Каждое сложное суждение состоит из простых суждений, соединенных каким-либо союзом. Возможно определить сложное суждение и таким образом: сложным называется суждение, в составе которого выделяется хотя бы одно простое суждение. В зависимости от союза, с помощью которого простые суждения входят в состав сложного, выделяется, как правило, шесть видов сложных суждений.

1. Конъюнктивное суждение, или конъюнкция – это сложное суждение с соединительным союзом и , который обозначается в логике условным знаком Ù. Например, сложное суждение: Сверкнула молния, и загремел гром является конъюнктивным, или конъюнкцией (соединением) двух простых суждений: 1. Сверкнула молния. 2. Загремел гром . Конъюнкция может состоять не только из двух, но и из большего количества простых суждений. Например: Сверкнула молния, и загремел гром, и пошел дождь (aÙbÙc) .

Дизъюнктивное суждение, или дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом или .

2. Нестрогая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом или в его неисключающем (нестрогом) значении, который обозначается условным знаком Ú. Например, сложное суждение: Он изучает английский, или он изучает немецкий является нестрогим дизъюнктивным или нестрогой дизъюнкцией двух простых суждений: 1. Он изучает английский. 2. Он изучает немецкий . Как видим, эти суждения друг друга не исключают, ведь возможно изучать и английский, и немецкий одновременно.

3. Строгая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом или в его исключающем (строгом) значении, который обозначается условным знаком Ú . Например, сложное суждение: Он учится в 9 классе, или он учится в 11 классе является строгим дизъюнктивным, или строгой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: 1. Он учится в 9 классе. 2. Он учится в 11 классе . Эти суждения друг друга исключают, ведь невозможно одновременно учиться и в 9 и в 11 классе.

4. Импликативное суждение, или импликация – это сложное суждение с условным союзом если... то , который обозначается условным ® знаком. С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы a ® b (читается если а, то b ), где а и b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: Если вещество является металлом, то оно электропроводно представляет собой импликативное суждение, или импликацию (причинно-следственную связь) двух простых суждений: 1. Вещество является металлом. 2. Вещество электропроводно .

5. Эквивалентное суждение, или эквиваленция – это сложное суждение с союзом если… то не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае союз обозначается условным знаком «, с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы a « b (читается если a, то b, и если b, то a ), где a и b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: Если число является четным, то оно делится без остатка на 2 представляет собой эквивалентное суждение, или эквиваленцию (равенство, тождество) двух простых суждений: 1. Число является четным. 2. Число делится без остатка на 2 .

6. Отрицательное суждение, или отрицание – это сложное суждение с неверно, что…, который обозначается условным знаком Ø. С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы Øa (читается неверно, что a ), где a – это какое-либо простое суждение. Давая определение сложному суждение, мы говорили, что оно состоит из простых суждений, связанных какими-либо союзом, или, другими словами, сложным является суждение, в котором возможно выделить хотя бы одно самостоятельное простое суждение. В случае с отрицанием мы имеем как раз такую ситуацию, когда сложное суждение состоит не из двух или нескольких простых суждений, а включает в свой состав одно самостоятельное простое суждение (а). Пример отрицательного суждения: Неверно, что все мухи являются птицами .

24Умозаключение как форма суждения, его структура.

Умозаключения имеют сложную структуру. Они состоят из трех элементов:

а) посылок (предпосылок);

б)заключения (следствия);

в)следования (необходимой логической связи между посыл­
ками и заключением рассуждения).

Наш мозг постоянно занят каким-то рассуждениями – он делает выводы из прожитого, из усвоенного, из предположительного. Все эти выводы и являются умозаключениями, логическим результатом мыслительного акта. Умозаключение выступает, как высшая форма мышления, соединяющая в себе и суждения, и понятия.

Правильность умозаключений

Говорят, правильность наших умозаключений предстоит проверить времени, логике, науке. Это, так называемая, проверка «на вшивость», ведь когда Галилей сказал, что «все-таки, Земля вертится», он не мог этого доказать. Его фраза является отличным примером умозаключений.

Но если подойти к вопросу с научной точки зрения, умозаключения все-таки можно проверить здесь и сейчас (теоретически). Их правильность зависит от правильности посылов и структурных частей умозаключений. Из правильного, надо полагать, должно получиться тоже правильное.

Суждение и умозаключение

Суждение и умозаключение – это два тесно связанных вида мышления. Умозаключение порождается из исходных суждений, а результатом процесса рассуждения над данными суждениями является рождение нового суждения – вывода или заключения.

Виды умозаключений

Следует взглянуть на три составные части любого логического умозаключения:

• знание-посыл;
• обосновывающее знание;
• вывод – заключение.

В зависимости от вида умозаключения, процесс рассуждений будет немного различаться, но три связных звена будут неизменными.

В дедуктивных умозаключениях вывод является результатом хода мыслей от общего к частному.

В индуктивных применяется обобщение от частного к общему.

В аналогии применяется свойство предметов и явлений иметь общие, схожие признаки.

Разница: суждение – понятие – умозаключение

Три формы мышления, а именно, понятие, суждение и умозаключение часто путают между собой без всяких на то оснований.

Понятие – это мысль об общем свойстве явлений, предметов. Понятие – это биологическое название класса растений с общими свойствами, как например, класс Березы. Произнося «березы», мы говорим не об отдельном виде березы, а обо всех березах в целом.

Суждение – это отображение свойств предметов и явлений, их сравнение, отрицание или утверждение наличия этих свойств. Например, суждение – это утверждение того, что «каждая планета Солнечной системы вращается вокруг своей оси».

Что же касается умозаключения, то об этом виде мышления мы уже наговорились. Умозаключение представляет собой вывод – рождение новой мысли на основе ранее накопленных знаний.

25 Виды умозаключений

Все умозаключения принято делить на виды по различным основаниям: по составу, по количеству посылок, по характеру логического следования и степени общности знаний в посылках и заключении.

По составу все умозаключения делятся на простые и сложные. Простыми называются умозаключения, элементы которых не являются умозаключениями. Сложными называют умозаключения, состоящие из двух или более простых умозаключений.

По количеству посылок умозаключения делятся на непосредственные (из одной посылки) и опосредованные (из двух и более посылок).

По характеру логического следования все умозаключения делятся на необходимые (демонстративные) и правдоподобные (недемонстративные, вероятные). Необходимые умозаключения - такие, в которых истинное заключение обязательно следует из истинных посылок (т. е. логическое следование в таких выводах представляет собой логический закон). К необходимым умозаключениям относятся все виды дедуктивных умозаключений и некоторые виды индуктивных («полная индукция»).

Правдоподобные умозаключения - такие, в которых заключение следует из посылок с большей или меньшей степенью вероятности. Например, из посылок: «Студенты первой группы первого курса сдали экзамен по логике», «Студенты второй группы первого курса сдали экзамен по логике» и т. п. следует «Все студенты первого курса сдали экзамен по логике» с большей или меньшей степенью вероятности (что зависит от полноты наших знаний обо всех труппах студентов первого курса). К правдоподобным умозаключениям относятся индуктивные и умозаключения по аналогии.

Дедуктивное умозаключение (от лат. deductio - выведение) - такое умозаключение, в котором переход от общего знания к частному является логически необходимым.

Путем дедукции получаются достоверные выводы: если истинны посылки, то будут истинны и заключения.

Если человек совершил преступление, то он должен быть наказан.

Петров совершил преступление.

Петров должен быть наказан.

Индуктивное умозаключение (от лат. inductio - наведение) - такое умозаключение, в котором переход от частного знания к общему осуществляется с большей или меньшей степенью правдоподобности (вероятности).

Например:

Кража - уголовное преступление.

Грабеж - уголовное преступление.

Разбой - уголовное преступление.

Мошенничество - уголовное преступление.

