Paaugstināšana negatīvā pakāpē ir viens no matemātikas pamatelementiem, ar ko bieži nākas saskarties, risinot algebriskas problēmas. Tālāk ir sniegtas detalizētas instrukcijas.

Kā paaugstināt līdz negatīvam spēkam - teorija

Paaugstinot skaitli līdz parastajai pakāpei, mēs tā vērtību vairākas reizes reizinām. Piemēram, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Ar negatīvu daļskaitli ir otrādi. Formulas vispārīgā forma būs šāda: a -n = 1/a n. Tādējādi, lai palielinātu skaitli negatīvā pakāpē, jums tas ir jādala ar doto skaitli, bet ar pozitīvu pakāpju.

Kā paaugstināt līdz negatīvam pakāpēm - piemēri parastajiem skaitļiem

Paturot prātā iepriekš minēto noteikumu, atrisināsim dažus piemērus.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atbilde: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atbilde -4 -2 = 1/16.

Bet kāpēc atbildes pirmajā un otrajā piemērā ir vienādas? Fakts ir tāds, ka, ja negatīvs skaitlis tiek palielināts līdz pat pakāpei (2, 4, 6 utt.), zīme kļūst pozitīva. Ja grāds būtu vienmērīgs, tad mīnuss paliktu:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kā palielināt skaitļus no 0 līdz 1 līdz negatīvai pakāpei

Atcerieties, ka, palielinot skaitli no 0 līdz 1 līdz pozitīvai pakāpei, vērtība samazinās, palielinoties jaudai. Tā, piemēram, 0,5 2 = 0,25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

3. piemērs: Aprēķiniet 0,5 -2
Risinājums: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atbilde: 0,5 -2 = 4

Analīze (darbību secība):

• Pārvērtiet decimāldaļu 0,5 uz daļskaitli 1/2. Tādā veidā ir vieglāk.
  Palieliniet 1/2 līdz negatīvai pakāpei. 1/(2) -2. Sadaliet 1 ar 1/(2) 2, iegūstam 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

4. piemērs: Aprēķiniet 0,5 -3
Risinājums: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

5. piemērs: Aprēķināt -0,5 -3
Risinājums: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atbilde: -0,5 -3 = -8

Pamatojoties uz 4. un 5. piemēru, mēs varam izdarīt vairākus secinājumus:

• Pozitīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (4. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvam pakāpēm, nav svarīgi, vai pakāpe ir pāra vai nepāra, izteiksmes vērtība būs pozitīva. Turklāt, jo lielāka pakāpe, jo lielāka vērtība.
• Negatīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (5. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvam pakāpēm, nav svarīgi, vai pakāpe ir pāra vai nepāra, izteiksmes vērtība būs negatīva. Šajā gadījumā, jo augstāka pakāpe, jo zemāka vērtība.

Kā paaugstināt negatīvā pakāpē - pakāpju daļskaitļa formā

Šāda veida izteiksmēm ir šāda forma: a -m/n, kur a ir regulārs skaitlis, m ir pakāpes skaitītājs, n ir pakāpes saucējs.

Apskatīsim piemēru:
Aprēķināt: 8 -1/3

Risinājums (darbību secība):

• Atcerēsimies noteikumu par skaitļa paaugstināšanu negatīvā pakāpē. Mēs iegūstam: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Ievērojiet, ka saucēja skaitlis 8 ir daļskaitļa pakāpē. Daļējās jaudas aprēķina vispārīgā forma ir šāda: a m/n = n √8 m.
• Tādējādi 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Mēs iegūstam astoņu kuba sakni, kas ir vienāda ar 2. No šejienes 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Atbilde: 8 -1/3 = 2

Vienā no iepriekšējiem rakstiem mēs jau minējām skaitļa spēku. Šodien mēs centīsimies orientēties tā nozīmes atrašanas procesā. Zinātniski runājot, mēs izdomāsim, kā pareizi palielināt spēku. Mēs izdomāsim, kā šis process tiek veikts, un tajā pašā laikā mēs pieskarsimies visiem iespējamiem eksponentiem: dabiskajam, iracionālajam, racionālajam, veselam skaitlim.

Tātad, aplūkosim tuvāk piemēru risinājumus un uzzināsim, ko tas nozīmē:

1. Jēdziena definīcija.
2. Paaugstināšana negatīvajā mākslā.
3. Vesels rādītājs.
4. Skaitļa paaugstināšana līdz iracionālam spēkam.

Jēdziena definīcija

Šeit ir definīcija, kas precīzi atspoguļo nozīmi: "Pakāpencija ir skaitļa pakāpes vērtības definīcija."

