Úhel mezi dvěma vektory, :

Jestliže úhel mezi dvěma vektory je ostrý, pak jejich bodový součin je kladný; pokud je úhel mezi vektory tupý, pak je skalární součin těchto vektorů záporný. Skalární součin dvou nenulových vektorů je nulový právě tehdy, když jsou tyto vektory ortogonální.

Cvičení. Najděte úhel mezi vektory a

Řešení. Kosinus požadovaného úhlu

16. Výpočet úhlu mezi přímkami, přímkou ​​a rovinou

Úhel mezi přímkou ​​a rovinou protíná tuto přímku a není k ní kolmá, je úhel mezi přímkou ​​a jejím průmětem do této roviny.

Určení úhlu mezi přímkou ​​a rovinou nám umožňuje dojít k závěru, že úhel mezi přímkou ​​a rovinou je úhel mezi dvěma protínajícími se přímkami: přímkou ​​samotnou a jejím průmětem do roviny. Proto je úhel mezi přímkou ​​a rovinou ostrý.

Úhel mezi kolmicí a rovinou se považuje za stejný a úhel mezi rovnoběžkou a rovinou buď není určen vůbec, nebo se považuje za rovný .

§ 69. Výpočet úhlu mezi přímkami.

Úloha výpočtu úhlu mezi dvěma přímkami v prostoru se řeší stejně jako v rovině (§ 32). Označme φ úhel mezi úsečkami l 1 a l 2 a skrz ψ - úhel mezi směrovými vektory A a b tyto rovné čáry.

Pak kdyby

ψ 90° (obr. 206.6), pak φ = 180° - ψ. Je zřejmé, že v obou případech platí rovnost cos φ = |cos ψ|. Podle vzorce (1) § 20 máme

Tudíž,

Nechť jsou přímky dány jejich kanonickými rovnicemi

Potom se pomocí vzorce určí úhel φ mezi přímkami

Pokud je jedna z přímek (nebo obě) dána nekanonickými rovnicemi, pak pro výpočet úhlu musíte najít souřadnice směrových vektorů těchto přímek a poté použít vzorec (1).

17. Rovnoběžky, Věty o rovnoběžkách

Definice. Nazývají se dvě přímky v rovině paralelní pokud nemají společné body.

Nazývají se dvě čáry ve třech rozměrech paralelní pokud leží ve stejné rovině a nemají žádné společné body.

Úhel mezi dvěma vektory.

Z definice bodového produktu:

.

Podmínka ortogonality dvou vektorů:

Podmínka kolinearity pro dva vektory:

.

Vyplývá z definice 5 - . Z definice součinu vektoru číslem to skutečně vyplývá. Proto na základě pravidla vektorové rovnosti píšeme , , , což implikuje . Ale vektor vyplývající z násobení vektoru číslem je kolineární s vektorem.

Projekce vektor-vektor:

.

Příklad 4. Dané body , , , .

Najděte skalární součin.

Řešení. najdeme podle vzorce skalární součin vektorů daný jejich souřadnicemi. Protože

, ,

Příklad 5 Dané body , , , .

Najděte projekci.

Řešení. Protože

, ,

Na základě projekčního vzorce máme

.

Příklad 6 Dané body , , , .

Najděte úhel mezi vektory a .

Řešení. Všimněte si, že vektory

, ,

nejsou kolineární, protože jejich souřadnice nejsou proporcionální:

.

Tyto vektory také nejsou kolmé, protože jejich bodový součin je .

Pojďme najít,

Roh najdi ze vzorce:

.

Příklad 7 Určete pro jaké vektory a kolineární.

Řešení. V případě kolinearity odpovídající souřadnice vektorů a musí být proporcionální, tj.

.

Odtud a .

Příklad 8. Určete, při jaké hodnotě vektoru a jsou kolmé.

Řešení. Vektor a jsou kolmé, pokud je jejich bodový součin nula. Z této podmínky dostáváme: . To znamená, .

Příklad 9. Nalézt , pokud , , .

Řešení. Vzhledem k vlastnostem skalárního součinu máme:

Příklad 10. Najděte úhel mezi vektory a , kde a - jednotkové vektory a úhel mezi vektory a je roven 120o.

Řešení. My máme: , ,

Nakonec máme: .

5 B. vektorový produkt.

Definice 21.vektorové umění vektor k vektoru se nazývá vektor nebo , definovaný následujícími třemi podmínkami:

1) Modul vektoru je , kde je úhel mezi vektory a , tzn. .

Z toho vyplývá, že modul vektorového součinu je numerický rovná ploše rovnoběžník postavený na vektorech a jako na stranách.

2) Vektor je kolmý na každý z vektorů a ( ; ), tzn. kolmá k rovině rovnoběžníku postaveného na vektorech a .

3) Vektor je nasměrován tak, že při pohledu od jeho konce by nejkratší obrat od vektoru k vektoru byl proti směru hodinových ručiček (vektory , , tvoří pravou trojici).

Jak vypočítat úhly mezi vektory?

Při studiu geometrie vyvstává mnoho otázek na téma vektorů. Žák má zvláštní potíže, když je potřeba najít úhly mezi vektory.

Základní pojmy

Před zvažováním úhlů mezi vektory je nutné se seznámit s definicí vektoru a pojmem úhlu mezi vektory.

Vektor je segment, který má směr, tedy segment, pro který je definován jeho začátek a konec.

Úhel mezi dvěma vektory v rovině, které mají společný počátek, je menší z úhlů, o které je nutné posunout jeden z vektorů kolem společného bodu do polohy, kde se jejich směry shodují.

Vzorec řešení

Jakmile pochopíte, co je vektor a jak se určuje jeho úhel, můžete vypočítat úhel mezi vektory. Vzorec řešení je poměrně jednoduchý a výsledkem jeho aplikace bude hodnota kosinusu úhlu. Podle definice se rovná podílu skalárního součinu vektorů a součinu jejich délek.

Skalární součin vektorů je uvažován jako součet odpovídajících souřadnic multiplikačních vektorů vynásobených navzájem. Délka vektoru nebo jeho modul se vypočítá jako druhá odmocnina součtu druhých mocnin jeho souřadnic.

