najdeme fundamentální systém řešení, můžeme všechna řešení tohoto homogenního SLAE nastavit jako .

Ukažme si proces konstrukce základního systému řešení pro homogenní SLAE.

Zvolíme základní moll původní soustavy lineárních rovnic, vyloučíme ze soustavy všechny ostatní rovnice a přeneseme na pravou stranu rovnic soustavy s opačnými znaménky všechny členy obsahující volné neznámé proměnné. Volným neznámým proměnným přiřaďme hodnoty 1,0,0,…,0 a hlavní neznámé vypočítejme řešením výsledné elementární soustavy lineárních rovnic libovolným způsobem, například Cramerovou metodou. Získáme tedy X (1) - první řešení fundamentálního systému. Pokud dáme volným neznámým hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítáme hlavní neznámé, dostaneme X (2) . A tak dále. Pokud dáme volným neznámým proměnným hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítáme hlavní neznámé, dostaneme X (n-r) . Takto bude sestaven základní systém řešení homogenního SLAE a jeho obecné řešení lze zapsat ve tvaru .

Pro nehomogenní systémy lineárních algebraických rovnic je obecné řešení reprezentováno jako

Podívejme se na příklady.

Příklad.

Najděte základní soustavu řešení a obecné řešení homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic .

Řešení.

Hodnost hlavní matice homogenních soustav lineárních rovnic je vždy rovna hodnosti rozšířené matice. Nalezněme hodnost hlavní matice metodou lemování nezletilých. Jako nenulovou moll prvního řádu vezmeme prvek a 1 1 = 9 hlavní matice systému. Najděte hraniční nenulovou moll druhého řádu:

Je nalezena moll druhého řádu, odlišný od nuly. Pojďme si projít nezletilé třetího řádu, které s ním sousedí, a hledat nenulovou jedničku:

Všechny hraničící nezletilé třetího řádu se rovnají nule, proto je hodnost hlavní a rozšířené matice dvě. Vezměme si základní moll. Pro přehlednost si všimneme prvků systému, které jej tvoří:

Třetí rovnice původního SLAE se nepodílí na tvorbě základní moll, proto ji lze vyloučit:

Členy obsahující hlavní neznámé ponecháme na pravé straně rovnic a členy s volnými neznámými přeneseme na pravé strany:

Sestavme základní soustavu řešení původní homogenní soustavy lineárních rovnic. Základní systémřešení tohoto SLAE se skládají ze dvou řešení, protože původní SLAE obsahuje čtyři neznámé proměnné a řád jeho základní minor je dva. Abychom našli X (1), dáme volným neznámým proměnným hodnoty x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, poté najdeme hlavní neznámé ze systému rovnic
.

Soustavy lineárních rovnic.

Systém rovnic se nazývá lineární, pokud jsou všechny rovnice v systému lineární. Je obvyklé psát systém rovnic pomocí složených závorek, například:

Definice:Dvojice hodnot proměnných, která se promění ve skutečnou rovnost, každá rovnice se dvěma proměnnými zahrnutými v systému se nazývá řešení soustavy rovnic.

Vyřešte systém znamená najít všechna jeho řešení nebo dokázat, že žádná řešení neexistují.

Při řešení soustavy lineárních rovnic jsou možné následující tři případy:

systém nemá řešení;

systém má právě jedno řešení;

Systém má nekonečně mnoho řešení.
já . Řešení soustavy lineárních rovnic substituční metodou.

Tuto metodu lze také nazvat „substituční metodou“ nebo metodou eliminace neznámých.

Zde máme soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými. Všimněte si, že volné členy (čísla -5 a -7) jsou umístěny na levé straně rovnice. Systém zapisujeme v obvyklém tvaru.

Nezapomeňte, že při přenosu termínu z části na část je třeba změnit její znaménko.

Co to znamená řešit soustavu lineárních rovnic? Řešit soustavu rovnic znamená najít takové hodnoty proměnných, které promění každou rovnici systému ve skutečnou rovnost. Toto tvrzení platí pro všechny soustavy rovnic s libovolným počtem neznámých.

rozhodujeme se.

Z první rovnice soustavy vyjádříme:
. Toto je substituce.

Výsledný výraz se dosadí do druhé rovnice systému místo proměnné

Pojďme vyřešit tuto rovnici pro jednu proměnnou.
Otevřeme závorky, dáme podobné výrazy a najdeme hodnotu :

4) Dále se vrátíme k střídání pro výpočet hodnoty .Hodnotu již známe, zbývá najít:

5) Pár
je jediným řešením daného systému.

Odpověď: (2,4; 2,2).

Poté, co byl nějakým způsobem vyřešen jakýkoli systém rovnic, důrazně doporučuji zkontrolovat jej na návrhu. To se provádí snadno a rychle.

1) Dosaďte nalezenou odpověď do první rovnice:

- je dosažena správná rovnost.

2) Nalezenou odpověď dosadíme do druhé rovnice:

- je dosažena správná rovnost.

