Násobení jednoduchých zlomků. Násobení zlomků

JIŽ TYTO HRÁBĚ OBCHÁZEJTE! 🙂

Násobení a dělení zlomků.

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou silní „ne moc. »
A pro ty, kteří „velmi vyrovnaní. "")

Tato operace je mnohem hezčí než sčítání-odčítání! Protože je to jednodušší. Připomínám: pro vynásobení zlomku zlomkem je třeba vynásobit čitatele (to bude čitatel výsledku) a jmenovatele (to bude jmenovatel). to je:

Vše je extrémně jednoduché. A prosím nehledejte společného jmenovatele! Tady to netřeba...

Chcete-li vydělit zlomek zlomkem, musíte převrátit druhý(to je důležité!) zlomek a vynásobte je, tj.:

Pokud je zachyceno násobení nebo dělení celými čísly a zlomky, je to v pořádku. Stejně jako u sčítání uděláme zlomek z celého čísla s jednotkou ve jmenovateli – a jedeme! Například:

Na střední škole se často musíte vypořádat s třípatrovými (nebo dokonce čtyřpatrovými!) zlomky. Například:

Jak dovést tento zlomek do slušné podoby? Ano, velmi snadno! Použijte rozdělení pomocí dvou bodů:

Ale nezapomeňte na pořadí divize! Na rozdíl od násobení je to zde velmi důležité! Samozřejmě si nebudeme plést 4:2 nebo 2:4. Ale v třípatrovém zlomku je snadné udělat chybu. Vezměte prosím na vědomí, například:

V prvním případě (výraz vlevo):

Ve druhém (výraz vpravo):

Cítit rozdíl? 4 a 1/9!

Jaké je pořadí dělení? Nebo závorky, nebo (jako zde) délka vodorovných čárek. Vyvinout oko. A pokud nejsou žádné závorky nebo pomlčky, například:

pak rozděl-násob v pořadí, zleva doprava!

A další velmi jednoduchý a důležitý trik. V akcích s grády se vám bude hodit! Vydělme jednotku libovolným zlomkem, například 13/15:

Střela se obrátila! A vždy se to stane. Při dělení 1 libovolným zlomkem je výsledkem stejný zlomek, pouze převrácený.

To jsou všechny akce se zlomky. Věc je docela jednoduchá, ale chyb dává víc než dost. Poznámka praktické rady a bude jich (chyb) méně!

1. Nejdůležitější při práci se zlomkovými výrazy je přesnost a všímavost! To nejsou běžná slova, ani dobrá přání! To je vážná potřeba! Všechny výpočty na zkoušce dělejte jako plnohodnotný úkol, soustředěně a přehledně. Je lepší napsat dva řádky navíc do konceptu, než se motat při počítání v hlavě.

2. V příkladech s odlišné typy zlomky - přejděte na obyčejné zlomky.

3. Všechny zlomky zredukujeme až na doraz.

4. Víceúrovňové zlomkové výrazy redukujeme na obyčejné pomocí dělení přes dva body (dodržujeme pořadí dělení!).

Zde jsou úkoly, které musíte splnit. Odpovědi jsou uvedeny po všech úkolech. Využijte materiály tohoto tématu a praktické rady. Odhadněte, kolik příkladů byste dokázali správně vyřešit. Poprvé! Bez kalkulačky! A vyvodit správné závěry.

Zapamatujte si správnou odpověď získané z druhé (zejména třetí) doby - nepočítá! Takový je drsný život.

Tak, řešit ve zkušebním režimu ! To je mimochodem příprava na zkoušku. Řešíme příklad, kontrolujeme, řešíme následující. Vše jsme rozhodli - znovu jsme kontrolovali od prvního do posledního. Ale pouze po podívejte se na odpovědi.

Hledejte odpovědi, které odpovídají vašim. Schválně jsem je zapsal do zmatku, takříkajíc stranou od pokušení. Zde jsou odpovědi oddělené středníkem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

A nyní vyvozujeme závěry. Pokud vše fungovalo - šťastný pro vás! Elementární výpočty se zlomky nejsou váš problém! Můžete dělat vážnější věci. Pokud ne.

Takže máte jeden ze dvou problémů. Nebo obojí najednou.) Nedostatek znalostí a (nebo) nepozornost. Ale. to řešitelný Problémy.

Ve zvláštní části 555 "Zlomky" jsou všechny tyto (a nejen!) příklady analyzovány. S podrobným vysvětlením co, proč a jak. Taková analýza velmi pomáhá s nedostatkem znalostí a dovedností!

Jo a na druhém problému tam něco je.) Docela praktická rada, jak se stát pozornějším. Ano ano! Rady, které lze uplatnit každý.

K úspěchu je kromě znalostí a všímavosti potřeba i jistý automatismus. Kde to získat? Slyším těžký povzdech... Ano, jen v praxi, nikde jinde.