Po obdržení hodnoty kosinusu úhlu můžete vypočítat hodnotu samotného úhlu pomocí kalkulačky nebo pomocí trigonometrické tabulky.

Příklad

Poté, co zjistíte, jak vypočítat úhel mezi vektory, bude řešení odpovídajícího problému jednoduché a přímočaré. Jako příklad uvažujme jednoduchý problém nalezení velikosti úhlu.

V první řadě bude pohodlnější vypočítat hodnoty délek vektorů a jejich skalární součin potřebný k řešení. Pomocí výše uvedeného popisu dostaneme:

Nahrazením získaných hodnot do vzorce vypočítáme hodnotu kosinusu požadovaného úhlu:

Toto číslo není jednou z pěti běžných kosinusových hodnot, takže pro získání hodnoty úhlu budete muset použít kalkulačku nebo Bradisovu trigonometrickou tabulku. Než však získáte úhel mezi vektory, vzorec lze zjednodušit, abyste se zbavili dalšího záporného znaménka:

Konečná odpověď může být ponechána v této podobě pro zachování přesnosti, nebo můžete vypočítat hodnotu úhlu ve stupních. Podle Bradisovy tabulky bude jeho hodnota přibližně 116 stupňů a 70 minut a kalkulačka ukáže hodnotu 116,57 stupně.

Výpočet úhlu v n-rozměrném prostoru

Při uvažování dvou vektorů v trojrozměrném prostoru je mnohem obtížnější pochopit, o kterém úhlu mluvíme, pokud neleží ve stejné rovině. Pro zjednodušení vnímání můžete nakreslit dva protínající se segmenty, které mezi sebou svírají nejmenší úhel, a bude to ten požadovaný. Navzdory přítomnosti třetí souřadnice ve vektoru se proces výpočtu úhlů mezi vektory nezmění. Vypočtěte skalární součin a moduly vektorů, arkosinus jejich kvocientu a bude odpovědí na tento problém.

V geometrii se často vyskytují problémy s prostory, které mají více než tři rozměry. Ale pro ně vypadá algoritmus pro nalezení odpovědi podobně.

Rozdíl mezi 0 a 180 stupni

Jednou z běžných chyb při psaní odpovědi na problém určený k výpočtu úhlu mezi vektory je rozhodnutí napsat, že vektory jsou rovnoběžné, to znamená, že požadovaný úhel se ukázal být 0 nebo 180 stupňů. Tato odpověď je nesprávná.

Po obdržení hodnoty úhlu 0 stupňů jako výsledek řešení by správnou odpovědí bylo označit vektory jako ko-směrové, to znamená, že vektory budou mít stejný směr. V případě získání 180 stupňů budou mít vektory povahu opačných směrů.

Specifické vektory

Nalezením úhlů mezi vektory lze nalézt jeden ze speciálních typů, kromě výše popsaných spoluřízených a opačně směrovaných.

• Několik vektorů rovnoběžných s jednou rovinou se nazývá koplanární.
• Vektory, které mají stejnou délku a směr, se nazývají rovné.
• Vektory, které leží na stejné přímce bez ohledu na směr, se nazývají kolineární.
• Pokud je délka vektoru nulová, tedy jeho začátek a konec se shodují, pak se nazývá nula, a pokud je jedna, pak se nazývá jedna.

Jak zjistit úhel mezi vektory?

Pomozte mi, prosím! Znám vzorec, ale nemůžu na to přijít
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexandr Titov

Úhel mezi vektory daný jejich souřadnicemi se zjistí podle standardního algoritmu. Nejprve musíte najít skalární součin vektorů a a b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Dosadíme zde souřadnice těchto vektorů a uvažujeme:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Dále určíme délky každého z vektorů. Délka nebo modul vektoru je druhá odmocnina součtu druhých mocnin jeho souřadnic:
|a| = odmocnina z (x1^2 + y1^2 + z1^2) = odmocnina z (8^2 + 10^2 + 4^2) = odmocnina z (64 + 100 + 16) = odmocnina z 180 = 6 odmocnin z 5
|b| = druhá odmocnina z (x2^2 + y2^2 + z2^2) = druhá odmocnina z (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = druhá odmocnina z (25 + 400 + 100 ) = druhá odmocnina z 525 = 5 odmocnin z 21.
Tyto délky vynásobíme. Dostaneme 30 kořenů ze 105.
A nakonec skalární součin vektorů vydělíme součinem délek těchto vektorů. Dostaneme -200 / (30 kořenů ze 105) popř
- (4 odmocniny ze 105) / 63. Toto je kosinus úhlu mezi vektory. A úhel samotný je roven arkuskosinusu tohoto čísla
f \u003d arccos (-4 kořeny ze 105) / 63.
Pokud jsem správně počítal.

Jak vypočítat sinus úhlu mezi vektory ze souřadnic vektorů

Michail Tkačev

Tyto vektory vynásobíme. Jejich bodový součin je roven součinu délek těchto vektorů a kosinu úhlu mezi nimi.
Úhel nám není znám, ale souřadnice jsou známé.
Zapišme to matematicky takto.
Nechť jsou dané vektory a(x1;y1) a b(x2;y2)
Pak

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Hádáme se.
a*b-skalární součin vektorů je roven součtu součinů odpovídajících souřadnic souřadnic těchto vektorů, tj. roven x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-součin délek vektorů je roven √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Takže kosinus úhlu mezi vektory je:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Když známe kosinus úhlu, můžeme vypočítat jeho sinus. Pojďme diskutovat o tom, jak to udělat:

Pokud je kosinus úhlu kladný, pak tento úhel leží v 1 nebo 4 čtvrtinách, takže jeho sinus je buď kladný, nebo záporný. Ale protože úhel mezi vektory je menší nebo roven 180 stupňům, pak je jeho sinus kladný. Podobně argumentujeme, pokud je kosinus záporný.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To je ono)))) Hodně štěstí při hledání)))

Dmitrij Leviščev

Skutečnost, že není možné přímo sinusovat, není pravda.
Kromě vzorce:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Existuje i tento:
||=|a|*|b|*hřích A
To znamená, že místo skalárního součinu můžete vzít modul vektorového součinu.

