N experimentů se provádí podle Bernoulliho schématu s pravděpodobností úspěchu p. Nechť X je počet úspěchů. Náhodná veličina X má rozsah hodnot (0,1,2,...,n). Pravděpodobnosti těchto hodnot lze zjistit pomocí vzorce: , kde C m n je počet kombinací n až m.
Distribuční série vypadá takto:

X	0	1	...	m	n
p	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	Cmnpm(l-p)n-m	p n

Tento distribuční zákon se nazývá binomický.

Účel služby. K vykreslení se používá online kalkulačka binomické rozdělení řad a výpočet všech charakteristik řady: matematické očekávání, rozptyl a směrodatná odchylka. Protokol s rozhodnutím je vyhotoven ve formátu Word (příklad).

Počet testů: n= , Pravděpodobnost p =
S nízkou pravděpodobností p a velkým číslem n (np, Poissonův vzorec.

Video návod

Bernoulli testovací okruh

Numerické charakteristiky náhodné veličiny rozdělené podle binomického zákona

Matematické očekávání náhodné veličiny X rozdělené podle binomického zákona.
M[X]=np

Rozptyl náhodné veličiny X rozdělené podle binomického zákona.
D[X]=npq

Příklad č. 1. Výrobek může být vadný s pravděpodobností p = 0,3 každý. Z šarže jsou vybrány tři produkty. X je počet vadných dílů z vybraných. Najít (zadejte všechny odpovědi do formuláře desetinná místa): a) distribuční řada X; b) distribuční funkce F(x) .
Řešení. Náhodná proměnná X má rozsah hodnot (0,1,2,3).
Pojďme najít distribuční řadu X.
P3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44

P3(3) = pn = 0,33 = 0,027

x i	0	1	2	3
p i	0.34	0.44	0.19	0.027

Matematické očekávání najdeme pomocí vzorce M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Zkouška: m = ∑x i p i.
Očekávání M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Rozptyl zjistíme pomocí vzorce D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Zkouška: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Rozptyl D[X].
D[X] = 0 2 * 0,34 + 1 2 * 0,44 + 2 2 * 0,19 + 3 2 * 0,027 - 0,9 2 = 0,63
Směrodatná odchylka σ(x).

Distribuční funkce F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1

1. Pravděpodobnost, že k události dojde v jedné studii, je 0,6. Provádí se 5 testů. Sestavte zákon rozdělení náhodné veličiny X - počet výskytů události.
2. Sestavte distribuční zákon pro náhodnou veličinu X počet zásahů čtyřmi ranami, je-li pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou 0,8.
3. Mince se hází 7krát. Najděte matematické očekávání a rozptyl počtu výskytů erbu. Poznámka: Zde je pravděpodobnost výskytu erbu p = 1/2 (protože mince má dvě strany).

Příklad č. 2. Pravděpodobnost, že k události dojde v jedné studii, je 0,6. Pomocí Bernoulliho věty určete číslo nezávislé testy, od které je pravděpodobnost odchylky frekvence události od její pravděpodobnosti v absolutní hodnotě menší než 0,1, větší než 0,97. (Odpověď: 801)

Příklad č. 3. Studenti vystupují test v hodině informatiky. Práce se skládá ze tří úkolů. Abyste získali dobrou známku, musíte najít správné odpovědi alespoň na dva problémy. U každého problému je uvedeno 5 odpovědí, z nichž pouze jedna je správná. Žák vybere odpověď náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že dostane dobrou známku?
Řešení. Pravděpodobnost správné odpovědi na otázku: p=1/5=0,2; n=3.
Tyto údaje je nutné zadat do kalkulačky. Odpověď viz P(2)+P(3).

Příklad č. 4. Pravděpodobnost, že střelec zasáhne cíl jednou ranou, je (m+n)/(m+n+2) . Je vypáleno n+4 ran. Najděte pravděpodobnost, že nemine více než dvakrát.

Poznámka. Pravděpodobnost, že nemine více než dvakrát, zahrnuje následující události: nikdy nemine P(4), jednou netrefí P(3), nepustí dvakrát P(2).