Кража, грабеж, разбой, мошенничество - преступления против собственности.

Следовательно, все преступления против собственности – уголовные преступления.

Поскольку в основу данного заключения положен принцип рассмотрения не всех, а лишь некоторых предметов данного класса, то умозаключение называется неполной индукцией. В полной индукции обобщение происходит на основе знаний всех предметов исследуемого класса.

В умозаключении по аналогии (от греч. analogia - соответствие, сходство) на основе сходства двух объектов по каким-то одним параметрам делается вывод об их сходстве по другим параметрам. Например, на основе сходства способов совершения преступлений (кражи со взломом) можно сделать предположение о том, что эти преступления совершались одной и той же группой преступников.

Все виды умозаключений могут быть правильно построенными и неправильно построенными.

26 Дедуктивное умозаключение

ДЕДУКТИВНОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ - умозаключение, логическая форма которого гарантирует получение истинного заключения при условии одновременной истинности посылок. В дедуктивном умозаключении между посылками и заключением имеет место отношение следования логического; логическое содержание заключения (т. е. его информация без учета значений нелогических терминов) составляет часть совокупного логического содержания посылок.

Впервые систематический анализ одной из разновидностей дедуктивных умозаключений - силлогистических умозаключений, посылками и заключениями которых являются атрибутивные высказывания,- был осуществлен Аристотелем в “Первой Аналитике” и существенным образом развит его античными и средневековыми последователями. Дедуктивные умозаключения, основанные на свойствах пропозициональных логических связок, исследовались в школе стоиков и-особенно подробно-в средневековой логике. Были выделены такие важные типы умозаключений, как условно-категорические (modus ponens, modus tollens), разделительно-категорические (modus tollendo ponens, modus ponendo tollens), условноразделительные (лемматические) и др.

Однако в рамках традиционной логики описывалась лишь небольшая часть дедуктивных умозаключений и отсутствовали точные критерии логической корректности рассуждений. В современной символической логике, благодаря использованию методов формализации, построению логических исчислений и формальных семантик, аксиоматическому методу, исследование дедуктивных умозаключений было поднято на качественно иной, теоретический уровень.

Средствами современной логической теории удается задать всю совокупность форм правильных дедуктивных умозаключений в рамках определенного формализованного языка. Если теория строится семантически, то переход от формул Ai, Ai, ..., An к формуле В объявляется формой корректного дедуктивного умозаключения при наличии логического следования В из Αι, Αι, „., An, данное отношение обычно определяется так: при любой допустимой в данной теории интерпретации нелогических символов, при которой Ai, Ai,..., An принимают выделенное значение (значение истины), формула В также принимает выделенное значение. В синтаксически построенных логических системах (исчислениях) критерием логической корректности перехода от А, Ai, .... An к В выступает существование формального вывода формулы В из формул Ai, Ai, .. An, осуществляемого в соответствии с правилами данной системы (см. Вывод логический).

Выбор логической теории, адекватной для проверки дедуктивных умозаключений, обусловливается типом высказываний, входящих в его состав, и выразительными возможностями языка теории. Так, умозаключения, содержащие сложные высказывания, могут анализироваться средствами логики высказываний; при этом внутренняя структура простых высказываний в составе сложных игнорируется. Силлогистика исследует умозаключения из простых атрибутивных высказываний, основанные на объемных отношениях в сфере общих терминов. Средствами логики предикатов выделяются корректные дедуктивные умозаключения на основе учета внутренней структуры простых высказываний самых разнообразных видов. Умозаключения, содержащие модальные высказывания, рассматриваются в рамках систем модальной логики, те, которые содержат овременённые высказывания,-в рамках временной логики и т. д.

27 Индуктивное умозаключение.

Наряду с дедукцией важное значение в познании принадлежит индуктивным умозаключениям. Индуктивным называют такое умозаключение, в форме которого протекает эмпирическое обобщение, когда на основе повторяющегося признака у отдельных явлений делается заключение о его принадлежности всем явлениям определенного класса.

В зависимости от полноты и законченности эмпирического исследования различают два вида индуктивных умозаключений: полную индукцию и неполную индукцию.

Полная индукция – это умозаключение, в котором на основе повторяемости признака у каждого из явлений определенного класса заключают о принадлежности этого признака всему классу явлений. Такого рода индуктивные умозаключения применяются лишь в тех случаях, когда исследователь имеет дело с замкнутыми классами, число элементов в которых является конечным или легко обозримым. Применение полной индукции ограничено практически перечисляемыми множествами явлений. Если невозможно охватить весь класс интересующих исследователя явлений, то эмпирическое обобщение строится в форме неполной индукции.

Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основе повторяемости признака у некоторых явлений определенного класса заключают о принадлежности этого признака всему классу явлений. Неполнота индуктивного обобщения заключается в том, что исследуют не все, а только некоторые элементы класса. Если у каждого из них обнаруживают повторяющийся признак, то заключают о его принадлежности всему классу явлений.

Для умозаключений этой индукции характерно то, что истинные посылки обеспечивают получение не достоверного, а лишь проблематичного заключения. На этом основании неполную индукцию относят к правдоподобным умозаключениям. В условиях, когда исследуются не все, а лишь некоторые представители класса, не исключается возможность появления в последующем опыте противоречащего случая. Стремление увеличить число исследованных случаев не меняет существа дела. Большое влияние на характер логического следования в выводах неполной индукции оказывает способ отбора исходного эмпирического материала. Исходя из этого, различают два вида неполной индукции: индукцию путем перечисления, получившую название популярной индукции, и индукцию путем исключения, которую называют научной индукцией.

Популярной индукцией называют умозаключение, в котором устанавливают повторяемость признака у некоторых явлений класса путем их простого перечисления, на основе чего проблематично заключают о принадлежности этого признака всему классу явлений.

В процессе многовековой практики люди сталкиваются с устойчивой повторяемостью определенных явлений. На этой основе возникают обобщения, которые используются для объяснения наступивших и предсказания будущих событий.

Научной индукцией называется такое умозаключение, посредством которого делается общий вывод относительно всех предметов какого – либо класса на основе исследования существенных свойств и причинных связей части предметов данного класса. Если в популярном индуктивном обобщении вывод опирается на повторяемость признака, то научная индукция не ограничивается такой простой констатацией. Она исходит не из явлений, лежащих на поверхности, а из существенных признаков предметов. Кроме того, в научной индукции исходят из причинных связей, существующих между предметами и явлениями, имеющих такие характерные свойства, как всеобщность, последовательность во времени, необходимый характер связи, однозначную зависимость между причиной и следствием.

Методы научной индукции.Свойства причинной зависимости выполняют роль познавательных принципов, рационально направляющих эмпирическое исследование и формирующих особые методы научной индукции. К ним относятся: метод сходства, метод различия, соединенный метод сходства и различия, метод сопутствующих изменений, метод остатков.

Рассмотрим эти методы.

Для метода сходства характерно правило: если два или более случаев исследуемого явления имеют общим только одно обстоятельство, то в этом обстоятельстве и заключается причина данного явления. Метод сходства называют методом нахождения сходного в различном, так как сравниваемые случаи нередко заметно отличаются друг от друга.

Обоснованность полученного с помощью метода сходства заключения зависит от числа рассмотренных случаев и разнообразия условий наблюдения. Чем большее число случаев исследовано и чем разнообразнее обстоятельства, среди которых встречается сходное, тем основательнее индуктивный вывод и тем выше степень вероятности заключения. Этот метод чаще всего применяется лишь на первых ступенях исследования для получения предположительных выводов о причинах исследуемых явлений. Эти предположения потом проверяются и обосновываются другими методами.

Для применения метода различия достаточно иметь два случая, в одном из которых исследуемое явление наступает, а в другом не наступает. При этом второй случай отличается от первого лишь одним обстоятельством, а все другие являются сходными. Этот метод называют методом нахождения различного в сходном, ибо сравниваемые случаи совпадают друг с другом по многим параметрам. Заключение, полученное по методу различия, обладает большей степенью вероятности, чем заключение, полученное по методу сходства.