Při studiu geometrie vyvstává mnoho otázek na téma vektorů. Žák má zvláštní potíže, když je potřeba najít úhly mezi vektory.

Základní pojmy

Před zvažováním úhlů mezi vektory je nutné se seznámit s definicí vektoru a pojmem úhlu mezi vektory.

Vektor je segment, který má směr, tedy segment, pro který je definován jeho začátek a konec.

Úhel mezi dvěma vektory v rovině, které mají společný počátek, je menší z úhlů, o které je nutné posunout jeden z vektorů kolem společného bodu do polohy, kde se jejich směry shodují.

Vzorec řešení

Jakmile pochopíte, co je vektor a jak se určuje jeho úhel, můžete vypočítat úhel mezi vektory. Vzorec řešení je poměrně jednoduchý a výsledkem jeho aplikace bude hodnota kosinusu úhlu. Podle definice se rovná podílu skalárního součinu vektorů a součinu jejich délek.

Skalární součin vektorů je uvažován jako součet odpovídajících souřadnic multiplikačních vektorů vynásobených navzájem. Délka vektoru nebo jeho modul se vypočítá jako druhá odmocnina součtu druhých mocnin jeho souřadnic.

Po obdržení hodnoty kosinusu úhlu můžete vypočítat hodnotu samotného úhlu pomocí kalkulačky nebo pomocí trigonometrické tabulky.

Příklad

Poté, co zjistíte, jak vypočítat úhel mezi vektory, bude řešení odpovídajícího problému jednoduché a přímočaré. Jako příklad uvažujme jednoduchý problém nalezení velikosti úhlu.

V první řadě bude pohodlnější vypočítat hodnoty délek vektorů a jejich skalární součin potřebný k řešení. Pomocí výše uvedeného popisu dostaneme:

Nahrazením získaných hodnot do vzorce vypočítáme hodnotu kosinusu požadovaného úhlu:

Toto číslo není jednou z pěti běžných kosinusových hodnot, takže pro získání hodnoty úhlu budete muset použít kalkulačku nebo Bradisovu trigonometrickou tabulku. Než však získáte úhel mezi vektory, vzorec lze zjednodušit, abyste se zbavili dalšího záporného znaménka:

Konečná odpověď může být ponechána v této podobě pro zachování přesnosti, nebo můžete vypočítat hodnotu úhlu ve stupních. Podle Bradisovy tabulky bude jeho hodnota přibližně 116 stupňů a 70 minut a kalkulačka ukáže hodnotu 116,57 stupně.

Výpočet úhlu v n-rozměrném prostoru

Při uvažování dvou vektorů v trojrozměrném prostoru je mnohem obtížnější pochopit, o kterém úhlu mluvíme, pokud neleží ve stejné rovině. Pro zjednodušení vnímání můžete nakreslit dva protínající se segmenty, které mezi sebou svírají nejmenší úhel, a bude to ten požadovaný. Navzdory přítomnosti třetí souřadnice ve vektoru se proces výpočtu úhlů mezi vektory nezmění. Vypočtěte skalární součin a moduly vektorů, arkosinus jejich kvocientu a bude odpovědí na tento problém.

V geometrii se často vyskytují problémy s prostory, které mají více než tři rozměry. Ale pro ně vypadá algoritmus pro nalezení odpovědi podobně.

Rozdíl mezi 0 a 180 stupni

Jednou z běžných chyb při psaní odpovědi na problém určený k výpočtu úhlu mezi vektory je rozhodnutí napsat, že vektory jsou rovnoběžné, to znamená, že požadovaný úhel se ukázal být 0 nebo 180 stupňů. Tato odpověď je nesprávná.

Po obdržení hodnoty úhlu 0 stupňů jako výsledek řešení by správnou odpovědí bylo označit vektory jako ko-směrové, to znamená, že vektory budou mít stejný směr. V případě získání 180 stupňů budou mít vektory povahu opačných směrů.

Specifické vektory

Nalezením úhlů mezi vektory lze nalézt jeden ze speciálních typů, kromě výše popsaných spoluřízených a opačně směrovaných.

• Několik vektorů rovnoběžných s jednou rovinou se nazývá koplanární.
• Vektory, které mají stejnou délku a směr, se nazývají rovné.
• Vektory, které leží na stejné přímce bez ohledu na směr, se nazývají kolineární.
• Pokud je délka vektoru nulová, tedy jeho začátek a konec se shodují, pak se nazývá nula, a pokud je jedna, pak se nazývá jedna.

Bodový součin vektorů

Nadále se zabýváme vektory. Na první lekci Vektory pro figuríny zvážili jsme koncept vektoru, akce s vektory, vektorové souřadnice a nejjednodušší problémy s vektory. Pokud jste se na tuto stránku dostali poprvé z vyhledávače, vřele doporučuji přečíst si výše uvedený úvodní článek, protože pro asimilaci materiálu je třeba se orientovat v termínech a zápisu, které používám, mít základní znalosti o vektorech a umět řešit elementární problémy. Tato lekce je logickým pokračováním tématu a podrobně v ní rozeberu typické úlohy, které využívají skalární součin vektorů. Toto je VELMI DŮLEŽITÁ práce.. Pokuste se nepřeskakovat příklady, přicházejí s užitečným bonusem – cvičení vám pomůže upevnit probranou látku a „přibrat“ se k řešení běžných problémů analytické geometrie.

Sčítání vektorů, násobení vektoru číslem…. Bylo by naivní si myslet, že matematici nepřišli na něco jiného. Kromě již zvažovaných akcí existuje řada dalších operací s vektory, jmenovitě: bodový součin vektorů, křížový součin vektorů a smíšený součin vektorů. Skalární součin vektorů je nám známý ze školy, další dva součiny tradičně souvisí s kurzem vyšší matematiky. Témata jsou jednoduchá, algoritmus řešení mnoha problémů stereotypní a srozumitelný. Jediná věc. Informací je slušné množství, takže je nežádoucí snažit se zvládnout a řešit VŠE A NARAZ. To platí hlavně pro figuríny, věřte, že autor si absolutně nechce připadat jako Chikatilo z matematiky. No z matematiky samozřejmě taky ne =) Připravenější studenti mohou materiály používat selektivně, v v jistém smyslu, "dostaň" chybějící znalosti, pro tebe budu neškodný hrabě Drákula =)

Nakonec pootevřeme dveře a podívejme se, co se stane, když se dva vektory setkají….