Attiecīgi, palielinot skaitli a Art. r un pakāpes a vērtības atrašanas process ar eksponentu r ir identiski jēdzieni. Piemēram, ja uzdevums ir aprēķināt jaudas vērtību (0,6) 6″, tad to var vienkāršot līdz izteiksmei "Palieliniet skaitli 0,6 līdz pakāpei 6".

Pēc tam jūs varat pāriet tieši uz būvniecības noteikumiem.

Paaugstināšana līdz negatīvam spēkam

Skaidrības labad jums vajadzētu pievērst uzmanību šādai izteicienu ķēdei:

110=0,1=1* 10 mīnus 1 ēdamkarote,

1100=0,01=1*10 mīnus 2 grādos,

11000=0,0001=1*10 mīnus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 līdz mīnus 4 grādiem.

Pateicoties šiem piemēriem, jūs varat skaidri redzēt iespēju uzreiz aprēķināt 10 uz jebkuru mīnus jaudu. Šim nolūkam pietiek vienkārši pārvietot decimāldaļu:

• 10 līdz -1 grādam - pirms viena ir 1 nulle;
• in -3 - trīs nulles pirms viena;
• in -9 ir 9 nulles un tā tālāk.

No šīs diagrammas ir arī viegli saprast, cik daudz būs 10 mīnus 5 ēdamk. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kā palielināt skaitli līdz dabiskajam spēkam

Atceroties definīciju, mēs ņemam vērā, ka naturālais skaitlis a Art. n ir vienāds ar n faktoru reizinājumu, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Ilustrēsim: (a*a*…a)n, kur n ir reizināto skaitļu skaits. Attiecīgi, lai paaugstinātu a līdz n, ir jāaprēķina šādas formas reizinājums: a*a*…a dalīts ar n reizēm.

No tā kļūst skaidrs, ka paaugstinot uz dabisko sv. paļaujas uz spēju veikt reizināšanu(šis materiāls ir apskatīts sadaļā par reālo skaitļu reizināšanu). Apskatīsim problēmu:

Paceliet -2 uz 4. st.

Mums ir darīšana ar dabisku rādītāju. Attiecīgi lēmuma pieņemšanas gaita būs šāda: (-2) Art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Tagad atliek tikai reizināt veselus skaitļus: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Mēs saņemam 16.

Atbilde uz problēmu:

(-2) Art. 4=16.

Piemērs:

Aprēķiniet vērtību: trīs punktu divas septītdaļas kvadrātā.

Šis piemērs ir vienāds ar šādu reizinājumu: trīs punkti divas septītās reizinātas ar trīs komata divas septītās. Atgādinot, kā tiek reizināti jaukti skaitļi, mēs pabeidzam konstrukciju:

• 3 punkts 2 septītās reizinātas ar sevi;
• ir vienāds ar 23 septītajām daļām, kas reizinātas ar 23 septītajām daļām;
• ir vienāds ar 529 četrdesmit devītajām daļām;
• mēs samazinām un iegūstam 10 trīsdesmit deviņas četrdesmit devītās.

Atbilde: 10 39/49

Runājot par paaugstināšanu līdz iracionālam eksponentam, jāatzīmē, ka aprēķinus sāk veikt pēc tam, kad ir pabeigta sākotnējā pakāpes bāzes noapaļošana līdz jebkuram ciparam, kas ļautu iegūt vērtību ar noteiktu precizitāti. Piemēram, mums ir jāliek kvadrātā skaitlis P (pi).

Mēs sākam ar P noapaļošanu līdz simtdaļām un iegūstam:

P kvadrātā = (3,14)2 = 9,8596. Tomēr, ja mēs samazinām P līdz desmit tūkstošdaļām, mēs iegūstam P = 3,14159. Tad kvadrātveida piešķiršana dod pavisam citu skaitli: 9.8695877281.

Šeit jāatzīmē, ka daudzās problēmās nav vajadzības paaugstināt iracionālos skaitļus līdz pakāpēm. Parasti atbilde tiek ievadīta vai nu faktiskās pakāpes formā, piemēram, 6 sakne ar pakāpju 3, vai, ja izteiksme atļauj, tiek veikta tās transformācija: sakne no 5 līdz 7 grādiem = 125 sakne no 5.

Kā palielināt skaitli līdz veselam skaitlim

Šī algebriskā manipulācija ir piemērota ņem vērā šādos gadījumos:

• veseliem skaitļiem;
• nulles indikatoram;
• pozitīva vesela skaitļa eksponentam.