Выводы по аналогии.

Вероятность выводов по аналогии может колебаться очень значительно. Если она крайне мала, говорят, что аналогия несостоятельна. Аналогию можно считать состоятельной, только если перенос признака, обнаруженного у одного предмета, на другой действительно имеет основания в общих признаках.

Состоятельность аналогии соотносится с вероятностью се выводов. Аналогия состоятельна, если полученное заключение достаточно вероятно для его практической приемлемости. Дальше речь идет уже о повышении вероятности вывода (рис. 10.4).

Обычно к факторам, повышающим его вероятность, относят следующие.

Количество общих признаков. Чем больше признаков сходства, тем больше оснований для переноса информации с модели на прототип, тем выше вероятность достоверных заключений. Но дело не только в количестве, но и в качестве уподоблений. В приведенном примере, где козла сравнивали со щукой, а затем с петухом, и в том и в другом случае можно было бы перечислить гораздо больше признаков сходства. Но это существа дела не изменило бы, аналогия как была несостоятельной, так и осталась бы.

Рис. 10.4. Состоятельность аналогии

Существенность сходства. Общие признаки должны быть существенными для сравниваемых объектов. Отсутствие такого сходства делает умозаключения по аналогии несостоятельным.

Разнообразие признаков сходства. Общие признаки должны быть как можно более разнообразными и характеризовать сравниваемые объекты с разных сторон.

Количество и существенность пунктов различия. В природе не бывает абсолютно сходных явлений: самая высокая степень сходства всегда предполагает различия. Значит, в любом случае уподобления имеют место и различия между сравниваемыми предметами. Они по-разному влияют на вывод умозаключения по аналогии. В одних случаях различия бывают несущественными, т.е. совместимыми с переносимым признаком. Они не препятствуют уподоблению и переносу признака, хотя, как правило, видоизменяют форму, интенсивность или условия его проведения. Свойства, препятствующие переносу признака с одного предмета на другой, являются существенными различиями. Как правило, они несовместимы с переносимым свойством или отношением. Даже при существенном сходстве уподобляемых предметов могут быть такие различия, которые делают невозможным корректный перенос информации с одного предмета на другой.

Связь переносимого признака с признаками сходства. Можно выполнить все вышеуказанные условия: выявить много сходных признаков, притом существенных и характеризующих уподобляемые предметы с разных сторон, убедиться в том, что различия не имеют существенного значения (и ими можно пренебречь), - и, тем не менее, аналогия может оказаться несостоятельной, если переносимый признак не имеет существенной связи с признаками сходства.

Данный перечень правил И. Б. Новик и А. И. Уемов не без оснований дополняют такими правилами:

1) общие свойства должны быть любыми свойствами сравниваемых предметов, т.е. подбираться "без предубеждения" против свойств какого-либо типа;

2) свойство Pn+i т.е. свойство, обнаруженное в модели, должно быть того же типа, что и общие свойства (/,... Р„);

3) общие свойства (/, ... Р„) должны быть возможно более специфичными для сравниваемых предметов, т.е. принадлежать возможно меньшему кругу предметов;

4) свойство Ря+1, наоборот, должно быть наименее специфичным, т.е. принадлежать возможно большему кругу предметов.

Заключение

Аналогия как разновидность умозаключения довольно широко применяется и в обыденно-бытовых условиях, и в научно-практической деятельности. Ее познавательная роль заключается в том, что она часто наводит нас на догадки, стимулирует воображение, подталкивает к неожиданным ассоциациям, представлениям. В этом смысле традуктивные рассуждения несут в себе эвристический потенциал.

Но аналогия может также выполнять функции объяснения, доказательства, быть удобным инструментом для проведения исторических параллелей с целью построения прогнозов и т.д. Важно только учитывать, что формальнологический вывод по аналогии тем более вероятен, чем полнее реализуются правила переноса признаков с одного предмета на другой.

Аналогия представляет собой вид опосредованного умозаключения, в котором посылки и заключение являются суждениями одинаковой степени общности.

По характеру переносимых признаков чаще всего выделяют аналогию свойств и отношений, хотя к числу таких признаков могут быть отнесены функции, формы, причинно-следственная связь и др.

По степени вероятности заключения выделяют строгую, нестрогую и ложную аналогию. Вывод по строгой аналогии иногда близок к достоверности, т.е. к значению вероятности, равной единице, а по ложной аналогии равен нулю.

Условием состоятельности выводов по аналогии является соблюдение факторов, повышающих вероятность умозаключающей деятельности.

Чтобы выявить такие связи, надо соотносить следующие одно за другим предложения. Это поможет понять логику их отношений, а уяснив ее, проверить ее состоятельность, т.е. надо соседние предложения или их части соотносить по смыс­лу, используя для этого приемы, которые способствуют уг­лубленному пониманию текста: антиципацию (предвосхище­ние) последующего содержания и вопросы к прочитанному тексту, ответ на них должен по логике вещей дать в последу­ющий текст. Например:

Победа Красной Армии на фронтах Гражданской войны и окончательный раз­гром интервентов поставили перед советским народом труднейшие задачи в обла­сти культурного строительства.

Здесь первая часть фразы выглядит причиной того, о чем говорит вторая часть. Получается, что именно победа Крас­ной Армии затруднила советскому народу культурное строи­тельство. На самом же деле не победа, а тяготы войн ослож­нили его задачи. Связь между победой и трудностями не при­чинная, а временная: после победы. Логическую погрешность

эту легко пропустить, если не сопоставлять части фразы меж­ду собой.

Другой пример:

Однако полностью решить проблему перераспределения книжных фондов по территории страны в первые годы Советской власти не удалось. Национа­лизированная литература главным образом оседала в научных городских об­щедоступных библиотеках.

Первая фраза этого текста заставляет предположить, что дальше должно последовать объяснение и что, скорее всего, речь пойдет о транспортных трудностях, о том, что библио­теки были сосредоточены главным образом в городах центра страны. Но предположения не оправдались. В чем же дело? Вдумываясь во вторую фразу, редактор не может не сделать вывод, что она говорит лишь о непропорциональном распре­делении книг между городом и селом, а не по территории страны. А если так, то либо первая фраза неточна и ее нужно уточнить с учетом содержания второй, либо никуда не го­дится вторая фраза, поскольку она не подтверждает положе­ние в первой.

Если читать первую фразу, не задаваясь предположени­ем о том, чту последует во второй фразе, легко упустить ло­гическую связь между ними. Того же самого можно было добиться, задав по прочтении первой фразы вопрос: «Поче­му не удалось?». Тогда невольно надо будет искать ответ во второй фразе, т.е. упустить связь между ними уже будет сложно.

Еще пример из печати:

Для библиотек, обслуживающих подрастающее поколение, решающим яв­ляется также возрастной принцип, основанный на глубоком и всестороннем знании индивидуальных и психологических особенностей читателей-детей.

Прочитав первую часть фразы, редактор поступит правиль­но, если поставит такой вопрос: «Каким образом решает воз­растной принцип?» Этот вопрос обяжет его искать ответ во второй части и проанализировать логическую состоятель­ность связи между двумя частями фразы. В самом деле, ка­кая связь между индивидуальными особенностями детей и возрастным принципом? Психологические особенности у детей разных возрастов действительно разные, но индивиду­альные с возрастом вряд ли связаны. Логическая связь нали­чествует, но состоятельной ее не назовешь. А выявить ее, если не поставить вопрос, довольно сложно.

Редактор - слушатель курсов повышения квалификации принес в качестве логически несостоятельного такой пример из программы радиопередач:

16.55.- Сильнейшие шахматистки мира. В передаче принимают участие Н. Гаприндашвили, М. Чибурданидзе, Н. Александрия и М. Ботвинник.