Definice skalárního součinu vektorů.
Vlastnosti skalárního součinu. Typické úkoly

Koncept bodového produktu

Nejprve o úhel mezi vektory. Myslím, že každý intuitivně chápe, jaký je úhel mezi vektory, ale pro každý případ trochu víc. Zvažte volné nenulové vektory a . Pokud tyto vektory odložíme z libovolného bodu, dostaneme obrázek, který již mnozí v duchu představili:

Přiznám se, zde jsem popsal situaci pouze v rovině porozumění. Pokud potřebujete přesnou definici úhlu mezi vektory, podívejte se prosím do učebnice, ale pro praktické úlohy to v zásadě nepotřebujeme. Také ZDE A DÁLE budu někdy ignorovat nulové vektory pro jejich malý praktický význam. Udělal jsem rezervaci speciálně pro pokročilé návštěvníky stránek, kteří mi mohou vytknout teoretickou neúplnost některých následujících tvrzení.

může nabývat hodnot od 0 do 180 stupňů (od 0 do radiánů) včetně. Analyticky daný fakt se zapisuje jako dvojitá nerovnost: nebo (v radiánech).

V literatuře je ikona úhlu často vynechána a jednoduše napsána.

Definice: Skalární součin dvou vektorů je ČÍSLO rovné součinu délek těchto vektorů a kosinu úhlu mezi nimi:

Teď je to docela striktní definice.

Zaměřujeme se na základní informace:

Označení: skalární součin je označen nebo jednoduše .

Výsledkem operace je ČÍSLO: Vynásobením vektoru vektorem získáte číslo. Pokud jsou délky vektorů čísla, kosinus úhlu je číslo, pak jejich součin bude také číslo.

Jen pár příkladů zahřívání:

Příklad 1

Řešení: Používáme vzorec . V tomto případě:

Odpovědět:

Hodnoty kosinu lze nalézt v trigonometrická tabulka. Doporučuji vytisknout - bude vyžadován téměř ve všech částech věže a bude vyžadován mnohokrát.

Čistě z matematického hlediska je skalární součin bezrozměrný, to znamená, že výsledek je v tomto případě jen číslo a je to. Z hlediska problémů fyziky má skalární součin vždy určitý fyzikální význam, to znamená, že po výsledku musí být naznačena ta či ona fyzikální jednotka. Kanonický příklad výpočtu práce síly lze nalézt v jakékoli učebnici (vzorec je přesně bodový součin). Práce síly se měří v joulech, proto bude odpověď napsána zcela konkrétně, například.

Příklad 2

Najdi jestli a úhel mezi vektory je .

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí, odpověď je na konci lekce.

Úhel mezi vektory a hodnotou bodového součinu

V příkladu 1 se skalární součin ukázal jako pozitivní a v příkladu 2 se ukázal jako negativní. Pojďme zjistit, na čem závisí znaménko skalárního součinu. Podívejme se na náš vzorec: . Délky nenulových vektorů jsou vždy kladné: , takže znaménko může záviset pouze na hodnotě kosinusu.

Poznámka: Pro lepší pochopení níže uvedených informací je lepší si prostudovat kosinusový graf v manuálu Grafy a vlastnosti funkcí. Podívejte se, jak se kosinus chová na segmentu.

Jak již bylo uvedeno, úhel mezi vektory se může uvnitř měnit a jsou možné následující případy:

1) Pokud roh mezi vektory pikantní: (od 0 do 90 stupňů), pak , a dot product bude pozitivní spolurežírovaný, pak je úhel mezi nimi považován za nulový a skalární součin bude také kladný. Od , pak je vzorec zjednodušený: .

2) Pokud roh mezi vektory hloupý: (od 90 do 180 stupňů), pak a odpovídajícím způsobem, bodový součin je záporný: . Zvláštní případ: if vectors nasměrované opačně, pak se uvažuje úhel mezi nimi nasazeno: (180 stupňů). Skalární součin je také záporný, protože

I obrácená tvrzení jsou pravdivá:

1) Jestliže , pak úhel mezi těmito vektory je ostrý. Alternativně jsou vektory kosměrné.

2) Jestliže , pak úhel mezi těmito vektory je tupý. Alternativně jsou vektory směrovány opačně.

Ale třetí případ je obzvláště zajímavý:

3) Pokud roh mezi vektory rovný: (90 stupňů) pak a bodový součin je nula: . Platí to i obráceně: if , then . Kompaktní prohlášení je formulováno takto: Skalární součin dvou vektorů je nulový právě tehdy, když jsou dané vektory ortogonální. Krátký matematický zápis:

! Poznámka : opakovat základy matematické logiky: ikona oboustranného logického důsledku se obvykle čte "když a jen tehdy", "když a jen když". Jak vidíte, šipky směřují oběma směry - "z tohoto vyplývá toto a naopak - z tohoto vyplývá toto." Mimochodem, jaký je rozdíl od ikony jednosměrného sledování? Ikona tvrdí jen to, žeže "z toho plyne toto", a ne skutečnost, že opak je pravdou. Například: , ale ne každé zvíře je panter, takže ikonu v tomto případě nelze použít. Zároveň místo ikony umět použijte jednostrannou ikonu. Například při řešení problému jsme zjistili, že jsme dospěli k závěru, že vektory jsou ortogonální: - takový záznam bude správný a ještě vhodnější než .

Třetí případ má velký praktický význam., protože vám umožňuje zkontrolovat, zda jsou vektory ortogonální nebo ne. Tento úkol budeme řešit ve druhé části lekce.

Vlastnosti produktu dot

Vraťme se k situaci, kdy dva vektory spolurežírovaný. V tomto případě je úhel mezi nimi nula, a vzorec skalárního součinu má tvar: .