Pro školení můžete přejít na web 321start.ru. Tam ve volbě "Vyzkoušet" je 10 příkladů, které může použít každý. S okamžitým ověřením. Pro registrované uživatele - 34 příkladů od jednoduchých po těžké. Je to jen pro zlomky.

Pokud se vám tato stránka líbí.

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Zde si můžete procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učte se se zájmem!

A zde se můžete seznámit s funkcemi a derivacemi.

Pravidlo 1

Vynásobit zlomek přirozené číslo, je nutné vynásobit jeho čitatel tímto číslem a jmenovatele ponechat beze změny.

Pravidlo 2

Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem:

1. najděte součin čitatelů a součin jmenovatelů těchto zlomků

2. Napište první součin jako čitatel a druhý jako jmenovatel.

Pravidlo 3

Chcete-li násobit smíšená čísla, musíte je napsat jako nesprávné zlomky a poté použít pravidlo pro násobení zlomků.

Pravidlo 4

Chcete-li vydělit jeden zlomek druhým, musíte dividendu vynásobit převrácenou hodnotou dělitele.

Příklad 1

Vypočítat

Příklad 2

Vypočítat

Příklad 3

Vypočítat

Příklad 4

Vypočítat

Matematika. Jiné materiály

Zvyšování čísla na racionální sílu. (

Zvyšování čísla na přirozenou sílu. (

Zobecněná intervalová metoda pro řešení algebraických nerovnic (Autor Kolchanov A.V.)

Metoda náhrady faktorů při řešení algebraických nerovnic (Autor Kolchanov A.V.)

Známky dělitelnosti (Lungu Alena)

Otestujte se na téma ‚Násobení a dělení obyčejných zlomků‘

Násobení zlomků

Budeme uvažovat o násobení obyčejných zlomků několika možnými způsoby.

Násobení zlomku zlomkem

Toto je nejjednodušší případ, ve kterém musíte použít následující pravidla násobení zlomků.

Na vynásobte zlomek zlomkem, nutné:

vynásobte čitatele prvního zlomku čitatelem druhého zlomku a zapište jejich součin do čitatele nového zlomku;

vynásobte jmenovatele prvního zlomku jmenovatelem druhého zlomku a zapište jejich součin do jmenovatele nového zlomku;

Před násobením čitatelů a jmenovatelů zkontrolujte, zda lze zlomky zmenšit. Snížení zlomků ve výpočtech výrazně usnadní vaše výpočty.

Násobení zlomku přirozeným číslem

Na zlomek vynásobte přirozeným číslem musíte vynásobit čitatel zlomku tímto číslem a ponechat jmenovatele zlomku beze změny.

Pokud výsledek násobení není správný zlomek nezapomeňte to proměnit smíšené číslo, to znamená vybrat celou část.

Násobení smíšených čísel

Chcete-li násobit smíšená čísla, musíte je nejprve převést na nesprávné zlomky a poté násobit podle pravidla pro násobení obyčejných zlomků.

Další způsob, jak vynásobit zlomek přirozeným číslem

Někdy je při počítání výhodnější použít jiný způsob násobení společný zlomek na číslo.

Chcete-li vynásobit zlomek přirozeným číslem, musíte vydělit jmenovatele zlomku tímto číslem a ponechat čitatel stejný.

Jak je vidět z příkladu, je výhodnější použít tuto verzi pravidla, pokud je jmenovatel zlomku dělitelný beze zbytku přirozeným číslem.

Dělení zlomku číslem

Jaký je nejrychlejší způsob dělení zlomku číslem? Rozeberme si teorii, vyvodíme závěr a na příkladech uvidíme, jak lze provést dělení zlomku číslem podle nového krátkého pravidla.

Obvykle se dělení zlomku číslem provádí podle pravidla dělení zlomků. První číslo (zlomek) se vynásobí převrácenou hodnotou druhého. Protože druhé číslo je celé číslo, jeho převrácená hodnota je zlomek, jehož čitatel je roven jedné a jmenovatel je dané číslo. Schematicky vypadá dělení zlomku přirozeným číslem takto:

Z toho vyvozujeme:

Chcete-li zlomek vydělit číslem, vynásobte jmenovatele tímto číslem a čitatel ponechte stejný. Pravidlo lze formulovat ještě stručněji:

Když zlomek vydělíte číslem, číslo přejde do jmenovatele.

Vydělte zlomek číslem:

Abychom zlomek vydělili číslem, přepíšeme čitatel beze změny a vynásobíme jmenovatele tímto číslem. Zmenšíme 6 a 3 o 3.

Při dělení zlomku číslem přepíšeme čitatel a vynásobíme jmenovatele tímto číslem. Zmenšíme 16 a 24 o 8.

Při dělení zlomku číslem jde číslo do jmenovatele, takže čitatel ponecháme stejný a jmenovatele vynásobíme dělitelem. Snížíme 21 a 35 o 7.