Tā kā gandrīz visi pozitīvie veselie skaitļi sakrīt ar naturālo skaitļu masu, pozitīva vesela skaitļa jaudas iestatīšana ir tāds pats process kā iestatīšana Art. dabisks. Mēs aprakstījām šo procesu iepriekšējā punktā.

Tagad parunāsim par st. null. Mēs jau iepriekš noskaidrojām, ka skaitļa a nulles pakāpju var noteikt jebkuram, kas nav nulle a (reāls), savukārt a Art. 0 būs vienāds ar 1.

Attiecīgi, paaugstinot jebkuru reālo skaitli līdz nullei st. dos vienu.

Piemēram, 10 st. 0=1, (-3,65)0=1 un 0 st. 0 nevar noteikt.

Lai pabeigtu palielināšanu līdz veselam skaitlim, atliek izlemt par negatīvu veselu skaitļu vērtību opcijām. Mēs atceramies, ka Art. no a ar veselu skaitļa eksponentu -z tiks definēts kā daļa. Daļas saucējs ir st. ar pozitīvu veselu skaitļa vērtību, kuras vērtību mēs jau esam iemācījušies atrast. Tagad atliek tikai apsvērt būvniecības piemēru.

Piemērs:

Aprēķiniet skaitļa 2 vērtību kubā ar negatīvu veselu eksponentu.

Risinājuma process:

Saskaņā ar grāda definīciju ar negatīvu eksponentu mēs apzīmējam: divus mīnus 3 grādus. ir vienāds ar vienu līdz diviem ar trešo pakāpi.

Saucēju aprēķina vienkārši: divi kubi;

3 = 2*2*2=8.

Atbilde: divi līdz mīnus 3. st. = viena astotā daļa.

Video

No šī videoklipa jūs uzzināsit, kā rīkoties, ja grādam ir negatīvs eksponents.

Darbības ar pilnvarām un saknēm. Grāds ar negatīvu ,

nulle un daļskaitlis indikators. Par izteicieniem, kuriem nav nozīmes.

Darbības ar grādiem.

1. Reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti summējas:

a m · a n = a m + n .

2. Dalot grādus ar vienādu bāzi, to eksponenti tiek atskaitīti .

3. Divu vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. Attiecības (daļdaļas) pakāpe ir vienāda ar dividendes (skaitītāja) un dalītāja (saucēja) pakāpju attiecību:

(a/b ) n = a n / b n .

5. Paaugstinot pakāpju pakāpē, to eksponenti tiek reizināti:

(a m ) n = a m n .

Visas iepriekš minētās formulas tiek nolasītas un izpildītas abos virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.

PIEMĒRS (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Darbības ar saknēm. Visās zemāk esošajās formulās simbols nozīmē aritmētiskā sakne(radikālā izteiksme ir pozitīva).

1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar produktu šo faktoru saknes:

2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividenžu un dalītāja sakņu attiecību:

3. Paaugstinot sakni līdz spēkam, pietiek ar paaugstinātu līdz šim spēkam radikāls skaitlis:

4. Ja palielināsim saknes pakāpi m paaugstināt uz m th jauda ir radikāls skaitlis, tad saknes vērtība nemainīsies:

5. Ja mēs samazinām saknes pakāpi m izvelciet sakni vienreiz un tajā pašā laikā m radikāla skaitļa th jauda, ​​tad saknes vērtība nav mainīšos:

Paplašinot grāda jēdzienu. Līdz šim esam apsvēruši grādus tikai ar naturālajiem eksponentiem; bet darbības ar grādi un saknes var arī novest pie negatīvs, nulle Un daļēja rādītājiem. Visiem šiem eksponentiem nepieciešama papildu definīcija.

Grāds ar negatīvu eksponentu. Kāda skaitļa jauda c negatīvs (vesels) eksponents ir definēts kā viens dalīts ar tāda paša skaitļa pakāpju ar eksponentu, kas vienāds ar absolūto vērtībunegatīvs rādītājs:

T tagad formula a m: a n= a m - n var izmantot ne tikaim, vairāk par n, bet arī ar m, mazāk nekā n .

PIEMĒRS a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Ja mēs vēlamies formulua m : a n= a m - nbija godīgi, kadm = n, mums ir vajadzīga nulles pakāpes definīcija.

Grāds ar nulles indeksu. Jebkura skaitļa, kas nav nulle, ar eksponentu nulle, pakāpe ir 1.

PIEMĒRI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālu skaitli un jaudai m/n , jums ir jāizņem sakne m n-tā pakāpe - šī skaitļa pakāpe A:

Par izteicieniem, kuriem nav nozīmes. Ir vairāki šādi izteicieni. jebkurš skaitlis.