Co se stane, když se vektor vynásobí sám sebou? Je jasné, že vektor je řízen sám se sebou, takže použijeme výše uvedený zjednodušený vzorec:

Číslo se volá skalární čtverec vektor a jsou označeny jako .

Takto, skalární čtverec vektoru se rovná druhé mocnině délky daného vektoru:

Z této rovnosti můžete získat vzorec pro výpočet délky vektoru:

I když se to zdá nejasné, ale úkoly lekce dají vše na své místo. K řešení problémů také potřebujeme dot vlastnosti produktu.

Pro libovolné vektory a libovolné číslo platí následující vlastnosti:

1) - posuvné popř komutativní skalární zákon o součinu.

2) - distribuce popř distribuční skalární zákon o součinu. Jednoduše řečeno, můžete otevřít závorky.

3) - kombinace popř asociativní skalární zákon o součinu. Konstantu lze vyjmout ze skalárního součinu.

Často jsou všelijaké vlastnosti (které je také potřeba dokazovat!) studenty vnímány jako zbytečné svinstvo, které je potřeba si jen zapamatovat a bezpečně zapomenout ihned po zkoušce. Zdá se, že co je zde důležité, každý již od první třídy ví, že produkt se nemění permutací faktorů:. Musím vás varovat, ve vyšší matematice s takovým přístupem je snadné věci pokazit. Takže například komutativní vlastnost není platná pro algebraické matice. Není to pravda pro křížový součin vektorů. Proto je alespoň lepší ponořit se do jakýchkoliv vlastností, se kterými se v průběhu vyšší matematiky setkáte, abyste pochopili, co lze a co nelze.

Příklad 3

.

Řešení: Nejprve si ujasněme situaci s vektorem. O čem to celé je? Součet vektorů a je dobře definovaný vektor, který je označen . Geometrickou interpretaci akcí s vektory naleznete v článku Vektory pro figuríny. Stejná petržel s vektorem je součtem vektorů a .

Takže podle podmínky je nutné najít skalární součin. Teoreticky musíte použít pracovní vzorec , ale problém je, že neznáme délky vektorů a úhel mezi nimi. Ale v podmínce jsou podobné parametry uvedeny pro vektory, takže půjdeme jinou cestou:

(1) Dosazujeme výrazy vektorů .

(2) Závorky otevíráme podle pravidla násobení mnohočlenů, vulgární jazykolam najdete v článku Komplexní čísla nebo Integrace zlomkově-racionální funkce. Nebudu se opakovat =) Mimochodem, distributivní vlastnost skalárního součinu nám umožňuje otevřít závorky. máme právo.

(3) V prvním a posledním členu kompaktně zapíšeme skalární čtverce vektorů: . Ve druhém členu použijeme komutabilitu skalárního součinu: .

(4) Zde jsou podobné termíny: .

(5) V prvním termínu používáme vzorec skalárního čtverce, který byl zmíněn nedávno. V posledním termínu funguje totéž: . Druhý člen je rozšířen podle standardního vzorce .

(6) Nahraďte tyto podmínky a OPATRNĚ proveďte konečné výpočty.

Odpovědět:

Záporná hodnota bodového součinu vyjadřuje skutečnost, že úhel mezi vektory je tupý.

Úloha je typická, zde je příklad nezávislého řešení:

Příklad 4

Najděte skalární součin vektorů a , pokud je to známo .

Nyní další běžný úkol, jen pro nový vzorec délky vektoru. Zde se budou označení trochu překrývat, takže pro přehlednost to přepíšu jiným písmenem:

Příklad 5

Najděte délku vektoru if .

Řešení bude následující:

(1) Dodáváme vektorový výraz .

(2) Použijeme délkový vzorec: , přičemž máme celočíselný výraz jako vektor "ve".

(3) Pro druhou mocninu součtu použijeme školní vzorec. Věnujte pozornost tomu, jak to zde kuriózně funguje: - ve skutečnosti je to druhá mocnina rozdílu a ve skutečnosti je to tak. Ti, kteří si přejí, mohou vektory na místě přeskupit: - dopadlo totéž až do přeskupení termínů.

(4) To, co následuje, je již známé ze dvou předchozích problémů.

Odpovědět:

Jelikož se bavíme o délce, nezapomeňte uvést rozměr – „jednotky“.

Příklad 6

Najděte délku vektoru if .

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Pokračujeme ve vymačkávání užitečných věcí ze skalárního součinu. Podívejme se znovu na náš vzorec . Podle pravidla proporce přenastavíme délky vektorů na jmenovatele levé strany:

Vyměníme díly:

Jaký je význam tohoto vzorce? Pokud jsou známy délky dvou vektorů a jejich skalární součin, lze vypočítat kosinus úhlu mezi těmito vektory a následně i úhel samotný.

Je skalární součin číslo? Číslo. Jsou délky vektorů čísla? Čísla. Zlomek je tedy také číslo. A pokud je kosinus úhlu znám: , pak pomocí inverzní funkce je snadné najít samotný úhel: .

Příklad 7

Najděte úhel mezi vektory a , je-li známo, že .

Řešení: Použijeme vzorec:

Na poslední úroveň výpočtů byla použita technika - odstranění iracionality ve jmenovateli. Abych odstranil iracionalitu, vynásobil jsem čitatele a jmenovatele .

Takže když , pak:

Převrácené hodnoty goniometrické funkce lze nalézt podle trigonometrická tabulka. I když se to stává zřídka. V úlohách analytické geometrie se mnohem častěji objevuje nějaký nemotorný medvěd a hodnotu úhlu je třeba zjistit přibližně pomocí kalkulačky. Ve skutečnosti tento obrázek uvidíme znovu a znovu.

Odpovědět:

Opět nezapomeňte uvést rozměr – radiány a stupně. Osobně, abych záměrně „odstranil všechny otázky“, upřednostňuji označení obou (pokud ovšem podle podmínky není vyžadováno uvádět odpověď pouze v radiánech nebo pouze ve stupních).