Násobení a dělení zlomků

Minule jsme se učili sčítat a odčítat zlomky (viz lekce "Sčítání a odčítání zlomků"). Většina těžký okamžik v těchto akcích byla redukce zlomků na společného jmenovatele.

Nyní je čas zabývat se násobením a dělením. Dobré zprávy je, že tyto operace jsou ještě jednodušší než sčítání a odčítání. Chcete-li začít, zvažte nejjednodušší případ, kdy existují dva kladné zlomky bez rozlišené celočíselné části.

Chcete-li vynásobit dva zlomky, musíte samostatně vynásobit jejich čitatele a jmenovatele. První číslo bude čitatelem nového zlomku a druhé bude jmenovatelem.

Chcete-li rozdělit dva zlomky, musíte vynásobit první zlomek "převrácenou" sekundou.

Z definice vyplývá, že dělení zlomků se redukuje na násobení. Chcete-li zlomek obrátit, stačí prohodit čitatel a jmenovatel. Proto celou lekci budeme uvažovat hlavně o násobení.

Následkem násobení může vzniknout (a často vzniká) redukovaný zlomek - ten se samozřejmě musí redukovat. Pokud se po všech redukcích zlomek ukázal jako nesprávný, měla by se v něm rozlišit celá část. Co přesně se ale s násobením nestane, je redukce na společného jmenovatele: žádné křížové metody, maximální faktory a nejmenší společné násobky.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Podle definice máme:

Násobení zlomků celočíselnou částí a zápornými zlomky

Pokud je ve zlomcích celočíselná část, musí být převedeny na nesprávné - a teprve potom vynásobeny podle schémat nastíněných výše.

Pokud je v čitateli zlomku, ve jmenovateli nebo před ním mínus, lze jej vyjmout z mezí násobení nebo zcela odstranit podle následujících pravidel:

Plus krát mínus dává mínus;
Dva zápory potvrzují.

Doposud se s těmito pravidly setkávali pouze při sčítání a odečítání záporných zlomků, kdy bylo nutné zbavit se celé části. U produktu je lze zobecnit, aby „spálil“ několik mínusů najednou:

Mínusy škrtáme ve dvojicích, dokud úplně nezmizí. V extrémním případě může přežít jedno mínus - ten, který nenašel shodu;
Pokud nezůstanou žádné mínusy, operace je dokončena - můžete začít násobit. Pokud se poslední mínus neškrtne, protože nenašel pár, vyjmeme ho z mezí násobení. Dostanete záporný zlomek.

Všechny zlomky převedeme na nesprávné a mínusy pak vyjmeme mimo hranice násobení. To, co zůstane, se množí podle obvyklých pravidel. Dostaneme:

Ještě jednou připomenu, že mínus, které je před zlomkem se zvýrazněnou celočíselnou částí, se vztahuje konkrétně na celý zlomek, a nikoli pouze na jeho celočíselnou část (to platí pro poslední dva příklady).

Pozor také na záporná čísla: po vynásobení jsou uzavřena v závorkách. To se provádí za účelem oddělení mínusů od znamének násobení a zpřesnění celého zápisu.

Snižování frakcí za chodu

Násobení je velmi pracná operace. Čísla jsou zde poměrně velká a pro zjednodušení úkolu můžete zkusit zlomek ještě zmenšit před násobením. Čitatelé a jmenovatelé zlomků jsou v podstatě běžné faktory, a proto je lze redukovat pomocí základní vlastnosti zlomku. Podívejte se na příklady:

Ve všech příkladech jsou červeně označena čísla, která byla zredukována, a to, co z nich zbylo.

Upozornění: v prvním případě byly násobiče zcela sníženy. Na svém místě zůstaly jednotky, které lze obecně vynechat. Ve druhém příkladu nebylo možné dosáhnout úplného snížení, ale celkové množství výpočtů se přesto snížilo.

V žádném případě však tuto techniku nepoužívejte při sčítání a odčítání zlomků! Ano, občas se vyskytnou podobná čísla, která prostě chcete snížit. Tady, podívej:

To nemůžeš!

K chybě dochází v důsledku skutečnosti, že při sčítání zlomku se v čitateli zlomku objeví součet, nikoli součin čísel. Proto je nemožné použít hlavní vlastnost zlomku, protože v této vlastnosti mluvíme Jde o násobení čísel.

Jiný důvod ke snižování zlomků prostě neexistuje, takže správné rozhodnutí předchozí úkol vypadá takto:

Jak vidíte, správná odpověď se ukázala jako ne tak krásná. Obecně buďte opatrní.

Dělení zlomků.

Dělení zlomku přirozeným číslem.

Příklady dělení zlomku přirozeným číslem

Dělení přirozeného čísla zlomkem.

Příklady dělení přirozeného čísla zlomkem

Dělení obyčejných zlomků.

Příklady dělení obyčejných zlomků

Dělení smíšených čísel.

převést smíšené zlomky na nesprávné;
vynásobte první zlomek převráceným podílem druhého;
snížit výslednou frakci;
Pokud získáte nesprávný zlomek, převeďte nesprávný zlomek na smíšený.