Faktiski, ja mēs pieņemam, ka šī izteiksme ir vienāda ar kādu skaitli x, tad saskaņā ar dalīšanas operācijas definīciju mums ir: 0 = 0 · x. Bet šī vienlīdzība notiek tad, kad jebkurš skaitlis x, kas bija tas, kas bija jāpierāda.

3. gadījums.

0 0 - jebkurš skaitlis.

Tiešām,

Risinājums Apskatīsim trīs galvenos gadījumus.

1) x = 0 – šī vērtība neapmierina šo vienādojumu

(Kāpēc?).

2) kad x> 0 mēs iegūstam: x/x = 1, t.i. 1 = 1, kas nozīmē

Kas x– jebkurš skaitlis; bet ņemot vērā to,

Mūsu gadījumā x> 0, atbilde irx > 0 ;

3) kad x < 0 получаем: – x/x= 1, t.i., e . –1 = 1, tāpēc

Šajā gadījumā risinājuma nav.

Tādējādi x > 0.

Izteiksmes, izteiksmju konvertēšana

Spēka izteiksmes (izteiksmes ar pilnvarām) un to transformācija

Šajā rakstā mēs runāsim par izteiksmju konvertēšanu ar pilnvarām. Pirmkārt, mēs pievērsīsimies transformācijām, kas tiek veiktas ar jebkāda veida izteiksmēm, tostarp spēka izteiksmēm, piemēram, atverot iekavas un ienesot līdzīgus terminus. Un tad mēs analizēsim transformācijas, kas īpaši raksturīgas izteiksmēm ar pakāpēm: strādājot ar bāzi un eksponentu, izmantojot grādu īpašības utt.

Lapas navigācija.

Kas ir spēka izpausmes?

Jēdziens “spēka izteiksmes” praktiski neparādās skolu matemātikas mācību grāmatās, taču diezgan bieži parādās uzdevumu krājumos, īpaši tajos, kas paredzēti, piemēram, gatavošanai vienotajam valsts eksāmenam un vienotajam valsts eksāmenam. Izanalizējot uzdevumus, kuros nepieciešams veikt jebkādas darbības ar spēka izteiksmēm, kļūst skaidrs, ka spēka izteiksmes tiek saprastas kā izteiksmes, kas savos ierakstos satur spēkus. Tāpēc jūs varat pieņemt šādu definīciju sev:

Definīcija.

Spēka izpausmes ir izteicieni, kas satur pilnvaras.

Dosim spēka izteiksmes piemēri. Turklāt mēs tos parādīsim atbilstoši tam, kā notiek uzskatu attīstība no pakāpes ar naturālo eksponentu līdz pakāpei ar reālu eksponentu.

Kā zināms, šajā posmā vispirms iepazīstas ar skaitļa pakāpēm ar naturālo eksponentu, pirmajām vienkāršākajām pakāpju izteiksmēm tipam 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 parādās −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 utt.

Nedaudz vēlāk tiek pētīta skaitļa pakāpe ar veselu eksponentu, kā rezultātā parādās jaudas izteiksmes ar negatīvu veselu skaitļu pakāpēm, piemēram: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Vidusskolā viņi atgriežas pie grādiem. Tur tiek ieviests grāds ar racionālu eksponentu, kas nozīmē atbilstošo jaudas izteiksmju parādīšanos: , , un tā tālāk. Visbeidzot tiek aplūkoti grādi ar iracionāliem eksponentiem un tos saturošas izteiksmes: , .

Lieta neaprobežojas tikai ar uzskaitītajām pakāpju izteiksmēm: tālāk mainīgais iekļūst eksponentā, un, piemēram, rodas šādas izteiksmes: 2 x 2 +1 vai . Un pēc iepazīšanās ar , sāk parādīties izteiksmes ar pakāpēm un logaritmiem, piemēram, x 2·lgx −5·x lgx.

Tātad, mēs esam risinājuši jautājumu par to, ko pārstāv varas izpausmes. Tālāk mēs iemācīsimies tos pārvērst.

Spēka izteiksmju transformāciju pamatveidi

Izmantojot spēka izteiksmes, jūs varat veikt jebkuru no izteiksmju pamata identitātes pārveidojumiem. Piemēram, varat atvērt iekavas, aizstāt skaitliskās izteiksmes ar to vērtībām, pievienot līdzīgus terminus utt. Protams, šajā gadījumā ir jāievēro pieņemtā darbību veikšanas kārtība. Sniegsim piemērus.

Piemērs.