Nyní se budete moci vyrovnat s těžším úkolem sami:

Příklad 7*

Dané jsou délky vektorů a úhel mezi nimi. Najděte úhel mezi vektory , .

Úkol není ani tak obtížný jako vícesměrný.
Pojďme analyzovat algoritmus řešení:

1) Podle podmínky je nutné najít úhel mezi vektory a , takže musíte použít vzorec .

2) Najdeme skalární součin (viz příklady č. 3, 4).

3) Najděte délku vektoru a délku vektoru (viz příklady č. 5, 6).

4) Konec řešení se shoduje s příkladem č. 7 - známe číslo , což znamená, že je snadné najít samotný úhel:

Krátké řešení a odpověď na konci lekce.

Druhá část lekce je věnována stejnému bodovému součinu. Souřadnice. Bude to ještě jednodušší než v prvním díle.

Bodový součin vektorů,
dáno souřadnicemi na ortonormálním základě

Odpovědět:

Netřeba dodávat, že práce se souřadnicemi je mnohem příjemnější.

Příklad 14

Najděte skalární součin vektorů a if

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Zde můžete využít asociativitu operace, tedy nepočítat, ale rovnou vyndat trojku ze skalárního součinu a násobit jím jako poslední. Řešení a odpověď na konci lekce.

Na konci odstavce provokativní příklad výpočtu délky vektoru:

Příklad 15

Najděte délky vektorů , pokud

Řešení: opět se nabízí metoda z předchozí části: ale existuje i jiný způsob:

Pojďme najít vektor:

A jeho délka triviální formule :

Skalární součin zde není vůbec relevantní!

Jak nefunkční je při výpočtu délky vektoru:
Stop. Proč nevyužít zřejmé vlastnosti délky vektoru? Co lze říci o délce vektoru? Tento vektor je 5krát delší než vektor. Směr je opačný, ale to nevadí, protože se bavíme o délce. Je zřejmé, že délka vektoru je rovna součinu modul počet na délku vektoru:
- znaménko modulu "žere" možné mínus čísla.

Takto:

Odpovědět:

Vzorec pro kosinus úhlu mezi vektory, které jsou dány souřadnicemi

teď máme úplné informace, takže dříve odvozený vzorec pro kosinus úhlu mezi vektory vyjádřit pomocí vektorových souřadnic:

Kosinus úhlu mezi rovinnými vektory a vyjádřeno na ortonormálním základě , se vyjadřuje vzorcem:
.

Kosinus úhlu mezi prostorovými vektory, uvedené na ortonormálním základě , se vyjadřuje vzorcem:

Příklad 16

Jsou dány tři vrcholy trojúhelníku. Najít (vrcholový úhel).

Řešení: Podle podmínky není výkres vyžadován, ale přesto:

Požadovaný úhel je označen zeleným obloukem. Okamžitě si vzpomeňte na školní označení úhlu: - Speciální pozornost na střední písmeno - to je vrchol úhlu, který potřebujeme. Pro stručnost by se to dalo napsat i jednoduše.

Z výkresu je zcela zřejmé, že úhel trojúhelníku se shoduje s úhlem mezi vektory a , jinými slovy: .

Je žádoucí naučit se provádět analýzu prováděnou mentálně.

Pojďme najít vektory:

Vypočítejme skalární součin:

A délky vektorů:

Kosinus úhlu:

Právě toto pořadí úkolu doporučuji figurínům. Pokročilejší čtenáři mohou výpočty napsat „na jeden řádek“:

Zde je příklad "špatné" hodnoty kosinu. Výsledná hodnota není konečná, takže nemá moc smysl zbavovat se iracionality ve jmenovateli.

Pojďme najít úhel:

Pokud se podíváte na kresbu, výsledek je docela věrohodný. Pro kontrolu úhlu lze také měřit pomocí úhloměru. Nepoškoďte povrch monitoru =)

Odpovědět:

V odpovědi na to nezapomeňte zeptal se na úhel trojúhelníku(a ne o úhlu mezi vektory), nezapomeňte uvést přesnou odpověď: a přibližnou hodnotu úhlu: najít pomocí kalkulačky.

Ti, kteří si tento proces užili, mohou vypočítat úhly a ujistit se, že kanonická rovnost je pravdivá

Příklad 17

Trojúhelník je dán v prostoru souřadnicemi jeho vrcholů. Najděte úhel mezi stranami a

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Úplné řešení a odpověď na konci lekce

Malá závěrečná část bude věnována projekcím, ve kterých je „zahrnut“ i skalární součin:

Projekce vektoru na vektor. Vektorové promítání na souřadnicové osy.
Vektorový směr kosinus

Zvažte vektory a:

Vektor promítneme na vektor , proto vynecháme začátek a konec vektoru kolmice na vektor (zelené tečkované čáry). Představte si, že paprsky světla dopadají kolmo na vektor. Potom bude segment (červená čára) "stínem" vektoru. V tomto případě je projekce vektoru na vektor DÉLKA segmentu. Tzn., že PROJEKCE JE ČÍSLO.

Toto ČÍSLO je označeno následovně: , "velký vektor" označuje vektor KTERÝ projekt, "malý dolní index vektor" označuje vektor NA která se promítá.

Samotný záznam zní takto: „projekce vektoru „a“ na vektor „be“.

Co se stane, když je vektor „být“ „příliš krátký“? Nakreslíme přímku obsahující vektor "být". A vektor "a" se již promítne do směru vektoru "být", jednoduše - na přímce obsahující vektor "být". Totéž se stane, pokud se vektor "a" odloží ve třicátém království - bude se stále snadno promítat na čáru obsahující vektor "be".

Pokud úhel mezi vektory pikantní(jako na obrázku), tedy

Pokud vektory ortogonální, pak (projekce je bod, jehož rozměry se považují za nulové).

Pokud úhel mezi vektory hloupý(na obrázku mentálně přeuspořádejte šipku vektoru), pak (stejně dlouhá, ale se znaménkem mínus).

Odložte tyto vektory z jednoho bodu:

Je zřejmé, že při pohybu vektoru se jeho projekce nemění

Na vaši žádost!