Příklad č. 5. Určete rozdělení pravděpodobnosti počtu neúspěšných letadel, pokud vzlétnou 4 letadla. Pravděpodobnost bezporuchového provozu letadla P = 0,99. Počet letadel, která selhala při každém letu, se rozdělí podle binomického zákona.

Na praktická aplikace Teorie pravděpodobnosti často naráží na problémy, ve kterých se opakovaně opakuje stejný experiment nebo podobné experimenty. V důsledku každé zkušenosti se událost může objevit, ale také nemusí A, a nás nezajímá výsledek každého jednotlivého experimentu, ale celkový počet vystoupení Události A jako výsledek řady experimentů. Pokud je například vypálena skupina výstřelů na stejný cíl, nezajímá nás výsledek každého výstřelu, ale celkový počet zásahů. Takové problémy lze vyřešit zcela jednoduše, pokud existují experimenty nezávislý.

Definice. Studie nezávislé na události A jsou takové, ve kterých pravděpodobnost události A v žádné studii nezávisí na výsledcích jiných studií.

Příklad. Několik po sobě jdoucích vyjmutí karty z balíčku představuje nezávislé experimenty za předpokladu, že odstraněná karta se pokaždé vrátí do balíčku a karty se zamíchají; jinak jsou to závislé zkušenosti.

Příklad. Několik výstřelů představuje nezávislé experimenty pouze tehdy, je-li před každým výstřelem provedeno nové zamíření; v případě, kdy je zaměřování prováděno jednou před celou střelbou nebo je prováděno nepřetržitě během procesu střelby (střelba dávkou, bombardování v sérii), představují výstřely závislé experimenty.

Nezávislé testy mohou být prováděny ve stejném nebo různé podmínky. V prvním případě pravděpodobnost události A ve všech pokusech stejná, ve druhém případě pravděpodobnost události A změny od zkušenosti ke zkušenosti. První případ je spojen s mnoha problémy v teorii spolehlivosti, teorii střelby a vede k tzv Bernoulliho schéma, která je následující:

1) sekvence se provede n nezávislé zkoušky, v každém z nich event A může nebo nemusí se objevit;

2) pravděpodobnost výskytu události A v každém pokusu je konstantní a rovná se, stejně jako pravděpodobnost jeho nevyskytnutí .

Bernoulliho vzorec, který se používá k nalezení pravděpodobnosti výskytu události A k jednou za každý n nezávislé zkoušky, v každém z nich event A se objeví s pravděpodobností p:

. (1)

Poznámka 1. S přibývajícím n A k aplikace Bernoulliho vzorce je spojena s výpočetními obtížemi, proto se vzorec (1) použije hlavně tehdy, k nepřesahuje 5 a n ne skvělé.

Poznámka 2 Vzhledem k tomu, že pravděpodobnosti ve tvaru představují členy binomického rozvoje, nazývá se rozdělení pravděpodobnosti tvaru (1) binomický rozdělení.

Příklad. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Najděte pravděpodobnost pěti zásahů se šesti výstřely.

Řešení. Od té doby , navíc a . Pomocí Bernoulliho vzorce dostaneme:

Příklad. Čtyři nezávislé výstřely jsou vypáleny na stejný cíl různé vzdálenosti. Pravděpodobnost zásahu u těchto výstřelů je stejná, respektive:

Najděte pravděpodobnost žádného, ​​jednoho, dvou, tří a čtyř zásahů:

Řešení. Skládáme generující funkci:

Příklad. Na cíl je vypáleno pět nezávislých výstřelů, pravděpodobnost zásahu je 0,2. Tři zásahy stačí ke zničení cíle. Najděte pravděpodobnost, že bude cíl zničen.

Řešení. Pravděpodobnost zničení cíle se vypočítá podle vzorce:

Příklad. Je vypáleno deset nezávislých výstřelů na cíl, jehož pravděpodobnost zásahu jednou ranou je 0,1. Jeden zásah stačí k zasažení cíle. Najděte pravděpodobnost zásahu cíle.