Aprēķināt jaudas izteiksmes vērtību 2 3 ·(4 2 −12) .

Risinājums.

Atbilstoši darbību izpildes secībai vispirms veiciet darbības iekavās. Tur, pirmkārt, jaudu 4 2 aizstājam ar tās vērtību 16 (ja nepieciešams, skat.), otrkārt, aprēķinām starpību 16−12=4. Mums ir 2 3 · (4 2–12) = 2 3 · (16–12) = 2 3 ·4.

Iegūtajā izteiksmē jaudu 2 3 aizstājam ar tās vērtību 8, pēc kuras aprēķinām reizinājumu 8·4=32. Šī ir vēlamā vērtība.

Tātad, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Atbilde:

2 3 · (4 2 -12)=32.

Piemērs.

Vienkāršojiet izteicienus ar pilnvarām 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Risinājums.

Acīmredzot šī izteiksme satur līdzīgus terminus 3·a 4 ·b −7 un 2·a 4 ·b −7 , un mēs varam tos uzrādīt: .

Atbilde:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Piemērs.

Izsakiet izteiksmi ar pilnvarām kā produktu.

Risinājums.

Ar uzdevumu varat tikt galā, attēlojot skaitli 9 kā pakāpju 3 2 un pēc tam izmantojot formulu saīsinātai reizināšanai - kvadrātu starpība:

Atbilde:

Ir arī vairākas identiskas transformācijas, kas īpaši raksturīgas spēka izteiksmēm. Mēs tos analizēsim sīkāk.

Darbs ar bāzi un eksponentu

Ir grādi, kuru bāze un/vai eksponents nav tikai skaitļi vai mainīgie, bet gan dažas izteiksmes. Kā piemēru dodam ierakstus (2+0.3·7) 5−3.7 un (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Strādājot ar šādām izteiksmēm, jūs varat aizstāt gan izteiksmi pakāpes bāzē, gan izteiksmi eksponentā ar identiski vienādu izteiksmi tās mainīgo ODZ. Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar mums zināmajiem noteikumiem mēs varam atsevišķi pārveidot pakāpes bāzi un atsevišķi eksponentu. Ir skaidrs, ka šīs transformācijas rezultātā tiks iegūta izteiksme, kas ir identiski vienāda ar sākotnējo.

Šādas transformācijas ļauj mums vienkāršot izteicienus ar spēku vai sasniegt citus mums vajadzīgos mērķus. Piemēram, augstāk minētajā pakāpju izteiksmē (2+0.3 7) 5−3.7 var veikt darbības ar skaitļiem bāzē un eksponentā, kas ļaus pāriet uz pakāpju 4.1 1.3. Un pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu pievilkšanas pakāpes (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) bāzei mēs iegūstam vienkāršākas formas pakāpju izteiksmi a 2·(x+ 1) .

Grāda īpašību izmantošana

Viens no galvenajiem instrumentiem izteiksmju pārveidošanai ar pilnvarām ir vienādības, kas atspoguļo . Atgādināsim galvenos. Jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b un patvaļīgiem reāliem skaitļiem r un s ir patiesas šādas pakāpju īpašības:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Ņemiet vērā, ka naturālajiem, veseliem skaitļiem un pozitīviem eksponentiem ierobežojumi attiecībā uz skaitļiem a un b var nebūt tik stingri. Piemēram, naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa ne tikai pozitīvajiem a, bet arī negatīvajiem, un a=0.

Skolā galvenā uzmanība, transformējot spēka izteiksmes, tiek likta uz spēju izvēlēties atbilstošu īpašību un pareizi to pielietot. Šajā gadījumā grādu bāzes parasti ir pozitīvas, kas ļauj bez ierobežojumiem izmantot grādu īpašības. Tas pats attiecas uz izteiksmju pārveidošanu, kas satur mainīgos pakāpju bāzēs - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazons parasti ir tāds, ka bāzes ņem tikai pozitīvas vērtības, kas ļauj brīvi izmantot pakāpju īpašības . Kopumā jums pastāvīgi jājautā sev, vai šajā gadījumā ir iespējams izmantot kādu grādu īpašību, jo neprecīza īpašību izmantošana var izraisīt izglītojošās vērtības samazināšanos un citas nepatikšanas. Šie punkti ir detalizēti un ar piemēriem apskatīti rakstā izteiksmju transformācija, izmantojot spēku īpašības. Šeit mēs aprobežosimies ar dažu vienkāršu piemēru apsvēršanu.

Piemērs.

Izteikt izteiksmi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kā pakāpju ar bāzi a.

Risinājums.