Слушатель посчитал, что программа обратила Михаила Ботвинника в женщину: ведь название передачи «Сильней­шие шахматистки мира». Пожалуй, это придирка. Действи­тельно ли здесь вторая фраза иллюстрирует первую? Или она только передает состав выступающих шахматистов? Скорее, второе. Однако возможность двоякого толкования текста читателями все же требовала внести поправку, например:

16.55.- Сильнейшие шахматистки мира. Выступят Н. Гаприндашвили, М. Чибурданидзе, Н. Александрия. В передаче принимает участие Михаил Ботвинник.

Текст стал безупречным. А сделать его таким помогло со­поставление текста заглавия передачи с дальнейшим раскры­тием ее содержания.

Другой слушатель курсов принес еще более интересный пример:

Кораблям не спится в порту.

Им снятся моря, им снятся ветра.

«Как же так, - сказал слушатель, наученный сопоставле­нию фраз, - не спится, а в то же время сны? Верно ли? Как можно видеть что-либо во сне, если сон не идет?»

А может быть, потому не спится, что стоит только заснуть, как снится море, ветер - и сон уходит? Такая связь возмож­на, но тогда между фразами надо поставить не точку, а двое­точие, выразив им причинную связь между снами и бессон­ницей.

Бывают случаи, когда по ходу чтения текста, в котором логическая связь между суждениями ни словесно, ни пунк- туационно не выражена, связь эта благодаря непроизволь­ному соотнесению суждений сама бросается в глаза, но ка- жегся ошибочной, несуразной. Никогда в таких случаях не следует торопиться с выводом о логической ошибке. Потому что между суждениями, логическая связь между которыми ни словесно, ни пунктуационно не выражена, могут быть установлены разные отношения, в том числе и неверные. Надо проверить, не могут ли суждения бьггь связаны по-дру­гому, вполне логично.

В воспоминаниях писательницы Галины Серебряковой есть такие строки:

Горький восторгался их [женщин] героизмом и самоотверженностью.

Пишите о женщинах, не следует прятаться, как Жорж Санд, за мужскими псевдонимами.

Между двумя суждениями реплики Горького в передаче Серебряковой логическая связь словесно не выражена. Суж­дения разделены после слова женщинах запятой, логичес­кое значение которой скрыто. На месте запятой могла сто­ять и точка. Ничего бы не изменилось. Точка отделяла бы одно предложение от другого. Уяснить суть логических от­ношений двух предложений знаки препинания никак не по­могают.

Многие читатели поначалу воспринимают второе предло­жение как развивающее первое. По самому построению пред­ложений им представляется: если в первом Горький совету­ет, что делать надо, то во втором он, продолжая свою мысль, подсказывает, что в противовес этому делать не надо. Имен­но в противовес: так надо, а вот так нельзя. Пишите о жен­щинах, а не прячьтесь за мужскими псевдонимами - вот на­чальное восприятие логических отношений между двумя суж­дениями. На место запятой многие читатели невольно под­ставляют союз а, и сами этому улыбаются. И зря. Потому что по содержанию суждения не противостоят друг другу. И на критически-иронический вопрос читательницы-редактора: «Что же имел в виду Горький? Призывал писать о женщинах а не прятаться, как Аврора Дюдеван, за мужскими псевдони­мами?» - надо ответить: «Он не противопоставлял одно суж­дение другому, а присоединял второе к первому. Если бы между двумя предложениями Серебрякова поставила союз и, а по смыслу именно он здесь требуется, возможность непра­вильного прочтения была бы исключена:

Пишите о женщинах. И не следует прятаться, как Жорж Санд, за мужскими псевдонимами.

Теперь в реплике Горького ничего не покажется нелогич­ным.

Итак, в случаях, когда логическая связь ни словесно, ни пунктуационно не выражена и по первому впечатлению пред­ставляется ошибочной, не надо торопиться с выводом. Луч­ше тщательно соотнести суждения по содержанию, опреде­лить, какие именно логические связи между ними возмож­ны, и, чтобы не смущать читателя или не заставлять его про­делывать ту же затягивающее чтение работу, словесно или пунктуационно уточнить характер логических отношений.

С другой стороны, даже при первом правильном прочте­нии подобных текстов полезно представить себе, нельзя ли их прочитать по-иному - с ошибочной логической связью, чтобы, предвидя это, посоветовать автору уточнить текст.

IMS базы данных правила о том, что каждый тип сегмента может иметь только один из родителей. Это ограничивает сложности физической базы данных. Многие DL/I приложения требуют сложной структуры, которая позволяет сегмент, два родительских типов сегмента. Для преодоления этого ограничения, DL/I позволяет администраторам баз данных для осуществления логических связей сегмент может иметь как физического, так и логических родителей. Мы можем создать дополнительных связей в рамках одной физической базы данных. Новую структуру данных после реализации логической связи, известный как логической базы данных.

Логическая связь

Логическая связь имеет следующие свойства:

Логическая связь путь между двух сегментов, которые связаны с логически и физически не может быть.

Обычно логическая связь между отдельных баз данных. Но, возможно, отношения между сегментами одной конкретной базы данных.

На следующем рисунке показано два различных баз данных. Один из студентов, базы данных и другие - библиотека базы данных. Мы создание логической взаимосвязи между книги изданы сегмент из базы данных студентов и сегмент в базе данных библиотеки.

Это как логической базы данных выглядит при создании логическая связь:

Логические ребенка сегмент, на основе логической связи. Это физический сегмент данных но для DL/I, как если бы он имеет два родителей. Книги сегмент в примере выше имеет два родителя сегментов. Изданы книги сегмента является логическим продолжением родительского и библиотека сегмент - это физический родителей. Один из логических ребенка сегмент событие имеет только один логический родительской сегмента периодичность и один логический родительского сегмент событие может иметь множество логических ребенка сегмент события.

Логические двойня

Логические близнецов случаев логической ребенка тип сегмента, которые все подчинено единой событие в логических родительского типа сегмента. DL/I делает логический ребенка сегмент похожи на реальных физических ребенка сегмента. Это также известно как виртуальный логический ребенка сегмента.

Типы логических связей

DBA создает логические отношения между сегментами. Для реализации логической связи, DBA, укажите его в DBDGENs для заинтересованных физических баз данных. Существует три типа логических связей:

• Однонаправленный
• Двунаправленный виртуальные
• Двунаправленный физической

Однонаправленный

Логические связи выходит из логического ребенка к логической родителей и не может иначе.

Двунаправленный виртуальные

Она позволяет получить доступ в обоих направлениях. Логические ребенка в его физической структуры и соответствующих виртуальных логических ребенка можно рассматривать как парных сегментов.

Двунаправленный физической

Логические ребенок физически храниться подчиненных как его физического и логического родителей. Для прикладных программ, представляется таким же образом, как двунаправленный виртуальных логических ребенка.

Программирование соображения

Программирование для с помощью логической базы данных, следующим образом:

DL/I вызовы для доступа к базе данных по-прежнему остается то же и с логической базы данных.

Спецификация программы блока указывает, что структуры, которые мы используем в наших вызовов. В некоторых случаях, мы не можем определить, что мы с помощью логической базы данных.

Логические отношения добавить новое измерение для программирования баз данных.

Вы должны быть осторожны при работе с логической базы данных, как двух баз данных, интегрированный вместе. Если вы вносите изменения в одной базе данных, те же изменения должны быть отражены в другие базы данных.

Спецификации программы следует указать, какие обработки данных на базе данных. Если правило обработки нарушаются, вы получите пустым код состояния.