Příklady dělení smíšených čísel

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Jakékoli obscénní komentáře budou odstraněny a jejich autoři uvedeni na černou listinu!

Vítejte v OnlineMSchool.
Jmenuji se Dovzhik Michail Viktorovič. Jsem vlastníkem a autorem těchto stránek, napsal jsem veškerý teoretický materiál a také vyvinul online cvičení a kalkulačky, které můžete použít ke studiu matematiky.

Zlomky. Násobení a dělení zlomků.

Násobení zlomku zlomkem.

Pro násobení obyčejných zlomků je potřeba vynásobit čitatele čitatelem (dostaneme čitatele součinu) a jmenovatele jmenovatelem (dostaneme jmenovatele součinu).

Vzorec pro násobení zlomků:

Než přistoupíme k násobení čitatelů a jmenovatelů, je nutné zkontrolovat možnost zmenšení zlomku. Pokud se vám podaří zlomek snížit, bude pro vás snazší pokračovat ve výpočtech.

Poznámka! Není třeba hledat společného jmenovatele!!

Dělení obyčejného zlomku zlomkem.

Dělení obyčejného zlomku zlomkem je následující: otočte druhý zlomek (tzn. změňte místy čitatele a jmenovatele) a poté se zlomky násobí.

Vzorec pro dělení obyčejných zlomků:

Násobení zlomku přirozeným číslem.

Poznámka! Při násobení zlomku přirozeným číslem se čitatel zlomku násobí naším přirozeným číslem a jmenovatel zlomku zůstává stejný. Pokud je výsledkem produktu nevhodná frakce, pak nezapomeňte vybrat celou část tak, že nevhodnou frakci převedete na smíšenou.

Dělení zlomků zahrnujících přirozené číslo.

Není to tak děsivé, jak se zdá. Stejně jako v případě sčítání převedeme celé číslo na zlomek s jednotkou ve jmenovateli. Například:

Násobení smíšených zlomků.

Pravidla pro násobení zlomků (smíšené):

převést smíšené zlomky na nesprávné;
vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků;
snížíme zlomek;
dostaneme-li nevlastní zlomek, pak nevlastní zlomek převedeme na smíšený.

Poznámka! Chcete-li vynásobit smíšený zlomek jiným smíšeným zlomkem, musíte je nejprve uvést do tvaru nesprávných zlomků a poté násobit podle pravidla pro násobení obyčejných zlomků.

Druhý způsob, jak násobit zlomek přirozeným číslem.

Výhodnější je použít druhý způsob násobení obyčejného zlomku číslem.

Poznámka! Pro vynásobení zlomku přirozeným číslem je nutné vydělit jmenovatele zlomku tímto číslem a ponechat čitatel beze změny.

Z výše uvedeného příkladu je zřejmé, že tuto možnost je vhodnější použít, když je jmenovatel zlomku beze zbytku dělen přirozeným číslem.

Víceúrovňové zlomky.

Na střední škole se často vyskytují třípatrové (nebo více) zlomky. Příklad:

Aby se takový zlomek dostal do obvyklé podoby, používá se dělení 2 body:

Poznámka! Při dělení zlomků je velmi důležité pořadí dělení. Pozor, zde se snadno splete.

Poznámka, například:

Při dělení jedničky libovolným zlomkem bude výsledkem stejný zlomek, pouze převrácený:

Praktické tipy pro násobení a dělení zlomků:

1. Nejdůležitější při práci se zlomkovými výrazy je přesnost a všímavost. Všechny výpočty provádějte pečlivě a přesně, soustředěně a jasně. Je lepší napsat pár řádků navíc do konceptu, než se zmást ve výpočtech v hlavě.

2. V úlohách s různými typy zlomků přejděte na typ obyčejných zlomků.

3. Všechny zlomky redukujeme, až to již zmenšit nejde.

4. Víceúrovňové zlomkové výrazy převedeme na obyčejné pomocí dělení přes 2 body.

Pod-a ne až- Přepracovaná píseň "Spring Tango" (Přichází čas - přilétají ptáci z jihu) - hudba. Valerij Miljajev Špatně jsem slyšel, špatně jsem rozuměl, nestíhal jsem, v tom smyslu, že jsem neuhodl, napsal jsem všechna slovesa s ne odděleně, nevěděl jsem o předponě nedo-. Stalo se to, […]
Stránka nenalezena Ve třetím závěrečném čtení byl přijat balíček vládních dokumentů o vytvoření zvláštních správních krajů (SAR). Kvůli vystoupení z Evropské unie nebude Spojené království zahrnuto do evropského prostoru DPH a […]
Společný vyšetřovací výbor se objeví na podzim
Patent algoritmu Jak vypadá patent algoritmu Jak se připravuje patent algoritmu technické popisy způsoby ukládání, zpracování a přenosu signálů a/nebo dat speciálně pro účely patentování obvykle nepředstavují žádné zvláštní obtíže a […]
CO JE DŮLEŽITÉ VĚDĚT O NOVÉM NÁVRHU DŮCHODŮ 12. prosince 1993 ÚSTAVA RUSKÉ FEDERACE Ruská Federace o změnách Ústavy Ruské federace ze dne 30. prosince 2008 N 6-FKZ, ze dne 30. prosince 2008 N 7-FKZ, […]
Dirty o důchodu pro ženy jsou skvělé pro mužského hrdinu dne pro mužského hrdinu dne - ve sboru pro ženského hrdinu dne - věnování se ženám v důchodu je komické Soutěže pro důchodce budou zajímavé drazí přátelé! Chvilka pozornosti! Senzace! Pouze […]