Pirmkārt, mēs pārveidojam otro koeficientu (a 2) -3, izmantojot īpašību palielināt jaudu par jaudu: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Sākotnējā jaudas izteiksme būs 2.5 ·a −6:a −5.5. Acīmredzot atliek izmantot pilnvaru reizināšanas un dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi, kas mums ir
a 2,5 ·a -6:a -5,5 =
a 2,5-6:a -5,5 =a -3,5:a -5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Atbilde:

a 2,5 · (a 2) -3:a -5,5 =a 2.

Pakāpju īpašības, transformējot pakāpju izteiksmes, tiek izmantotas gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso.

Piemērs.

Atrodiet jaudas izteiksmes vērtību.

Risinājums.

Vienādība (a·b) r =a r ·b r, kas piemērota no labās puses uz kreiso pusi, ļauj pāriet no sākotnējās izteiksmes uz formas produktu un tālāk. Un, reizinot jaudas ar tām pašām bāzēm, eksponenti summējas: .

Sākotnējo izteiksmi bija iespējams pārveidot citā veidā:

Atbilde:

.

Piemērs.

Ņemot vērā jaudas izteiksmi a 1,5 −a 0,5 −6, ievadiet jaunu mainīgo t = a 0,5.

Risinājums.

Pakāpi a 1,5 var attēlot kā 0,5 3 un pēc tam, pamatojoties uz pakāpes īpašību pakāpei (a r) s =a r s, piemērojot no labās puses uz kreiso, pārveidot to formā (a 0,5) 3. Tādējādi a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Tagad ir viegli ieviest jaunu mainīgo t=a 0,5, mēs iegūstam t 3 −t−6.

Atbilde:

t 3 −t−6 .

Pārvērš daļskaitļus, kas satur pakāpes

Spēka izteiksmes var saturēt vai attēlot daļskaitļus ar pakāpēm. Jebkura no daļskaitļu pamatpārveidojumiem, kas ir raksturīgi jebkura veida frakcijām, ir pilnībā piemērojama šādām daļām. Tas ir, daļskaitļus, kas satur pakāpes, var samazināt, reducēt līdz jaunam saucējam, apstrādāt atsevišķi ar to skaitītāju un atsevišķi ar saucēju utt. Lai ilustrētu šos vārdus, apsveriet risinājumus vairākiem piemēriem.

Piemērs.

Vienkāršojiet spēka izteiksmi .

Risinājums.

Šī jaudas izteiksme ir daļa. Strādāsim ar tā skaitītāju un saucēju. Skaitītājā mēs atveram iekavas un vienkāršojam iegūto izteiksmi, izmantojot pakāpju īpašības, un saucējā mēs parādām līdzīgus terminus:

Un mainīsim arī saucēja zīmi, daļskaitļa priekšā ievietojot mīnusu: .

Atbilde:

.

Pakāpju daļskaitļu samazināšana līdz jaunam saucējam tiek veikta līdzīgi kā racionālu daļskaitļu samazināšana līdz jaunam saucējam. Šajā gadījumā tiek atrasts arī papildu koeficients un ar to tiek reizināts daļskaitļa skaitītājs un saucējs. Veicot šo darbību, ir vērts atcerēties, ka samazināšana līdz jaunam saucējam var izraisīt ODZ sašaurināšanos. Lai tas nenotiktu, ir nepieciešams, lai papildu faktors nenonāktu līdz nullei nevienai mainīgo vērtībām no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.

Piemērs.

Samaziniet daļskaitļus līdz jaunam saucējam: a) līdz saucējam a, b) uz saucēju.

Risinājums.

a) Šajā gadījumā ir diezgan viegli izdomāt, kurš papildu reizinātājs palīdz sasniegt vēlamo rezultātu. Tas ir reizinātājs ar 0,3, jo 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Ņemiet vērā, ka mainīgā a pieļaujamo vērtību diapazonā (tā ir visu pozitīvo reālo skaitļu kopa) 0,3 jauda nepazūd, tāpēc mums ir tiesības reizināt dotā skaitītāju un saucēju. daļa ar šo papildu koeficientu:

b) Uzmanīgāk apskatot saucēju, jūs to atradīsit

un reizinot šo izteiksmi ar, tiks iegūta kubu summa un , tas ir, . Un tas ir jaunais saucējs, līdz kuram mums jāsamazina sākotnējā daļa.

Tādā veidā mēs atradām papildu faktoru. Mainīgo x un y pieļaujamo vērtību diapazonā izteiksme nepazūd, tāpēc ar to varam reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju:

Atbilde:

A) , b) .