Сцепить этап заседаний высокого уровня

Логический сегмент детей начинается всегда с полной каскадных ключевые назначения родителей. Это известные в Destination Parent Concatenated Key (DPCK). Вам необходимо всегда кодекса DPCK в начале вашего сегмента I/O для логического ребенка. В логической базы данных, сцепленной рынка связи между сегментами, определены в различных физических баз данных. сцепленном сегмент состоит из следующих двух частей:

• Логические ребенка этап заседаний высокого уровня
• Пункт назначения родительского этап заседаний высокого уровня

Логический ребенка сегмент состоит из следующих двух частей:

• Destination Parent Concatenated Key (DPCK)
• Логические ребенка данных пользователя

Если мы будем работать вместе с каскадных сегментов во время обновления, можно добавить или изменить данные в логических ребенка и назначения родитель, с одного вызова. Это также зависит от правил в DBA для базы данных. Для вставки обеспечивают DPCK в правильном положении. Для заменить или удалить, не изменить DPCK или последовательность данных в полях либо части каскадных сегмента.

Булевыми функциями (или функциями алгебры логики или истинностными функциями) называются функции, значения которых равны 0 или 1 и аргументы которых принимают только два значения 0 и 1.

Булевы функции могут быть заданы специальными таблицами истин­ности или аналитически в виде специальных высказывательных форм, называемых иногда булевыми формами.

Выражения, содержащие одну или несколько переменных (аргумен­тов), соединенных знаками логических операций, называются логическим формами . Высказывания, не содержащие ни одной переменной, называются константами. В логике, в отличие от арифметики, только две константы 0 - false и 1- true.

Напомним, что форма называется числовой, если при допустимом зна­чении своих аргументов, она обозначает число (является числом). Булева форма является частным случаем числовой формы. Т.о. при помощи суперпозиции, исходя из логических операций над логическими переменными, можно строить сложные составные высказывания и затем вычислятьих. Такого рода составные высказывания являются частным случаем так называемых булевых функций, которые являются предметом изучения математической логики. Обобщая все сказанное, можно дать определение булевых функций:

Булевыми функциями, называются предикаты, все аргументы которых определены на множестве {0, 1}, интерпретируемые как {ложь, ис­тина}.

Можно сказать, что понятие булевой функции является частным случаем понятия предиката. Отличие состоит лишь в том, что у булевой функции четко фиксирована как область определения {0, 1}, так и область значений функции {0, 1}, в то время как у предиката четко фиксирована только одна область значений {0, 1}, в то время как область определения задана произвольным множеством.

В свою очередь понятие предиката является частным случаем понятия функции, отличие состоит в том, что у предиката четко фиксирована область значений {0, 1}, а у функции это может быть вся числовая ось.

2.4 Основные логические связи.

Будем называть высказывание простым (элементарным), если оно рассматривается нами как некое неделимое целое (аналогично атому или элементу множества). Обычно к ним относят высказывания, не содержащие логических связок.Сложным (составным) называетсявысказывание, составленное из про­стых с помощьюлогических связок.

В естественном языке (при вербальном описании явле­ния) роль связок при составлении сложных предложений из простых играют грамматические средства: со­юзы "и", "или", "не"; слова "если..., то", "либо... либо" (в разделительном смысле), "тогда и только тогда, когда" и др. В логике высказываний логические связки, используемые для составления сложных высказываний, обязаны быть опреде­ленными точно. Рассмотрим основные логические связки.

Отрицание (логическая связь "не")

Записывается Р=Ā или в виде P= ¬A (Читается "Р есть не А"). Отрицанием называется сложное логическое высказывание Р, которое истинно, если А ложно и наоборот. Эта логическая связь может быть проиллюстрирована табл. 3.1, в которой показаны значения истинности сложного высказывания Р в зависимости от значения истинности составляющего его простого высказывания А. Логический элемент «не» в схемах управления часто называется таблица 2.1 схемах управления, часто называетсяинвертором. Условное обозначение инвертора показано на рис. 2.1. Также ниже (рис. 2.2) приведена диаграмма Венна.

Табл. 2. 1

Рис. 2.1 Условное обозначение инвертора

Рис. 2.2

Рис. 2.3 Диаграмма Венна (отрицание)

Отрицание является простейшей логической операцией и единственной логической операцией, выполняемой над одним аргументом.

Заметим, что последовательное выполнение двух операций отрицания Ā приводит к исходному значению А.

Билет № 8

1. Основные понятия и операции формальной логики. Законы логики. Логические переменные. Логические выражения и их преобразования. Построение таблиц истинности логических выражений

Алгебра логики - раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые с точки зрения их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Под логическим высказыванием понимается любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, логическим высказыванием будет “Земля - третья планета от Солнца”, но не является таковым “Довольно морозная в этом году зима”.

Чаще на практике приходится иметь дело с высказывательными формами - повествовательными предложениями, прямо или косвенно содержащими переменные; высказывательная форма становится логическим высказыванием, если значения всех переменных, входящих в нее, заданы. Например, высказывательная форма “x кратно 5” при x = 34 ложна, а при x = 105 - истинна. В языках программирования высказывательные формы записываются в виде логических выражений.

Буквы, обозначающие переменные высказывания, называются высказывательными переменными (логическими переменными ).

Простые логические высказывания могут быть объединены в более сложные - составные - с использованием логических операций . Основными логическими операциями являются НЕ (отрицание, или инверсия), И (конъюнкция, или логическое умножение), ИЛИ (дизъюнкция, или логическое сложение).

Рассмотрим более подробно логические операции.

Если для арифметических операций используются таблицы сложения и умножения, задающие правила выполнения этих операций для цифр системы счисления и которые в дальнейшем используются при выполнении сложения и вычитания, умножения и деления соответственно, так и для логических операций строят аналогичные таблицы, называя их таблицами истинности .

Операция инверсии (отрицания) выполняется над одним операндом (так в математике называются величины, над которыми выполняют ту или иную операцию). Общее правило, заложенное в построение таблицы истинности для этой операции, звучит так: отрицание изменяет значение операнда на противоположное .

Обозначение операции: A , .

Операция дизъюнкции выполняется над двумя операндами. Общее правило, заложенное в построение таблицы истинности для этой операции, звучит так: дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда ложны оба операнда

В литературе операцию дизъюнкции обозначают по-разному: ИЛИ , . В языках программирования также имеется эта операция. В Pascal и Вasic она обозначается OR , в С/C++, JavaScript - || , и т.д.

Логическим сложением эту операцию называют по той причине, что если заменить значение истина на 1, а ложь - на 0, то таблица истинности в определенной мере будет соответствовать таблице сложения в двоичной системе счисления. В действительности роль дизъюнкции в алгебре логики аналогична роли операции сложения в арифметике.

Операция конъюнкции выполняется над двумя операндами. Общее правило, заложенное в построение таблицы истинности для этой операции, звучит так: конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба операнда . В таблице истинности перечисляются все возможные сочетания значений операндов и соответствующие значения операции.

В литературе операцию конъюнкции обозначают по-разному: И , , & (достаточно часто в записи выражений знак конъюнкции пропускают по аналогии со знаком умножения в записи алгебраических выражений). В языках программирования также присутствует эта операция. В Pascal и Basic она обозначается AND , в С/C++, JavaScript - && , и т.д.

Логическим же умножением эту операцию называют по той причине, что если заменить значение истина на 1, а ложь - на 0, то таблица истинности будет соответствовать таблице умножения в двоичной системе счисления.

Операция следования (импликации) выполняется над двумя операндами. Общее правило, заложенное в построение таблицы истинности для этой операции, звучит так: импликация ложна, если из истины следует ложь, и истинна во всех остальных случаях . В таблице истинности перечисляются все возможные сочетания значений операндов и соответствующие значения операции (обозначается импликация обычно ).

Операция эквивалентности (эквиваленции) выполняется над двумя операндами. Общее правило, заложенное в построение таблицы истинности для этой операции, звучит так: эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда оба операнда принимают одинаковые значения . В таблице истинности перечисляются все возможные сочетания значений операндов и соответствующие значения операции (обозначается эквиваленция обычно ).