Násobení obyčejných zlomků

Zvažte příklad.

Nechť je na talíři $\frac(1)(3)$ část jablka. Musíme najít jeho část $\frac(1)(2)$. Požadovaná část je výsledkem vynásobení zlomků $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(2)$. Výsledkem vynásobení dvou společných zlomků je společný zlomek.

Násobení dvou společných zlomků

Pravidlo pro násobení obyčejných zlomků:

Výsledkem násobení zlomku zlomkem je zlomek, jehož čitatel se rovná součinu čitatelů násobených zlomků a jmenovatel se rovná součinu jmenovatelů:

Příklad 1

Vynásobte obyčejné zlomky $\frac(3)(7)$ a $\frac(5)(11)$.

Řešení.

Použijme pravidlo násobení obyčejných zlomků:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Odpovědět:$\frac(15)(77)$

Pokud se v důsledku násobení zlomků získá zrušitelný nebo nesprávný zlomek, je nutné jej zjednodušit.

Příklad 2

Vynásobte zlomky $\frac(3)(8)$ a $\frac(1)(9)$.

Řešení.

Pro násobení obyčejných zlomků používáme pravidlo:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Ve výsledku jsme dostali redukovatelný zlomek (na základě dělení $3$. Vydělte čitatel a jmenovatel zlomku $3$, dostaneme:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Krátké řešení:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Odpovědět:$\frac(1)(24).$

Při násobení zlomků můžete snížit čitatele a jmenovatele, abyste našli jejich součin. V tomto případě se čitatel a jmenovatel zlomku rozloží na jednoduché faktory, načež se opakující faktory sníží a zjistí se výsledek.

Příklad 3

Vypočítejte součin zlomků $\frac(6)(75)$ a $\frac(15)(24)$.

Řešení.

Pro násobení obyčejných zlomků použijeme vzorec:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Je zřejmé, že čitatel a jmenovatel obsahují čísla, která lze redukovat ve dvojicích o čísla $2$, $3$ a $5$. Čitatele a jmenovatele rozložíme na jednoduché faktory a provedeme redukci:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Odpovědět:$\frac(1)(20).$

Při násobení zlomků lze použít komutativní zákon:

Násobení zlomku přirozeným číslem

Pravidlo pro násobení obyčejného zlomku přirozeným číslem:

Výsledkem násobení zlomku přirozeným číslem je zlomek, ve kterém je čitatel roven součinu čitatele násobeného zlomku přirozeným číslem a jmenovatel je roven jmenovateli násobeného zlomku:

kde $\frac(a)(b)$ je společný zlomek, $n$ je přirozené číslo.

Příklad 4

Vynásobte zlomek $\frac(3)(17)$ $4$.

Řešení.

Použijme pravidlo násobení obyčejného zlomku přirozeným číslem:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Odpovědět:$\frac(12)(17).$

Nezapomeňte na kontrolu výsledku násobení na stažitelnost zlomku nebo na nesprávný zlomek.

Příklad 5

Vynásobte zlomek $\frac(7)(15)$ $3$.

Řešení.

Použijme vzorec pro násobení zlomku přirozeným číslem:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Podle kritéria dělení číslem $3$) lze určit, že výsledný zlomek lze snížit:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Výsledkem je nesprávný zlomek. Vezměme si celou část:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Krátké řešení:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Bylo také možné zmenšit zlomky nahrazením čísel v čitateli a jmenovateli jejich expanzemi na prvočinitele. V tomto případě by řešení mohlo být zapsáno takto:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Odpovědět:$1\frac(2)(5).$

Při násobení zlomku přirozeným číslem můžete použít komutativní zákon:

Dělení obyčejných zlomků

Operace dělení je inverzní k násobení a jejím výsledkem je zlomek, kterým musíte vynásobit známý zlomek, abyste dostali slavné dílo dva zlomky.

Dělení dvou společných zlomků

Pravidlo pro dělení obyčejných zlomků: Je zřejmé, že čitatel a jmenovatel výsledného zlomku lze rozložit na jednoduché faktory a snížit:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

V důsledku toho jsme dostali nesprávný zlomek, ze kterého vybereme celočíselnou část:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Odpovědět:$1\frac(5)(9).$

) a jmenovatel jmenovatelem (dostaneme jmenovatele součinu).