Řešení. Pravděpodobnost alespoň jednoho zásahu se vypočítá pomocí vzorce:

3. Lokální Moivre-Laplaceova věta

V aplikacích je často nutné vypočítat pravděpodobnosti různých událostí souvisejících s počtem výskytů události v n testy Bernoulliho okruhu na velkých hodnotách n. V tomto případě jsou výpočty pomocí vzorce (1) obtížné. Obtíže se zvyšují, když musíme tyto pravděpodobnosti sečíst. Potíže ve výpočtech vznikají také při malých hodnotách p nebo q.

Laplace získal důležitý přibližný vzorec pro pravděpodobnost výskytu události A přesně m krát, je-li dostatečně velké číslo, to znamená při .

Lokální Moivre-Laplaceova věta. Pokud je pravděpodobnost p výskytu události A v každém pokusu konstantní a liší se od nuly a jedničky, , hodnota je omezena jednotně v m a n, pak pravděpodobnost výskytu události A přesně m krát v n nezávislých pokusech je přibližně rovna

Nechte být provedeny nezávislé testy, v každém z nich je pravděpodobnost výskytu události A rovná R . Jinými slovy, ať platí Bernoulliho schéma. Je možné předpovědět, jaká bude přibližná relativní četnost výskytu události? Kladnou odpověď na tuto otázku dává věta dokázaná J. Bernoullim 1, která se nazývá „zákon vysoká čísla"a položil základy teorie pravděpodobnosti jako vědy 2.

Bernoulliho věta: Pokud v každém z nezávislé testy provedené za stejných podmínek, pravděpodobnost R výskyt události A je konstantní, pak relativní četnost výskytu události A konverguje v pravděpodobnosti k pravděpodobnosti R – výskyt dané události v samostatném zážitku, tzn

.

Důkaz . Takže Bernoulliho schéma platí,
. Označme podle
diskrétní náhodná veličina – počet výskytů události A PROTI -tý test. Je jasné, že každá z náhodných veličin může nabývat pouze dvou hodnot: 1 (událost A došlo) s pravděpodobností R A 0 (událost A nenastalo) s pravděpodobností
, to je

( )
R	R

Není těžké najít

Je možné aplikovat Čebyševovu větu na uvažované veličiny? Je to možné, pokud jsou náhodné veličiny párově nezávislé a jejich rozptyly jsou rovnoměrně ohraničené. Obě podmínky jsou splněny. Vskutku, párová nezávislost veličin
vyplývá z toho, že testy jsou nezávislé. Další 3
na
a proto jsou rozptyly všech veličin omezeny, například počtem
. Kromě toho si všimněte, že každá z náhodných proměnných
když dojde k události A v odpovídajícím testu nabývá hodnoty rovné jedné. Proto ta částka
rovnající se číslu
- výskyty událostí A PROTI testy, což znamená

,

tedy zlomek
rovná relativní frekvenci výskytů události A PROTI testy.

Potom použitím Čebyševova teorému na uvažované veličiny získáme:

Q.E.D.

Komentář 1 : Bernoulliho věta je nejjednodušší speciální případ Čebyševovy věty.

Komentář 2 : V praxi se neznámé pravděpodobnosti často musí přibližně určit ze zkušenosti, bylo provedeno velké množství experimentů, aby se ověřila shoda Bernoulliho věty se zkušeností. Například francouzský přírodovědec z 18. století Buffon hodil mincí 4040krát. Erb vypadl 2048krát. Četnost výskytu erbu v Buffonově experimentu je přibližně 0,507. Anglický statistik K. Pearson si hodil mincí 12 000krát a pozoroval 6 019 mincí. Frekvence erbu v tomto Pearsonově experimentu je 0,5016. Jindy si hodil mincí 24 000krát a erb se objevil 12 012krát; četnost ztráty erbu v tomto případě vyšla rovna 0,5005. Jak vidíme, ve všech výše uvedených experimentech se frekvence jen nepatrně odchýlila od pravděpodobnosti 0,5 - vzhled erbu v důsledku jednoho hodu mincí.