Свойства логических операций (или законы логики ; знак “” обозначает “эквивалентно”, “тождественно истинно”):

Логические выражения определяют порядок вычисления логического значения. Путем преобразования исходных логических выражений с использованием законов логики можно получать равносильные им более простые выражения. В общем случае равносильность логических выражений определяется совпадением таблиц истинности для этих выражений.

Пример 1. Упростить выражение и убедиться, что результат равносилен исходному выражению.

(в записи выражения знак конъюнкции пропущен).

Преобразование выполним последовательно.

Рассмотрим вторую скобку: . По закону поглощения получаем Y .

В третьей скобке используем закон де Моргана: .

Таким образом, получили . Используя законы коммутативный, противоречия, а также правило , приходим к выводу, что выражение .

Таким образом, .

Предлагаем читателю самостоятельно, с помощью составления таблиц истинности для исходного и конечного выражений, убедиться в их равносильности.

Пример 2. Доказать, что выражение является тавтологией 1 .

Проведем доказательство путем упрощения исходного выражения.

Проведем доказательство путем составления таблицы истинности для данного выражения:

Таким образом, вновь получаем тот же результат: выражение является тавтологией.

Литература

1. Шауцукова Л.З. Информатика: Учебное пособие для 10–11-х классов общеобразовательных учреждений. 2-е изд., дораб. М.: Просвещение, 2002, 416 с.

2. Андреева Е.В. Математические основы информатики. Элективный курс: Учебное пособие / Е.В. Андреева, Л.Л. Босова, И.Н. Фалина. М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2005, 328 с.

3. Семакин И., Залогова Л., Русаков С., Шестакова Л. Информатика: учебник по базовому курсу. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1998.

4. Угринович Н. Информатика и информационные технологии. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений. М.: БИНОМ, 2001, 464 с. (Введение в информатику, с. 13–16.)

1 Тавтология - тождественно истинное выражение.

2. С помощью электронной таблицы вычислить значение функции, заданной рекуррентным соотношением

Пример. Получить в электронной таблице первые 15 значений функции n !

Решение. Зададим факториал рекуррентным соотношением: an = an -1 n , a 1 = 1

Пусть столбец A хранит значения n , а столбец
B - n !. Тогда в ячейки A2:A16 занесем значения n от 1 до 15. В ячейку B2 поместим значение 1, а в ячейке B3 запишем формулу =B2 * A3, выражающую записанное рекуррентное соотношение; далее скопируем эту формулу во все последующие ячейки столбца и получим требуемый результат.

Варианты заданий

Получить в электронной таблице первые k значений последовательности (k задается учителем).

.

.3. Представить на языке программирования вычислительный алгоритм, записанный в виде блок-схемы. (Получить результат в виде значения переменной.)

Пример. Написать программу, исполняющую алгоритм, записанный в виде нижеприведенной блок-схемы. Распечатать значение переменной с .

Решение.

While B <> 11

PRINT C

Var b, c: longint;

While B <> 11 do

End.

#include

{ C = C + B * C;

Результат вычислений: 39 916 800.

Варианты заданий

Написать программу, исполняющую алгоритм, записанный в виде одной из нижеприведенных блок-схем. Выполнить указанное задание.

1. Вывести значение переменной K для n = 12 981.

2. Вывести значение переменной P при k = 5.

3. Вывести значение переменной K для n = 12 981.

4. Какое количество членов ряда будет просуммировано при e = 10–2?

.

Билет № 9

1. Логические элементы и схемы. Типовые логические устройства компьютера: полусумматор, сумматор, триггеры, регистры. Описание архитектуры компьютера с опорой на составляющие ее логические устройства

Обсудив в билете № 8 теоретические аспекты логических функций, сегодня мы поговорим об их практической реализации в виде логических элементов. Следует особо подчеркнуть, что в настоящее время основу всех компьютерных устройств (включая даже встроенные в бытовую технику!) составляют двоичные электронные логические элементы 1 . Поэтому понимание базовых идей их функционирования для представления об общей логике работы компьютера весьма полезно.

Может показаться, что для реализации всевозможных логических функций требуется большое разнообразие логических элементов. Как ни удивительно, но это не так. Из теории логических функций следует, что достаточно их очень небольшого базового набора, чтобы с помощью различных комбинаций, его составляющих, можно было получить абсолютно произвольную функцию, сколь бы сложной она не была. Следовательно, и количество базовых логических элементов, которые соответствуют данным функциям, к счастью, невелико. Базисный набор может быть сформирован различными способами, но, как правило, используется классическая “тройка” логических операций И, ИЛИ, НЕ. Именно эта “тройка” применяется в книгах по логике, а также во всех языках программирования - от машинных кодов до языков высокого уровня. Обозначения логических элементов 2 , реализующих соответствующие операции, приведены на рис. 1a–b .

Рис . 1. Обозначения основных логических элементов

Внутренняя схема логического элемента может быть различной, более того, она может существенно совершенствоваться по мере развития технологий производства, но логические функции всегда остаются неизменными.

Часто для удобства синтеза логических схем к перечисленному списку добавляют еще элемент “исключающее ИЛИ” (рис. 1г ), который позволяет сравнивать двоичные коды на совпадение. Данная операция имеет и другие практически полезные свойства, в частности, восстанавливает исходные данные в случае повторного применения, что удобно использовать для временного наложения видеоизображений.

Тем не менее классический базис не является единственным. Более того, для практической реализации логических схем инженеры предпочитают альтернативный вариант - на базе единственного комбинированного логического элемента И-НЕ (рис. 1д ). Читатели, которые заинтересовались данным вопросом, могут обратиться к книге Р.Токхейма или аналогичной, где показано, как из элементов И-НЕ можно построить все остальные примитивы классического базиса.

Отметим, что на практике логические элементы могут иметь не только два, но и значительно большее количество входов (для примера см. рис. 4 на с. 24).

Первоначально тезис о построении любых логических устройств на основе некоторого простого базиса был технически реализован “один к одному”: были разработаны и выпускались интегральные микросхемы (ИМС), соответствующие основным логическим действиям. Потребитель, комбинируя имеющиеся в его распоряжении элементы, мог получить схему с реализацией любой необходимой логики. Довольно быстро стало ясно, что подобное “строительство здания из отдельных кирпичиков” слишком трудоемко и не может удовлетворить постоянно растущие практические потребности. Промышленность увеличила степень интеграции микросхем и начала выпускать более сложные типовые узлы: триггеры, регистры, счетчики, дешифраторы, сумматоры и т.д. (продолжая аналогию со строительством, этот шаг, видимо, следует уподобить панельному способу домостроения). Новые микросхемы давали возможность реализовывать еще более сложные электронные логические устройства, но зато ассортимент выпускаемых микросхем расширился. Поскольку человечеству свойственно не останавливаться на достигнутом, рост возможностей породил новые потребности. Необходимым образом последовал переход к большим интегральным схемам (БИС), представлявшим собой функционально законченные узлы, а не отдельные компоненты для их создания (как тут не вспомнить блочный метод постройки здания из готовых комнат). Наконец, дальнейшая эволюция технологий производства ИМС привела к настолько высокой степени интеграции, что в одной БИС содержалось функционально законченное изделие: часы, калькулятор, небольшая специализированная ЭВМ.

Примечание. Немногие, вероятно, знают, что появление первых микропроцессоров было связано вовсе не с попытками воспроизвести ЭВМ в одном кристалле: действительной причиной явилось стремление существенно ограничить ассортимент логических микросхем, повышая их универсальность и, как следствие, понижая стоимость за счет резкого роста объемов производства. Весьма поучительная история о замене дюжины специализированных микросхем одной программируемой, что, собственно, и привело к созданию инженером М.Хоффом первого микропроцессора Intel 4004, рассказывается в книге
А.П. Частикова .