Vzorec pro násobení zlomků:

Například:

Než přistoupíme k násobení čitatelů a jmenovatelů, je nutné zkontrolovat možnost redukce zlomků. Pokud se vám podaří zlomek snížit, bude pro vás snazší pokračovat ve výpočtech.

Dělení obyčejného zlomku zlomkem.

Dělení zlomků zahrnujících přirozené číslo.

Není to tak děsivé, jak se zdá. Stejně jako v případě sčítání převedeme celé číslo na zlomek s jednotkou ve jmenovateli. Například:

Násobení smíšených zlomků.

Pravidla pro násobení zlomků (smíšené):

převést smíšené zlomky na nesprávné;
vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků;
snížíme zlomek;
dostaneme-li nevlastní zlomek, pak nevlastní zlomek převedeme na smíšený.

Druhý způsob, jak násobit zlomek přirozeným číslem.

Výhodnější je použít druhý způsob násobení obyčejného zlomku číslem.

Poznámka! Pro vynásobení zlomku přirozeným číslem je nutné vydělit jmenovatele zlomku tímto číslem a ponechat čitatel beze změny.

Z výše uvedeného příkladu je zřejmé, že tuto možnost je vhodnější použít, když je jmenovatel zlomku beze zbytku dělen přirozeným číslem.

Víceúrovňové zlomky.

Na střední škole se často vyskytují třípatrové (nebo více) zlomky. Příklad:

Aby se takový zlomek dostal do obvyklé podoby, používá se dělení 2 body:

Poznámka! Při dělení zlomků je velmi důležité pořadí dělení. Pozor, zde se snadno splete.

Poznámka, například:

Při dělení jedničky libovolným zlomkem bude výsledkem stejný zlomek, pouze převrácený:

Praktické tipy pro násobení a dělení zlomků:

2. V úlohách s různými druhy zlomků - přejděte na typ obyčejných zlomků.

3. Všechny zlomky redukujeme, až to již zmenšit nejde.

4. Víceúrovňové zlomkové výrazy převedeme na obyčejné pomocí dělení přes 2 body.

5. Jednotku v mysli rozdělíme na zlomek, a to jednoduše tak, že zlomek otočíme.

Obsah lekce

Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli

Sčítání zlomků je dvou typů:

Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli
Sčítání zlomků s různými jmenovateli

Začněme sčítáním zlomků se stejnými jmenovateli. Všechno je zde jednoduché. Chcete-li přidat zlomky se stejnými jmenovateli, musíte přidat jejich čitatele a jmenovatele ponechat beze změny. Sečteme například zlomky a . Přidáme čitatele a jmenovatele ponecháme beze změny:

Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si představíme pizzu, která je rozdělena na čtyři části. Pokud k pizze přidáte pizzu, získáte pizzu:

Příklad 2 Přidejte zlomky a .

Odpověď je nesprávný zlomek. Pokud přijde konec úkolu, pak je zvykem zbavit se nesprávných zlomků. Abyste se zbavili nevhodného zlomku, musíte v něm vybrat celý díl. V našem případě je celá část alokována snadno - dvě děleno dvěma se rovná jedné:

Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si představíme pizzu, která je rozdělena na dvě části. Pokud k pizze přidáte více pizz, získáte jednu celou pizzu:

Příklad 3. Přidejte zlomky a .

Znovu přidejte čitatele a jmenovatele ponechte beze změny:

Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si představíme pizzu, která je rozdělena na tři části. Pokud k pizze přidáte více pizz, získáte pizzy:

Příklad 4 Najděte hodnotu výrazu

Tento příklad je řešen úplně stejně jako předchozí. Je třeba sečíst čitatele a jmenovatele ponechat beze změny:

Pokusme se znázornit naše řešení pomocí obrázku. Pokud k pizze přidáte pizzy a přidáte další pizzy, získáte 1 celou pizzu a více pizz.

Jak vidíte, sčítání zlomků se stejnými jmenovateli není obtížné. Stačí pochopit následující pravidla:

Chcete-li přidat zlomky se stejným jmenovatelem, musíte přidat jejich čitatele a jmenovatele ponechat beze změny;

Sčítání zlomků s různými jmenovateli

Nyní se naučíme sčítat zlomky s různými jmenovateli. Při sčítání zlomků musí být jmenovatelé těchto zlomků stejní. Ale nejsou vždy stejné.

Například zlomky lze také sčítat, protože mají stejných jmenovatelů.

Ale zlomky nelze sčítat okamžitě, protože tyto zlomky ano různých jmenovatelů. V takových případech musí být zlomky zredukovány na stejného (společného) jmenovatele.

Existuje několik způsobů, jak snížit zlomky na stejného jmenovatele. Dnes budeme zvažovat pouze jednu z nich, protože zbytek metod se může zdát začátečníkovi komplikovaný.