Komentář 3 : Bylo by chybou usuzovat z Bernoulliho teorému, že s rostoucím počtem pokusů se relativní frekvence stále blíží pravděpodobnosti R ; jinými slovy, Bernoulliho teorém neimplikuje rovnost
. Ve větě je to jen otázka pravděpodobnosti skutečnost, že při dostatečně velkém počtu pokusů se relativní četnost bude lišit tak málo, jak je žádoucí, od konstantní pravděpodobnosti výskytu události v každém pokusu. Tedy konvergence relativní četnosti na pravděpodobnost R se liší od konvergence ve smyslu běžné analýzy. Abychom tento rozdíl zdůraznili, zavést pojem „konvergence v pravděpodobnosti“. Přesněji, rozdíl mezi těmito typy konvergence je následující: jestliže inklinuje k
Na R co nejvíc to půjde ve smyslu běžné analýzy, pak počínaje některými
a pro všechny následující hodnoty , nerovnost je trvale uspokojena
;li inklinuje podle pravděpodobnosti Na R na
, pak pro jednotlivé hodnoty nerovnost nemusí platit.

Poissonova a Markovova věta

Všiml si, jestli experimentální podmínky se mění, pak vlastnost stability relativní četnosti výskytu události A je uložen. Tuto okolnost dokázal Poisson.

Poissonova věta: S neomezeným nárůstem počtu nezávislých testů prováděných za proměnných podmínek, relativní četnost výskytu události A konverguje v pravděpodobnosti k aritmetickému průměru pravděpodobností výskytu dané události v každém z experimentů, tzn.

.

Komentář 4 : Je snadné vidět, že Poissonova věta je speciálním případem Čebyševovy věty.

Markovova věta: Je-li posloupnost náhodných proměnných
(jakkoli závislá) je taková, že když

,

Že,
je splněna podmínka:
.

Komentář 5 : Samozřejmě, pokud jsou náhodné proměnné
jsou párově nezávislé, pak má Markovova podmínka tvar: kdy

.

To ukazuje, že Čebyševova věta je speciálním případem Markovovy věty.

Centrální limitní teorém (Ljapunovova věta)

Uvažované věty zákona velkých čísel se týkají otázek aproximace určitých náhodných veličin k určitým limitním hodnotám, bez ohledu na jejich distribuční zákon. V teorii pravděpodobnosti, jak již bylo uvedeno, existuje další skupina teorémů týkajících se limitních zákonů rozdělení sumy náhodných veličin. Běžné jméno tato skupina teorémů - centrální limitní komora. Jeho různé formy se liší v podmínkách kladených na součet složek náhodných veličin. Poprvé byla jedna z forem centrální limitní věty prokázána vynikajícím ruským matematikem A.M Ljapunovem v roce 1900 pomocí jím speciálně vyvinuté metody charakteristických funkcí.

Ljapunovova věta: Zákon rozdělení součtu nezávislých náhodných veličin
se blíží zákonu normálního rozdělení s neomezeným nárůstem (tedy kdy
), pokud jsou splněny tyto podmínky:

,

Je třeba poznamenat, že centrální limitní věta platí nejen pro spojité, ale i pro diskrétní náhodné veličiny. Praktický význam Ljapunovovy věty je obrovský. Zkušenosti ukazují, že zákon rozdělení součtu nezávislých náhodných veličin srovnatelných v jejich disperzi se rychle blíží normálu. Již s řadou členů v řádu deseti lze distribuční zákon součtu nahradit normálním (zejména příkladem takového součtu může být aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodných veličin, to je
).

Speciálním případem centrální limitní věty je Laplaceova věta. V něm, jak si pamatujete, se uvažuje případ, kdy náhodné proměnné
jsou diskrétní, identicky rozdělené a nabývají pouze dvou možných hodnot: 0 a 1.

Dále pravděpodobnost, že obsažené v intervalu
lze vypočítat pomocí vzorce

.

Pomocí Laplaceovy funkce lze poslední vzorec zapsat ve formě vhodné pro výpočty:

Kde
.

PŘÍKLAD. Změřme nějakou fyzikální veličinu. Každé měření poskytuje pouze přibližnou hodnotu naměřené hodnoty, protože výsledek měření je ovlivněn mnoha nezávislými náhodnými faktory (teplota, kolísání přístroje, vlhkost atd.). Každý z těchto faktorů vytváří zanedbatelnou „dílčí chybu“. Vzhledem k tomu, že počet těchto faktorů je velmi velký, jejich kombinovaný účinek vede k znatelné „totální chybě“.