Если мы посмотрим на внутреннее устройство типичного современного компьютера, то увидим там ИМС очень высокого уровня интеграции: микропроцессор, модули ОЗУ, контроллеры внешних устройств и др. Фактически каждая микросхема или небольшая группа микросхем 3 образует функционально законченный блок. Уровень сложности блока таков, что разобраться в его внутреннем устройстве для неспециалиста не то чтобы нецелесообразно, а просто невозможно. К тому же выпускаемые промышленностью ИМС постоянно совершенствуются и усложняются. В результате оказывается, что для понимания наиболее общих принципов работы современной ЭВМ удобнее и правильнее рассмотреть несколько типовых узлов, а изучение поведения отдельных БИС заменить изучением функциональной схемы компьютера.

В качестве характерных цифровых устройств мы выберем два наиболее важных и интересных - сумматор и триггер . Первое из них замечательно тем, что составляет основу арифметико-логического устройства процессора, а второе, будучи универсальным устройством для хранения одного бита информации, имеет еще более широкое применение - от регистров процессора до элементов памяти. Дополнительно подчеркнем, что выбранные логические схемы принадлежат к разным типам. Выходные сигналы сумматора определяются исключительно установившимися на входе напряжениями и никак не зависят от поступавших ранее сигналов (в литературе такие схемы часто называют комбинационными ). Состояние триггера, напротив, зависит от предыстории, т.е. схема имеет память.

Перейдем к описанию логической схемы сумматора . Для простоты ограничимся изучением работы отдельного двоичного разряда. В этом случае сумматор будет содержать три входа - бит первого слагаемого А , второго - В и перенос из предыдущего разряда Ci (обозначение происходит от английских слов Carry in - входной перенос). Тем, для кого термин перенос звучит незнакомо, уместно вспомнить, что означает словосочетание “ноль пишем один в уме”, которое они часто повторяли про себя, суммируя в младших классах числа на листке бумаги.

Таблица истинности для полного одноразрядного сумматора имеет вид:

Особых комментариев к этой таблице не требуется. Может быть, только стоит напомнить тот факт, что 1 + 1 = 0 и 1 “в уме” (т.е. на выходе C o, что расшифровывается как Carry out , т.е. выходной перенос), поскольку все действия выполняются в двоичной системе.

Построить сразу полный сумматор - задача для начинающего непростая. Она еще более усложняется, если при этом требуется использовать логические элементы из реально существующего ассортимента интегральных микросхем. Вариант схемы сумматора, приведенный, например, в книгах и , состоит из 9 логических элементов. Минимизированная схема, полученная в , построена на базе 6 классических элементов. К счастью, для понимания принципов работы суммирующих схем ЭВМ существует еще более простое решение, если воспользоваться логическими элементами “исключающее ИЛИ” .

При построении схемы удобно сумматор представить в виде двух полусумматоров , из которых первый складывает разряды А и В , а второй к полученному результату прибавляет бит переноса из предыдущего разряда Ci .

Таблица истинности для полусумматора значительно упрощается:

Теперь мысленно объединим в приведенной таблице столбцы A , B и C o. Что напоминает вам полученная таблица? Конечно же базовый логический элемент И! Аналогично, сравнив первые три столбца A , B и S с таблицей истинности для элемента “исключающее ИЛИ”, можно убедиться, что они совпадут (рекомендуем читателям самостоятельно убедиться в этом, а также проверить тот факт, что сумма S равна 1 только в случае несовпадения исходных битов). Таким образом, для реализации полусумматора достаточно соединить параллельно входы двух логических элементов (см. рис. 2a )!

Рис. 2. Простейшая реализация сумматора

Заметим, что для суммирования младшего разряда одного полусумматора уже достаточно, т.к. в этом случае сигнал входного переноса отсутствует. А если соединить два полусумматора, как показано на рис. 2б , то получится полный сумматор, способный осуществить сложение одного бита чисел с учетом возможности переноса.

Перейти к многоразрядным числам можно, например, путем последовательного соединения соответствующего количества сумматоров. Мы не будем обсуждать возникающие при этом детали, связанные с необходимостью ускорения процесса переноса в такой схеме; думается, мы уже изучили вполне достаточно, чтобы иметь некоторое представление о том, как компьютер производит свои вычисления.

Стоит особо подчеркнуть, что сумматор играет важную роль в реализации не только сложения, но и других арифметических действий. Например, вычитание обычно заменяется сложением с дополнительным кодом вычитаемого, а алгоритм умножения “столбиком” легко сводится к комбинации сложений и сдвигов. Таким образом, сумматор необходимой разрядности фактически является основой арифметического устройства современного компьютера.

Рис. 3. Схема RS -триггера

Перейдем теперь к описанию работы триггера . Его схема приведена на рис. 3, а таблица истинности имеет следующий вид:

Как видно из рис. 3, триггер собран из четырех логических элементов И-НЕ, причем два из них играют вспомогательную роль инверторов входных сигналов. Триггер имеет два входа, обозначенные на схеме R и S , а также два выхода, помеченные буквой Q , - прямой и инверсный (черта над Q у инверсного выхода означает отрицание). Триггер устроен таким образом, что на прямом и инверсном выходах сигналы всегда противоположны.

Как работает триггер? Пусть на входе R установлена 1, а на S - 0. Логические элементы D 1 и D 2 инвертируют эти сигналы, т.е. меняют их значения на противоположные; в результате на вход элемента D 3 поступает 1, а на D 4 - 0. Поскольку на одном из входов D 4 имеется 0, независимо от состояния другого входа на его выходе (он же является инверсным выходом триггера!) обязательно установится 1. Эта единица передается на вход элемента D 3 и в сочетании с 1 на другом входе порождает на выходе D 3 логический 0. Итак, при R = 1 и S = 0 на прямом выходе триггера устанавливается 0, а на инверсном - 1.

Обозначение состояния триггера по договоренности связывается с прямым выходом. Тогда при описанной выше комбинации входных сигналов результирующее состояние можно условно назвать нулевым: говорят, что триггер устанавливается в 0 или сбрасывается . Сброс по-английски называется Reset , отсюда вход, появление сигнала на котором приводит к сбросу триггера, принято обозначать буквой R .

Проведите аналогичные рассуждения для “симметричного” случая R = 0 и S = 1. Вы увидите, что теперь, наоборот, на прямом выходе получится логическая 1, а на инверсном - 0. Триггер перейдет в единичное состояние - установится (установка по-английски Set ).

Далее рассмотрим наиболее распространенную и интересную ситуацию R = 0 и S = 0, когда входных сигналов нет. Тогда на входы элементов D 3 и D 4, связанные с R и S , будет подана 1, и их выходной сигнал будет зависеть от напряжения на других входах. Нетрудно убедиться, что такое состояние будет устойчивым. Пусть, например, на прямом выходе была 1. Тогда наличие единиц на обоих входах элемента D 4 “подтверждает” нулевой сигнал на его выходе. В свою очередь, наличие 0 на инверсном выходе передается на D 3 и поддерживает его выходное единичное состояние. Аналогично доказывается устойчивость картины и для противоположного состояния триггера, когда Q = 0.

Таким образом, при отсутствии входных сигналов триггер сохраняет свое “предыдущее” состояние. Иными словами, если на вход R подать 1, а затем убрать, триггер установится в нулевое состояние и будет его сохранять, пока не поступит сигнал на другой вход S . В последнем случае он перебросится в единичное состояние и после прекращения действия входного сигнала будет сохранять на прямом выходе 1. Мы видим, что триггер обладает замечательным свойством: после снятия входных сигналов он сохраняет свое состояние, а значит, может служить устройством для хранения одного бита информации.