Podstata této metody spočívá v tom, že se hledá první (LCM) ze jmenovatelů obou zlomků. Poté se LCM vydělí jmenovatelem prvního zlomku a získá se první dodatečný faktor. Totéž udělají s druhým zlomkem - LCM se vydělí jmenovatelem druhého zlomku a získá se druhý dodatečný faktor.

Potom se čitatelé a jmenovatelé zlomků vynásobí jejich dalšími faktory. V důsledku těchto akcí se zlomky, které měly různé jmenovatele, změní na zlomky, které mají stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky sčítat.

Příklad 1. Přidejte zlomky a

Nejprve najdeme nejmenší společný násobek jmenovatelů obou zlomků. Jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 2. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Nyní zpět ke zlomkům a . Nejprve vydělíme LCM jmenovatelem prvního zlomku a získáme první dodatečný faktor. LCM je číslo 6 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3. Vydělte 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvním dodatečným faktorem. Zapíšeme to na první zlomek. Za tímto účelem uděláme nad zlomkem malou šikmou čáru a zapíšeme nad ní nalezený další faktor:

Totéž uděláme s druhým zlomkem. LCM vydělíme jmenovatelem druhého zlomku a dostaneme druhý dodatečný faktor. LCM je číslo 6 a jmenovatel druhého zlomku je číslo 2. Vydělte 6 dvěma, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatečným faktorem. Zapíšeme to do druhého zlomku. Nad druhým zlomkem opět uděláme malou šikmou čáru a nad ni zapíšeme nalezený další faktor:

Nyní jsme všichni připraveni přidat. Zbývá vynásobit čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory:

Podívejte se pozorně, k čemu jsme dospěli. Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky sčítat. Dokončeme tento příklad až do konce:

Tím příklad končí. Chcete-li přidat, ukazuje se.

Pokusme se znázornit naše řešení pomocí obrázku. Pokud k pizze přidáte pizzu, získáte jednu celou pizzu a další šestinu pizzy:

Redukci zlomků na stejný (společný) jmenovatel lze také znázornit pomocí obrázku. Přivedením zlomků a ke společnému jmenovateli dostaneme zlomky a . Tyto dvě frakce budou reprezentovány stejnými plátky pizzy. Jediný rozdíl bude v tom, že tentokrát budou rozděleny na stejné podíly (redukované na stejného jmenovatele).

Na prvním obrázku je zlomek (čtyři dílky ze šesti) a na druhém obrázku je zlomek (tři dílky ze šesti). Když tyto kousky složíme dohromady, získáme (sedm kusů ze šesti). Tento zlomek je nesprávný, proto jsme v něm zvýraznili celočíselnou část. Výsledek byl (jedna celá pizza a další šestá pizza).

Všimněte si, že jsme tento příklad nakreslili příliš podrobně. V vzdělávací instituce nebývá zvykem psát tak podrobně. Musíte být schopni rychle najít LCM obou jmenovatelů a dalších faktorů k nim a také rychle znásobit další faktory nalezené vašimi čitateli a jmenovateli. Ve škole bychom tento příklad museli napsat takto:

Ale také existuje zadní strana medailí. Pokud se v prvních fázích studia matematiky nedělají podrobné poznámky, pak otázky tohoto druhu "Odkud to číslo pochází?", "Proč se zlomky najednou změní na úplně jiné zlomky? «.

Pro snazší sčítání zlomků s různými jmenovateli můžete použít následující podrobné pokyny:

Najděte LCM jmenovatelů zlomků;
Vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku a získejte další násobitel pro každý zlomek;
Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory;
Sečtěte zlomky, které mají stejné jmenovatele;
Pokud se ukázalo, že odpověď je nesprávný zlomek, vyberte celou jeho část;

Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu .

Použijme výše uvedený návod.

Krok 1. Najděte LCM jmenovatelů zlomků

Najděte LCM jmenovatelů obou zlomků. Jmenovateli zlomků jsou čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku a získejte další násobitel pro každý zlomek

Vydělte LCM jmenovatelem prvního zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 2. Vydělte 12 2, dostaneme 6. Dostali jsme první dodatečný faktor 6. Zapíšeme ho přes první zlomek:

Nyní vydělíme LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatel druhého zlomku je číslo 3. Vydělte 12 3, dostaneme 4. Získáme druhý dodatečný faktor 4. Zapíšeme ho přes druhý zlomek:

Nyní vydělíme LCM jmenovatelem třetího zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatel třetího zlomku je číslo 4. Vydělte 12 4, dostaneme 3. Získáme třetí dodatečný faktor 3. Zapíšeme ho přes třetí zlomek:

Krok 3. Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků vašimi dalšími faktory

Čitatele a jmenovatele vynásobíme našimi dalšími faktory:

Krok 4. Sečtěte zlomky, které mají stejné jmenovatele

Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které mají stejné (společné) jmenovatele. Zbývá sečíst tyto zlomky. Přidat:

Sčítání se nevešlo na jeden řádek, takže jsme zbývající výraz přesunuli na další řádek. To je v matematice povoleno. Když se výraz nevejde na jeden řádek, přenese se na další řádek a je nutné dát rovnítko (=) na konec prvního řádku a na začátek nového řádku. Rovnítko na druhém řádku označuje, že se jedná o pokračování výrazu, který byl na prvním řádku.