Uvažujeme-li celkovou chybu jako součet velmi velkého počtu vzájemně nezávislých dílčích chyb, máme právo dojít k závěru, že celková chyba má rozdělení blízké normálu. Zkušenost potvrzuje platnost tohoto závěru.

2 Důkaz navržený J. Bernoulli byl složitý; jednodušší důkaz podal r. 1846 P. Čebyšev.

3 Je známo, že součin dvou faktorů, jejichž součet je konstantní hodnotou, má největší hodnotu, když jsou faktory stejné.

Před předložením třetí otázky přednášky učitel identifikuje problém, který vyžaduje zvážení věty o opakování experimentů, přičemž poznamenává, že ve studovaném kurzu teorie pravděpodobnosti je pouze konkrétní věta související s opakováním nezávislých experimentů, v každém z nich se událost A objeví s konstantní pravděpodobností.

Poté učitel ukáže důkaz této věty (odvození Bernoulliho vzorce).

K vysvětlení fyzikální podstaty uvažované věty učitel využívá zpětný projektor a připravené diapozitivy.

V závěru přednášky vyučující vysvětlí, proč rozdělení pravděpodobnosti výskytu jevu A v sérii n testů, v podmínkách, kdy jsou nekonzistentní a tvoří celá skupina události se nazývá binomické a upozorňuje na důležitost znalosti tohoto rozdělení pro řešení aplikovaných problémů.

Doposud jsme uvažovali o kombinacích relativně malého počtu událostí, kdy přímá aplikace pravidel sčítání a násobení pravděpodobností nezpůsobovala velké výpočetní potíže. Nicméně, jak se zvyšuje počet událostí nebo počet pokusů, ve kterých se může objevit zajímavá událost, naučená metoda výpočtu se stává velmi těžkopádnou.

Navíc byl problém vyřešen zcela jednoduše, pouze pokud byly experimenty nezávislé.

Nazývá se několik experimentů nezávislý pokud pravděpodobnost jednoho nebo druhého výsledku každého experimentu nezávisí na tom, jaké výsledky měly jiné experimenty.

V praxi existují případy, kdy je pravděpodobnost výskytu události A ve všech nezávislých experimentech může být buď stejná, nebo se může lišit experiment od experimentu. Pokud například upravíte palbu po každém výstřelu, pravděpodobnost zásahu cíle se bude s každým výstřelem měnit.

V případě, kdy se v nezávislých experimentech pravděpodobnost výskytu jevu mění experiment od experimentu, použije se obecná věta o opakování experimentů a kdy se v nezávislých experimentech pravděpodobnost výskytu jevu od experimentu nemění. k experimentu se používá zvláštní věta o opakování experimentů.

V kurzu teorie pravděpodobnosti, který studujeme, se budeme zabývat pouze konkrétním tématem opakování experimentů, když je nutné určit pravděpodobnost výskytu události. A v sérii nezávislých experimentů, v každém z nich se událost A objevuje se stejnou pravděpodobností.

Například je nutné vypočítat pravděpodobnost, že při pěti výstřelech ze zbraně při konstantním nastavení budou získány přesně dva zásahy na cíl, pokud jsou výstřely nezávislé a při každém výstřelu je známa pravděpodobnost zásahu cíle a ne změna.

Složíme-li možné kombinace výskytu jevu, který nás zajímá A 1, dostaneme:

Bude 10 možných kombinací, ve kterých nastane událost A=(získejte 2 zásahy pěti ranami).

Aplikováním věty o součtu a součinu nezávislých událostí máme:

Zvýšení počtu událostí nebo testů, které nás zajímají, povede k ještě většímu nárůstu objemu výpočetních operací, takže vyvstává úkol najít méně pracné výpočetní metody.

Formulace problému:

Předpokládejme, že za stejných podmínek provedeme n nezávislých testů, přičemž výsledkem každého z nich může být výskyt kterékoli události A, nebo jeho opak .

Označme podle A 1 výskyt události A na první zkoušku, A 2 - při druhém testu, A n- při poslední zkoušce.