В заключение проанализируем последнюю комбинацию входных сигналов R = 1 и S = 1. Нетрудно убедиться (проделайте необходимые рассуждения самостоятельно), что в этом случае на обоих выходах триггера установится 1! Такое состояние, помимо своей логической абсурдности, еще и является неустойчивым: после снятия входных сигналов триггер случайным образом перейдет в одно из своих устойчивых состояний. Вследствие этого комбинация R = 1 и S = 1 на практике не используется и является запрещенной.

Мы рассмотрели простейший RS -триггер. Существуют и другие разновидности этого интересного и полезного устройства. Все они различаются не столько принципом работы, сколько входной логикой, усложняющей “поведение” триггера.

Подобно тому, как объединяются для обработки двоичных чисел однобитовые схемы сумматоров, для хранения многоразрядных данных триггеры объединяются в единый блок, называемый регистром . Над регистром, как над единым целым, можно производить ряд стандартных операций: сбрасывать (обнулять), заносить в него код и некоторые другие. Причем часто регистры способны не просто хранить информацию, но и обрабатывать ее. Типичными примерами такого типа могут служить регистр, который способен сдвигать находящийся в нем двоичный код, или регистр, подсчитывающий количество поступающих импульсов, - счетчик.

С выходов триггеров регистра сигналы могут поступать на другие цифровые устройства. Особый интерес с точки зрения принципов функционирования компьютера представляет схема анализа равенства (или неравенства) регистра нулю, которая позволяет организовать по этому признаку условный переход. Для n -разрядного двоичного регистра потребуется n -входовый элемент И 4 (см. рис. 4), сигналы для которого удобнее снимать с инверсных выходов триггеров. Фактически такая схема анализа выполняет комбинированную логическую операцию НЕ-И.

Рис. 4. Схема анализа состояния регистра

В самом деле, пусть содержимое всех битов регистра равно 0. Тогда на вход элемента И с инверсных выходов триггеров поступают все 1 и результат z = 1. Если же хотя бы один из разрядов отличен от 0, то с его инверсного выхода снимается 0 и этого, как известно, уже достаточно, чтобы получить выходной сигнал z = 0 независимо от состояния всех остальных входов элемента И.

Таким образом, изображенная на рис. 4 логическая схема вырабатывает управляющий сигнал равенства результата 0, что может использоваться, например, для организации ветвления по соответствующему условию. Кстати, переход по знаку числа реализовать еще проще - достаточно проанализировать состояние знакового (обычно старшего) разряда: если он установлен в 1, то регистр содержит отрицательное число .

Наличие управляющих признаков, устанавливаемых в зависимости от полученного результата операции, является неотъемлемым свойством процессоров. Оно необходимо для организации выполнения инструкций ветвления и цикла 5 .

Триггеры очень широко применяются в компьютерной технике. Помимо уже описанного применения в составе разнообразных регистров, на их основе могут еще изготовляться быстродействующие ИМС статического ОЗУ (в том числе кэш-память). Так что в состав любого микропроцессора входит множество триггеров, выполняющих самые разнообразные функции.

Мы с вами изучили только два из многочисленных устройств вычислительной техники - сумматор и регистры. Казалось бы, много ли можно понять, зная всего два этих устройства? Оказывается, не так уж и мало. Можно, например, весьма успешно попытаться представить себе, как строится арифметическое устройство процессора. В самом деле, подумаем, каким образом можно спроектировать схему для реализации сложения двух чисел. Очевидно, что для хранения исходных чисел потребуется два триггерных регистра. Их выходы подадим на входы сумматора, так что на выходах последнего сформируются сигналы, соответствующие двоичному коду суммы. Для фиксации (запоминания) результирующего числа потребуется еще один регистр, который можно снабдить описанными выше схемами формирования управляющих признаков. Наша картина получается настолько естественной и реалистичной, что мы можем найти ее в наиболее подробной учебной литературе в качестве основы устройства простых учебных моделей компьютера. В частности, очень похоже выглядит описание внутреннего устройства процессора учебного компьютера “Нейман”, которое дано в книгах 6 .

Подводя итоги, подчеркнем, что в процессе рассмотрения материала билета мы прошли путь от изучения простейшего единичного логического элемента до понимания наиболее общих идей построения весьма крупных узлов ЭВМ, таких, как арифметическое устройство. Следующий уровень знакомства с логикой работы компьютера - на уровне функциональных устройств (процессор, память и устройства ввода/вывода), будет подробно изложен в билете № 12 .

Примечание. Очевидно, что материал, который включается в экзаменационные билеты, имеет существенную значимость для изучаемого учебного предмета. В связи с этим автору данных строк особо хотелось бы подчеркнуть важность темы с точки зрения формирования у учеников некоторого единого представления об устройстве компьютера. Мировоззрение складывается не только (а может, даже и не столько) в ходе рассуждений “о высоких материях”, но и в результате создания некоторой единой связной картины изучаемого материала. Очень важно, чтобы темы отдельных уроков не казались независимыми, выбранными по странной прихоти какого-то неведомого теоретика. В этом смысле значение вопроса, соединяющего отдельные логические элементы с узлами реального вычислительного устройства, трудно переоценить. Иными словами, ценность материала заключается в том, что он “перекидывает мостик” между разрозненными абстрактными знаниями о логических элементах и архитектурой реального компьютера. В школьной практике это служит надежным средством борьбы с традиционным “Зачем все это нужно?”.

Литература

1. Ямпольский В.С. Основы автоматики и электронно-вычислительной техники: Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов. М.: Просвещение, 1991, 223 с.

2. Токхейм Р. Основы цифровой электроники. М.: Мир, 1988, 392.

3. Частиков А.П. История компьютера. М.: Информатика и образование, 1996, 128 с.

4. Касаткин В.Н. Информация, алгоритмы, ЭВМ: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1991, 192 с.

5. Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики. Элективный курс. М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2005, 328 с.

6. Акулов О.А., Медведев Н.В. Информатика: базовый курс: Учебное пособие для студентов вузов. М.: Омега-Л, 2005, 552 с.

7. Кушниренко А.Г., Лебедев Г.В., Зайдельман Я.Н. Информатика, 7–9-е классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. М.: Дрофа, 2000, 336 с.

8. Основы информатики и вычислительной техники в базовой школе / Л.А. Залогова, С.В. Русаков, И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер, Л.В. Шестакова; под ред. И.Г. Семакина. Пермь, 1995.

9. Семакин И.Г. Информатика. Беседы об информации, компьютерах и программах: Книга для учащихся 8–9-х классов. Часть 2. Пермь: Изд-во Пермского университета, 1997, 168 с.

10. Информатика в понятиях и терминах: Книга для учащихся старших классов средней школы /
Г.А. Бордовский, В.А. Извозчиков, Ю.В. Исаев,
В.В. Морозов. Под ред. В.А. Извозчикова. М.: Просвещение, 1991, 208 с.

11. Шауцукова Л.З. Информатика: Учебное пособие для 10–11-х классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2003, 416 с.

2. С помощью электронной таблицы построить график функции

Пример. С помощью электронной таблицы построить график функции

1) Необходимо протабулировать функцию (вычислить ее значения) на заданном отрезке. Табулирование будем осуществлять с шагом 0,1.

2) С помощью мастера диаграмм выполнить построение графика.

Результат представлен на рисунке.

Варианты заданий

С помощью электронной таблицы построить график функции y

3 Часто используется термин чипсет - набор чипов, т.е. микросхем.

4 Если n велико, то стандартных ИМС с таким количеством входов может не быть и схема, выполняемая на базе отдельных ИМС, усложнится; в то же время при проектировании БИС количество разрядов принципиального значения не имеет.

5 Важно понимать, что наличие в системе команд процессора специальных инструкций цикла вовсе не обязательно.

6 К сожалению, в учебник по базовому курсу авторы этот материал не включили.