1. Odstraňte iracionalitu ve jmenovateli:

3. Vyřešte exponenciální rovnici:

4. Vyřešte nerovnost:

Aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporného čísla a je vždy vyjádřena nezáporným číslem, takže tato nerovnost bude platit pro všechny X, splňující podmínku: 2-х≥0. Odtud dostaneme: x≤2. Odpověď zapíšeme jako číselný interval: (-∞; 2].

5. Vyřešte nerovnici: 7 x > -1.

Podle definice: exponenciální funkce se nazývá funkce tvaru y \u003d a x, kde a > 0, a ≠ 1, x je libovolné číslo. Oblast hodnoty exponenciální funkce je množina všech kladných čísel, protože kladné číslo k libovolné mocnině bude kladné. Proto 7 x >0 pro libovolné x a ještě více 7 x > -1, tzn. nerovnost platí pro všechna x ∈ (-∞; +∞).

6. Převést na produkt:

Aplikujeme vzorec pro součet sinů: součet sinů dvou úhlů je roven dvojnásobku součinu sinu polovičního součtu těchto úhlů a kosinu jejich polovičního rozdílu.

8. Je známo, že f(x) = -15x+3. Pro jaké hodnoty x, f(x)=0?

Místo f (x) dosadíme číslo 0 a vyřešíme rovnici:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . V první a druhé slitině jsou měď a zinek v poměru 5:2 a 3:4. Kolik z každé slitiny je třeba vzít, abychom získali 28 kg nové slitiny se stejným obsahem mědi a zinku.

Chápeme, že nová slitina bude obsahovat 14 kg mědi a 14 kg zinku. Podobné problémy jsou všechny řešeny stejným způsobem: tvoří rovnici, v levém a pravé části což je stejné množství látky (vezměme měď), zapsané různými způsoby (na základě konkrétních podmínek problému). Máme 14 kg mědi v nové slitině bude složena z mědi z obou těchto slitin. Nechte hmotnost první slitiny X kg, pak hmotnost druhé slitiny je ( 28)kg. V první slitině je 5 dílů mědi a 2 díly zinku, takže mědi bude (5/7) x kg. Chcete-li najít zlomek čísla, vynásobte zlomek daným číslem. Ve druhé slitině jsou 3 díly mědi a 4 díly zinku, tzn. měď obsahuje (3/7) z (28) kg. Tak:

12. Řešte rovnici: log 2 8 x = -1.

Podle definice logaritmu:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. Najděte derivaci funkce f(x) = -ln cosx 2 .

20. Najděte hodnotu výrazu:

Modul čísla lze vyjádřit pouze jako nezáporné číslo. Pokud je pod znakem modulu záporný výraz, pak při otevírání závorek modulu jsou všechny termíny zapsány s opačnými znaky.

22. Vyřešte soustavu nerovností:

Nejprve řešíme každou nerovnici zvlášť.

Všimněte si, že nejmenší společná perioda pro tyto funkce bude 2π, proto byla přisuzována levá i pravá 2πn. Odpověď C).

23. Najděte plochu obrazce ohraničenou grafem funkce y=3-|x-3| a přímka y=0.

Graf této funkce se bude skládat ze dvou polopřímek vycházejících z jednoho bodu. Napíšeme rovnice přímek. Pro x≥3 rozšíříme modulární závorky a dostaneme: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. Pro x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Trojúhelník ohraničený grafem funkce a úsečkou osy x je obrazec, jehož obsah je třeba najít. Samozřejmě se zde obejdeme bez integrálů. Najdeme plochu trojúhelníku jako polovinu součinu jeho základny a výšky k této základně. Naše základna se rovná 6 jednotkovým segmentům a výška nakreslená k této základně se rovná 3 jednotkovým segmentům. Plocha bude 9 metrů čtverečních. Jednotky

24. Najděte kosinus úhlu A trojúhelníku s vrcholy v bodech A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2).

Chcete-li najít souřadnice vektoru dané souřadnicemi jeho konců, musíte odečíst souřadnice začátku od souřadnic konce.

Úhel A je tvořen vektory:

25. V krabici je 23 míčků: červený, bílý a černý. Bílých kuliček je 11x více než červených. Kolik černých kuliček?

Nechte to být v krabici Xčervené koule. Pak bílky 11x koule.

Červená a bílá x+11x= 12x koule. Proto černé koule 23-12h. Protože se jedná o celý počet kuliček, jediná možná hodnota je x=1. Ukazuje se: 1 červená koule, 11 bílých kuliček a 11 černé koule.

Návod

Nechť jsou na rovině dány dva nenulové vektory vynesené z jednoho bodu: vektor A se souřadnicemi (x1, y1) B se souřadnicemi (x2, y2). Roh mezi nimi je označeno jako θ. Chcete-li zjistit míru úhlu θ, musíte použít definici skalárního součinu.

Skalární součin dvou nenulových vektorů je číslo rovné součinu délek těchto vektorů a kosinu úhlu mezi nimi, tedy (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Nyní musíte vyjádřit kosinus úhlu z tohoto: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalární součin lze také nalézt pomocí vzorce (A,B)=x1*x2+y1*y2, protože součin dvou nenulových vektorů je roven součtu součinů odpovídajících vektorů. Pokud je skalární součin nenulových vektorů roven nule, pak jsou vektory kolmé (úhel mezi nimi je 90 stupňů) a další výpočty lze vynechat. Pokud je skalární součin dvou vektorů kladný, pak úhel mezi nimi vektory ostrý, a pokud je záporný, pak je úhel tupý.

Nyní vypočítejte délky vektorů A a B pomocí vzorců: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Délka vektoru se vypočítá jako druhá odmocnina součtu druhých mocnin jeho souřadnic.

Dosaďte nalezené hodnoty skalárního součinu a délky vektorů do vzorce pro úhel získaný v kroku 2, tedy cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Nyní, když znáte hodnotu , najděte míru úhlu mezi vektory musíte použít Bradisovu tabulku nebo vzít z této: θ=arccos(cos(θ)).