Vzhledem ke stálosti zkušebních podmínek:

P(A 1 ) = P(A 2 ) = ... P(A n ) = p

Zajímá nás pravděpodobnost, že událost A nastane přesně mkrát v n pokusech a nenastane ve zbývajících n-m pokusech (tj. nastane opačná událost než událost A - ).

Předpokládejme, že událost, která nás zajímá A se vyskytuje za sebou mkrát, počínaje prvním, tzn. se koná akce - E.

E = A 1 A 2 … A m -1 A m 
(1)

m n- m

Podle podmínky opakování testů jsou události zahrnuté v této kombinaci nezávislé, přičemž pravděpodobnosti výskytu událostí A 1, A 2 ,… A m -1 , A m stejný a rovný p: P ​​(A 1 ) = P(A 2 ) =…= P(A m ) = p, a pravděpodobnosti, že události nenastanou
stejný a rovný q=1-р:.

Aplikováním pravidla násobení pravděpodobností pro nezávislé události na výraz 1 dostaneme:

P(E) = P(A 1 ) P (A 2 ) … P(A m -1 ) P (A m ) R(
= p m (1-r) n  - m = p m q n - m

Vzhledem ke stálosti testovacích podmínek jsme předpokládali, že nás akce zajímá A se vyskytuje v řadě mkrát, počínaje prvním. Ale událost A PROTI n zkoušky mohou přijít přesně mčasy v různých sekvencích nebo kombinacích. V tomto případě je nám lhostejné přesné pořadí, ve kterém se událost A přesně objeví m jednou.

Počet takových kombinací se rovná počtu kombinací z n prvků podle m.

Vzhledem k tomu, že tyto kombinace událostí (podobně jako kombinace E) jsou neslučitelné a pořadí výskytu události nás nezajímá A v testu přesně m krát, pak označující pravděpodobnost, o kterou se zajímáme R m, dostaneme:

R m =
R m (1-r) n - m =
=

Kde
- počet kombinací n prvky podle m.

Tento vzorec se nazývá Bernoulliho vzorec.

Bernoulliho vzorec nám umožňuje získat odpověď na otázku: jaká je pravděpodobnost, že při opakování n nezávislých testů dojde k nějaké události A přijde přesně mčasy, pokud v každém z těchto pokusů pravděpodobnost výskytu události A je stálý a rovný P(A) = p.

Výše uvedený Bernoulliho vzorec je v teorii pravděpodobnosti nesmírně důležitý z toho důvodu, že je spojen s opakováním testů za stejných podmínek, tzn. s takovými podmínkami, ve kterých se projevují zákony teorie pravděpodobnosti.

Závěr přednášky:

V přednášce jsme prozkoumali základní otázky teorie pravděpodobnosti ve vztahu k náhodným veličinám, představili základní pojmový aparát nezbytný pro další studium disciplíny: definice náhodné veličiny, jejich klasifikace; pojem distribučního zákona a jeho podoba pro různé typy náhodná proměnná.

V rámci přípravy na následující přednášky a praktická cvičení si musíte samostatně doplňovat poznámky z přednášek při důkladném studiu doporučené literatury a řešení navržených problémů.

Kromě toho budeme v následujících lekcích studovat věty a závislosti, které nám umožňují určit pravděpodobnost výskytu náhodné veličiny v požadovaném počtu opakování nebo v určitém intervalu, například pravděpodobnost zásahu cíle.

Prozkoumat:

Ventzel E.S. Teorie pravděpodobnosti. Učebnice. Osmé vydání, stereotypní. – M.: Vyšší škola, 2002 - 575 s. – s. 67-78, 80-84

Ventzel E.S., Ovcharov L.A.. Teorie pravděpodobnosti a její inženýrské aplikace. Tutorial. Třetí vydání, upravené a rozšířené. – M.: „Akademie“, 2003 – 464 s. – s. 73-93

Gmurman V.E. Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika. Tutorial. Desáté vydání, stereotypní - M.: Vyšší škola", 2004 - 480 s. Strana 64-73

Opakované nezávislé studie se nazývají Bernoulliho studie, pokud každá studie má pouze dva možné výsledky a pravděpodobnosti výsledků zůstávají ve všech studiích stejné.