Uvažovaný způsob řešení není jediný, z první rovnice bylo možné vyjádřit , ale nikoli .

Můžete i naopak - vyjádřit něco z druhé rovnice a dosadit to do první rovnice. Je však nutné vyhodnotit substituci tak, aby obsahovala co nejméně zlomkových výrazů. Nejnevýhodnější ze čtyř způsobů je vyjádřit z druhé nebo z první rovnice:

nebo

V některých případech jsou však zlomky stále nepostradatelné. Každý úkol by se měl snažit plnit co nejracionálnějším způsobem. To šetří čas a také snižuje možnost udělat chybu.
Příklad 2

Řešte soustavu lineárních rovnic

II. Řešení soustavy metodou algebraického sčítání (odčítání) rovnic soustavy

Při řešení soustav lineárních rovnic lze použít nikoli substituční metodu, ale metodu algebraického sčítání (odčítání) rovnic soustavy. Tato metoda šetří čas a zjednodušuje výpočty, nicméně nyní bude stále přehlednější.

Řešte soustavu lineárních rovnic:

Vezměme stejný systém jako v prvním příkladu.

1) Při analýze soustavy rovnic si všimneme, že koeficienty proměnné y jsou shodné v absolutní hodnotě a opačné ve znaménku (–1 a 1). V této situaci mohou být rovnice přidány po členech:

2) Vyřešme tuto rovnici pro jednu proměnnou.

Jak vidíte, v důsledku termwise sčítání jsme ztratili proměnnou . To je ve skutečnosti podstata metody – zbavit se jedné z proměnných.

3) Nyní je vše jednoduché:
- dosaďte do první rovnice soustavy (můžete i do druhé):

V čistém designu by řešení mělo vypadat nějak takto:

Odpověď: (2,4; 2,2).

Příklad 4

Řešte soustavu lineárních rovnic:

V tomto příkladu můžete použít substituční metodu, ale velké mínus je, že když vyjádříme libovolnou proměnnou z libovolné rovnice, dostaneme řešení v běžné zlomky. Málokdo má rád akce se zlomky, což znamená, že je to ztráta času a existuje vysoká pravděpodobnost, že uděláte chybu.

Proto je vhodné používat po členech sčítání (odčítání) rovnic. Analyzujeme koeficienty pro odpovídající proměnné:

Jak vidíte, čísla ve dvojicích (14 a 7), (-9 a -2) jsou různá, takže pokud rovnice sečteme (odečteme) hned teď, proměnné se nezbavíme. Proto bych rád viděl v jednom z párů stejná modulová čísla, například 14 a -14 nebo 18 a -18.

Budeme uvažovat koeficienty proměnné .

14x - 9 let \u003d 24;

7x – 2 roky \u003d 17.
Vybereme číslo, které by bylo dělitelné 14 i 7 a mělo by být co nejmenší. V matematice se takové číslo nazývá nejmenší společný násobek. Pokud si s výběrem nevíte rady, pak můžete koeficienty jednoduše vynásobit.

Vynásobíme druhou rovnici 14: 7 \u003d 2.

Jako výsledek:

Nyní odečtěte druhý od první rovnice člen po členu.

Nutno podotknout, že by to bylo naopak – od druhé rovnice odečtěte první, tím se nic nemění.

Nyní dosadíme nalezenou hodnotu do jedné z rovnic soustavy, například do první:

Odpověď: (3:2)

Pojďme vyřešit systém jiným způsobem. Zvažte koeficienty pro proměnnou.

14x - 9 let \u003d 24;

7x – 2 roky \u003d 17.

Je zřejmé, že místo dvojice koeficientů (-9 a -3) potřebujeme získat 18 a -18.

Chcete-li to provést, vynásobte první rovnici (-2), vynásobte druhou rovnici 9:

Přidáme rovnice po členech a zjistíme hodnoty proměnných:

Nyní dosadíme nalezenou hodnotu x do jedné z rovnic soustavy, například do první:

Odpověď: (3:2)

Druhá metoda je poněkud racionálnější než první, protože sčítání je jednodušší a příjemnější než odečítání. Nejčastěji při řešení soustav mají tendenci spíše sčítat a násobit, než odčítat a dělit.
Příklad 5

Řešte soustavu lineárních rovnic:

Toto je příklad pro samostatné řešení (odpověď na konci přednášky).
Příklad 6

Řešte soustavu rovnic

Řešení. Systém nemá řešení, protože dvě rovnice systému nemohou být splněny současně (z první rovnice
a od druhého

Odpověď: Neexistují žádná řešení.
Příklad 7

řešit soustavu rovnic

Řešení. Systém má nekonečně mnoho řešení, protože druhá rovnice se získá z první vynásobením 2 (tj. ve skutečnosti existuje pouze jedna rovnice se dvěma neznámými).

Odpověď: Nekonečně mnoho řešení.
III. Řešení soustavy pomocí matic.

Determinant tohoto systému je determinant složený z koeficientů neznámých. Tento determinant