Pokud jsou vektory A a B uvedeny v trojrozměrném prostoru a mají souřadnice (x1, y1, z1) respektive (x2, y2, z2), pak se při hledání kosinu úhlu úhlu přidá ještě jedna souřadnice. V tomto případě kosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Užitečná rada

Pokud dva vektory nejsou vykresleny z jednoho bodu, pak pro nalezení úhlu mezi nimi pomocí paralelního posunu je třeba zkombinovat začátky těchto vektorů.
Úhel mezi dvěma vektory nesmí být větší než 180 stupňů.

Prameny:

• jak vypočítat úhel mezi vektory
• Úhel mezi přímkou ​​a rovinou

K řešení mnoha problémů, aplikovaných i teoretických, ve fyzice a lineární algebře, je nutné vypočítat úhel mezi vektory. Tento zdánlivě jednoduchý úkol může způsobit mnoho potíží, pokud jasně nerozumíte podstatě skalárního součinu a tomu, jaká hodnota se jako výsledek tohoto součinu objevuje.

Návod

Úhel mezi vektory v lineárním vektorovém prostoru je minimálním úhlem při , při kterém je dosaženo společného nasměrování vektorů. Jeden z vektorů je nesen kolem svého počátečního bodu. Z definice je zřejmé, že hodnota úhlu nesmí překročit 180 stupňů (viz krok).

V tomto případě se zcela správně předpokládá, že v lineárním prostoru se při paralelním přenosu vektorů úhel mezi nimi nemění. Proto pro analytický výpočet úhlu nezáleží na prostorové orientaci vektorů.

Výsledkem bodového součinu je číslo, jinak skalár. Pamatujte (to je důležité vědět), abyste předešli chybám v dalších výpočtech. Vzorec pro skalární součin umístěný na rovině nebo v prostoru vektorů má tvar (krok viz obrázek).

Pokud jsou vektory umístěny v prostoru, proveďte výpočet podobným způsobem. Jediné, co bude, bude výskyt termínu v dividendě - to je termín pro přihlášku, tzn. třetí složka vektoru. Podle toho je třeba při výpočtu modulu vektorů vzít v úvahu i složku z, pak pro vektory umístěné v prostoru se poslední výraz transformuje následovně (viz obrázek 6 ke kroku).

Vektor je úsečka s daným směrem. Úhel mezi vektory má fyzikální význam např. při zjištění délky průmětu vektoru na osu.

Návod

Úhel mezi dvěma nenulovými vektory pomocí výpočtu bodového součinu. Podle definice se součin rovná součinu délek a úhlu mezi nimi. Na druhé straně se vypočítá vnitřní součin pro dva vektory a se souřadnicemi (x1; y1) a b se souřadnicemi (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Z těchto dvou způsobů lze bodový součin snadno naklonit mezi vektory.

Najděte délky nebo moduly vektorů. Pro naše vektory a a b platí: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Najděte vnitřní součin vektorů vynásobením jejich souřadnic ve dvojicích: ab = x1x2 + y1y2. Z definice tečkového součinu ab = |a|*|b|*cos α, kde α je úhel mezi vektory. Pak dostaneme, že x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Pak cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Najděte úhel α pomocí Bradysových tabulek.

Související videa

Poznámka

Skalární součin je skalární charakteristika délek vektorů a úhlu mezi nimi.

Rovina je jedním ze základních pojmů v geometrii. Rovina je plocha, pro kterou platí tvrzení - jakákoli přímka spojující dva její body patří zcela této ploše. Roviny se obvykle označují řeckými písmeny α, β, γ atd. Dvě roviny se vždy protínají v přímce, která patří oběma rovinám.

Návod

Uvažujme poloroviny α a β vytvořené v průsečíku . Úhel tvořený přímkou ​​a a dvěma polorovinami α a β vodorovným úhlem. V tomto případě poloroviny svírající plochami úhel lomu, přímka a, podél které se roviny protínají, se nazývá hrana úhlu vzepětí.

Dihedrální úhel, jako plochý úhel, ve stupních. Pro sevření dihedrálního úhlu je nutné zvolit na jeho ploše libovolný bod O. V obou jsou bodem O vedeny dva paprsky a. Výsledný úhel AOB se nazývá lineární úhel dihedrálního úhlu a.

Nechť je tedy dán vektor V = (a, b, c) a rovina A x + B y + C z = 0, kde A, B a C jsou souřadnice normály N. Potom kosinus úhlu α mezi vektory V a N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Pro výpočet hodnoty úhlu ve stupních nebo radiánech je potřeba z výsledného výrazu vypočítat funkci inverzní ke kosinusu, tzn. arkosin: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Příklad: najít roh mezi vektor(5, -3, 8) a letadlo, dáno obecnou rovnicí 2 x - 5 y + 3 z = 0. Řešení: zapište souřadnice normálového vektoru roviny N = (2, -5, 3). Dosaďte všechny známé hodnoty do výše uvedeného vzorce: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Související videa

Napište rovnici a izolujte z ní kosinus. Podle jednoho vzorce se skalární součin vektorů rovná jejich délkám vynásobeným navzájem a kosinusem. roh a na druhé straně - součet součinů souřadnic podél každé z os. Porovnáním obou vzorců můžeme dojít k závěru, že kosinus roh se musí rovnat poměru součtu součinů souřadnic k součinu délek vektorů.

Zapište výslednou rovnici. K tomu musíme označit oba vektory. Řekněme, že jsou uvedeny v 3D kartézském systému a jejich výchozí body jsou v mřížce. Směr a velikost prvního vektoru bude dán bodem (X1,Y₁,Z₁), druhého - (X₂,Y₂,Z₂) a úhel bude označen písmenem γ. Délky každého z vektorů pak mohou být například podle Pythagorovy věty tvořeny jejich průměty na každou ze souřadnicových os: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) a √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Dosaďte tyto výrazy do vzorce formulovaného v předchozím kroku a získáte rovnost: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y22 + Z22)).

Využijte toho, že součet druhých mocnin sinus a spol sinus z roh jedna hodnota vždy dává jedničku. Proto zvýšením toho, co bylo získáno v předchozím kroku pro spol sinus na druhou a odečteno od jednoty, a pak