Arī pakāpju daļskaitļu samazināšanā nav nekā jauna: skaitītājs un saucējs tiek attēloti kā vairāki faktori, un tie paši skaitītāja un saucēja faktori tiek samazināti.

Piemērs.

Samaziniet daļu: a) , b) .

Risinājums.

a) Pirmkārt, skaitītāju un saucēju var samazināt par skaitļiem 30 un 45, kas ir vienāds ar 15. Acīmredzot ir arī iespējams veikt samazināšanu par x 0,5 +1 un par . Lūk, kas mums ir:

b) Šajā gadījumā identiski faktori skaitītājā un saucējā nav uzreiz redzami. Lai tos iegūtu, jums būs jāveic iepriekšējas pārvērtības. Šajā gadījumā tie sastāv no saucēja faktorēšanas, izmantojot kvadrātu starpības formulu:

Atbilde:

A)

b) .

Daļskaitļu pārvēršana jaunā saucējā un daļskaitļu samazināšana galvenokārt tiek izmantota, lai veiktu darbības ar daļskaitļiem. Darbības tiek veiktas saskaņā ar zināmiem noteikumiem. Saskaitot (atņemot) daļskaitļus, tās tiek reducētas līdz kopsaucējam, pēc kā tiek saskaitīti (atņemti) skaitītāji, bet saucējs paliek nemainīgs. Rezultātā tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums. Dalīšana ar daļskaitli ir reizināšana ar apgriezto.

Piemērs.

Izpildiet norādītās darbības .

Risinājums.

Pirmkārt, mēs atņemam iekavās esošās daļas. Lai to izdarītu, mēs tos apvienojam ar kopsaucēju, kas ir , pēc kura mēs atņemam skaitītājus:

Tagad mēs reizinām daļskaitļus:

Acīmredzot ir iespējams samazināt ar jaudu x 1/2, pēc kura mums ir .

Varat arī vienkāršot jaudas izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu: .

Atbilde:

Piemērs.

Vienkāršojiet spēka izteiksmi .

Risinājums.

Acīmredzot šo daļu var samazināt par (x 2,7 +1) 2, tas dod daļu . Ir skaidrs, ka ar X pilnvarām ir jādara kaut kas cits. Lai to izdarītu, mēs pārveidojam iegūto frakciju produktā. Tas dod mums iespēju izmantot iespēju sadalīt pilnvaras ar vienādām bāzēm: . Un procesa beigās mēs pārejam no pēdējā produkta uz frakciju.

Atbilde:

.

Un vēl piebildīsim, ka ir iespējams un daudzos gadījumos vēlams pārnest faktorus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju vai no saucēja uz skaitītāju, mainot eksponenta zīmi. Šādas pārvērtības bieži vien vienkāršo turpmākās darbības. Piemēram, jaudas izteiksmi var aizstāt ar .

Izteicienu pārveidošana ar saknēm un pilnvarām

Bieži vien izteiksmēs, kurās nepieciešamas dažas transformācijas, kopā ar pakāpēm ir arī saknes ar daļskaitļiem. Lai pārveidotu šādu izteiksmi vēlamajā formā, vairumā gadījumu pietiek tikai ar saknēm vai tikai pilnvarām. Bet, tā kā ir ērtāk strādāt ar pilnvarām, tās parasti pāriet no saknēm uz pilnvarām. Tomēr ir ieteicams veikt šādu pāreju, ja sākotnējās izteiksmes mainīgo ODZ ļauj aizstāt saknes ar pilnvarām bez nepieciešamības atsaukties uz moduli vai sadalīt ODZ vairākos intervālos (mēs to detalizēti apspriedām raksta pāreja no saknēm uz pakāpēm un atpakaļ Pēc iepazīšanās ar pakāpi ar racionālo eksponentu tiek ieviests grāds ar iracionālu eksponentu, kas ļauj runāt par pakāpi ar patvaļīgu reālo eksponentu Šajā posmā tas sāk būt mācījies skolā. eksponenciālā funkcija, ko analītiski dod pakāpē, kuras bāze ir skaitlis, bet eksponents ir mainīgais. Tātad mēs saskaramies ar pakāpju izteiksmēm, kas satur skaitļus pakāpju bāzē, bet eksponentā - izteiksmes ar mainīgajiem, un dabiski rodas nepieciešamība veikt šādu izteiksmju transformācijas.