Obvykle se tyto dva výsledky nazývají „úspěch“ (S) nebo „neúspěch“ (F) a odpovídající pravděpodobnosti jsou označeny p A q. To je jasné p 0, q³ 0 a p+q=1.

Prostor elementárních událostí každého pokusu se skládá ze dvou událostí U a H.

Prostor elementárních událostí n Bernoulliho testy Ω obsahuje 2 n elementární události, které jsou sekvencemi (řetězci). n symboly U a N. Každá elementární událost je jedním z možných výsledků posloupnosti n Bernoulliho testy. Protože jsou testy nezávislé, pak se podle věty o násobení pravděpodobnosti násobí, to znamená, že pravděpodobnost jakékoli konkrétní sekvence je součin získaný nahrazením symbolů U a H p A q podle toho je to například: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Všimněte si, že výsledek Bernoulliho testu je často označován 1 a 0 a poté elementární událost v sekvenci n Bernoulliho testy - existuje řetězec složený z nul a jedniček. Například:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Bernoulliho testy představují nejdůležitější schéma zvažované v teorii pravděpodobnosti. Toto schéma je pojmenováno po švýcarském matematikovi J. Bernoullim (1654-1705), který tento model ve svých dílech hluboce studoval.

Hlavní problém, který nás zde bude zajímat, je: jaká je pravděpodobnost události, že n Proběhly Bernoulliho testy múspěch?

Pokud jsou splněny stanovené podmínky, pravděpodobnost, že při nezávislých testech dojde k event bude přesně dodržováno m časy (bez ohledu na to, ve kterých experimentech), je určen Bernoulliho vzorec:

(21.1)

Kde - pravděpodobnost výskytu v každém testu a
- pravděpodobnost, že v daném experimentu událost Nestalo se.

Pokud vezmeme v úvahu P n (m) jako funkce m, pak specifikuje rozdělení pravděpodobnosti, které se nazývá binomické. Pojďme prozkoumat tuto závislost P n (m) z m, 0£ m£ n.

Události B m ( m = 0, 1, ..., n), skládající se z různá čísla výskytů události A PROTI n testy jsou neslučitelné a tvoří ucelenou skupinu. Proto,
.

Uvažujme poměr:

=
=
=
.

Z toho vyplývá, že P n (m+1)>P n (m), Li (n- m)p> (m+1)q, tj. funkce P n (m) zvyšuje, pokud m< n.p.- q. Rovněž, P n (m+1)< P n (m), Li (n- m)p< (m+1)q, tj. P n (m) klesá, pokud m> n.p.- q.

Existuje tedy číslo m 0, při kterém P n (m) dosáhne své největší hodnoty. najdeme m 0 .

Podle významu čísla m 0 máme P n (m 0)³ P n (m 0 -1) a P n (m 0) ³ P n (m 0 +1), odtud

, (21.2)

. (21.3)

Řešení nerovností (21.2) a (21.3) vzhledem k m 0, dostaneme:

p/ m 0 ³ q/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ n.p.+ p,

q/(n- m 0 ) ³ p/(m 0 +1) Þ m 0 ³ n.p.- q.

Tedy požadovaný počet m 0 vyrovnává nerovnosti

n.p.- q£ m 0 £ np+p. (21.4)

Protože p+q=1, pak délka intervalu definovaného nerovností (21.4) je rovna jedné a existuje alespoň jedno celé číslo m 0 vyhovující nerovnosti (21,4):

1) pokud n.p. - q je celé číslo, pak existují dvě hodnoty m 0, konkrétně: m 0 = n.p. - q A m 0 = n.p. - q + 1 = n.p. + p;

2) pokud n.p. - q- zlomkové, pak je jedno číslo m 0 , konkrétně jediné celé číslo obsažené mezi zlomková čísla, získané z nerovnosti (21.4);

3) pokud n.p. je celé číslo, pak existuje jedno číslo m 0, jmenovitě m 0 = n.p..

Číslo m 0 se nazývá nejpravděpodobnější nebo nejpravděpodobnější hodnota (číslo) výskytu události A v řadě n nezávislé testy.