Jāteic, ka norādītā tipa izteiksmju transformācija parasti ir jāveic risinot eksponenciālie vienādojumi Un eksponenciālās nevienlīdzības, un šie reklāmguvumi ir diezgan vienkārši. Lielākajā daļā gadījumu tie ir balstīti uz grāda īpašībām un lielākoties ir vērsti uz jauna mainīgā ieviešanu nākotnē. Vienādojums ļaus mums tos parādīt 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pirmkārt, pakāpes, kuru eksponentos ir noteikta mainīgā (vai izteiksmes ar mainīgajiem) un skaitļa summa, tiek aizstāti ar reizinājumiem. Tas attiecas uz izteiksmes pirmo un pēdējo vārdu kreisajā pusē:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tālāk abas vienādības puses tiek dalītas ar izteiksmi 7 2 x, kas mainīgā x ODZ sākotnējam vienādojumam ņem tikai pozitīvas vērtības (šī ir standarta tehnika šāda veida vienādojumu risināšanai, mēs neesam runājot par to tagad, tāpēc koncentrējieties uz turpmākajām izteicienu transformācijām ar pilnvarām ):

Tagad mēs varam atcelt daļskaitļus ar pakāpēm, kas dod .

Visbeidzot, pakāpju attiecība ar vienādiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību pakāpēm, kā rezultātā tiek iegūts vienādojums , kas ir līdzvērtīgs . Veiktās transformācijas ļauj ieviest jaunu mainīgo, kas reducē sākotnējā eksponenciālā vienādojuma atrisinājumu līdz kvadrātvienādojuma atrisinājumam

I. V. Bojkovs, L. D. Romanova Uzdevumu krājums, lai sagatavotos vienotajam valsts eksāmenam. 1. daļa. Penza 2003. gads.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Eksponents ar negatīvu eksponentu. Problēmu risināšanas definīcija un piemēri"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 8. klasei
Rokasgrāmata mācību grāmatai Muravins G.K.    Rokasgrāmata mācību grāmatai, kuru autors ir Alimovs Sh.A.

Pakāpes noteikšana ar negatīvu eksponentu

Puiši, mēs spējam palielināt skaitu līdz pilnvarām.
Piemēram: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Mēs labi zinām, ka jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu. $a^0=1$, $a≠0$.
Rodas jautājums, kas notiek, ja jūs paaugstināsit skaitli negatīvā pakāpē? Piemēram, ar ko būs vienāds skaitlis $2^(-2)$?
Pirmie matemātiķi, kas uzdeva šo jautājumu, nolēma, ka nav vērts izgudrot riteni no jauna, un labi, ka visas grādu īpašības palika nemainīgas. Tas ir, reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, eksponenti summējas.
Apskatīsim šo gadījumu: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Mēs atklājām, ka šādu skaitļu reizinājumam vajadzētu dot vienu. Produkta vienību iegūst, reizinot apgrieztos skaitļus, tas ir, $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Šāda argumentācija noveda pie šādas definīcijas.
Definīcija. Ja $n$ ir naturāls skaitlis un $a≠0$, tad spēkā ir vienādība: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Svarīga identitāte, ko bieži izmanto, ir: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Jo īpaši $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Risinājumu piemēri

1. piemērs.
Aprēķināt: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Risinājums.
Apskatīsim katru terminu atsevišķi.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Atliek veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Atbilde: $6\frac(1)(4)$.

2. piemērs.
Attēlojiet doto skaitli kā pirmskaitļa $\frac(1)(729)$ pakāpju.

Risinājums.
Acīmredzot $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Bet 729 nav pirmskaitlis, kas beidzas ar 9. Var pieņemt, ka šis skaitlis ir trīs pakāpe. Konsekventi sadaliet 729 ar 3.
1) $\frac(729)(3)=243 $;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Tika veiktas sešas operācijas, un tas nozīmē: $729=3^6$.
Mūsu uzdevumam:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Atbilde: $3^(-6)$.

3. piemērs. Izteiciet izteiksmi kā pakāpju: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Risinājums. Pirmā darbība vienmēr tiek veikta iekavās, pēc tam reizināšana $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Atbilde: $a$.

4. piemērs. Pierādiet identitāti:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Risinājums.
Kreisajā pusē mēs aplūkojam katru faktoru iekavās atsevišķi.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Pārejam pie daļskaitļa, ar kuru mēs dalām.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Veiksim dalīšanu.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Mēs ieguvām pareizo identitāti, kas mums bija jāpierāda.

Nodarbības beigās mēs vēlreiz pierakstīsim noteikumus darbam ar pakāpēm, šeit eksponents ir vesels skaitlis.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1. Aprēķiniet: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Attēlojiet doto skaitli kā pirmskaitļa $\frac(1)(16384)$ pakāpju.
3. Izsakiet izteiksmi kā pakāpju:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Pierādiet identitāti:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.