Krok 5. Pokud se odpověď ukázala jako nesprávný zlomek, vyberte v ní celou část

Naše odpověď je nesprávný zlomek. Musíme vyčlenit celou jeho část. Zvýrazňujeme:

Dostal jsem odpověď

Odčítání zlomků se stejnými jmenovateli

Existují dva typy odčítání zlomků:

Odčítání zlomků se stejnými jmenovateli
Odčítání zlomků s různými jmenovateli

Nejprve se naučíme, jak odčítat zlomky se stejnými jmenovateli. Všechno je zde jednoduché. Chcete-li od jednoho zlomku odečíst další, musíte odečíst čitatele druhého zlomku od čitatele prvního zlomku a jmenovatele ponechat stejný.

Najdeme například hodnotu výrazu . K vyřešení tohoto příkladu je nutné odečíst čitatele druhého zlomku od čitatele prvního zlomku a ponechat jmenovatele beze změny. Pojďme to udělat:

Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si představíme pizzu, která je rozdělena na čtyři části. Pokud nakrájíte pizzu z pizzy, získáte pizzu:

Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu.

Opět od čitatele prvního zlomku odečtěte čitatele druhého zlomku a jmenovatele ponechte beze změny:

Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si představíme pizzu, která je rozdělena na tři části. Pokud nakrájíte pizzu z pizzy, získáte pizzu:

Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu

Tento příklad je řešen úplně stejně jako předchozí. Od čitatele prvního zlomku musíte odečíst čitatele zbývajících zlomků:

Jak vidíte, na odčítání zlomků se stejnými jmenovateli není nic složitého. Stačí pochopit následující pravidla:

Chcete-li od jednoho zlomku odečíst další, musíte odečíst čitatele druhého zlomku od čitatele prvního zlomku a ponechat jmenovatele beze změny;
Pokud se odpověď ukázala jako nesprávný zlomek, musíte v ní vybrat celou část.

Odčítání zlomků s různými jmenovateli

Například zlomek lze odečíst od zlomku, protože tyto zlomky mají stejné jmenovatele. Zlomek však nelze od zlomku odečíst, protože tyto zlomky mají různé jmenovatele. V takových případech musí být zlomky zredukovány na stejného (společného) jmenovatele.

Společný jmenovatel se najde podle stejného principu, jaký jsme použili při sčítání zlomků s různými jmenovateli. Nejprve najděte LCM jmenovatelů obou zlomků. Poté se LCM vydělí jmenovatelem prvního zlomku a získá se první dodatečný faktor, který se přepíše přes první zlomek. Podobně se LCM vydělí jmenovatelem druhého zlomku a získá se druhý dodatečný faktor, který se přepíše přes druhý zlomek.

Zlomky se pak vynásobí jejich dalšími faktory. V důsledku těchto operací se zlomky, které měly různé jmenovatele, změní na zlomky, které mají stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat.

Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu:

Tyto zlomky mají různé jmenovatele, takže je musíte přivést ke stejnému (společnému) jmenovateli.

Nejprve najdeme LCM jmenovatelů obou zlomků. Jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 4. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Nyní zpět ke zlomkům a

Pojďme najít další faktor pro první zlomek. K tomu vydělíme LCM jmenovatelem prvního zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3. Vydělte 12 3, dostaneme 4. Čtyřku zapíšeme přes první zlomek:

Totéž uděláme s druhým zlomkem. LCM dělíme jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 4. Vydělte 12 4, dostaneme 3. Napište trojku přes druhý zlomek:

Nyní jsme všichni připraveni na odečítání. Zbývá vynásobit zlomky jejich dalšími faktory:

Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat. Dokončeme tento příklad až do konce:

Dostal jsem odpověď

Pokusme se znázornit naše řešení pomocí obrázku. Pokud nakrájíte pizzu z pizzy, dostanete pizzu.

Toto je podrobná verze řešení. Být ve škole, museli bychom tento příklad řešit kratší cestou. Takové řešení by vypadalo takto:

Redukce zlomků a na společného jmenovatele lze také znázornit pomocí obrázku. Když tyto zlomky přivedeme ke společnému jmenovateli, dostaneme zlomky a . Tyto zlomky budou představovány stejnými plátky pizzy, ale tentokrát budou rozděleny na stejné zlomky (redukované na stejného jmenovatele):

První obrázek ukazuje zlomek (osm dílků z dvanácti) a druhý obrázek zlomek (tři dílky z dvanácti). Odříznutím tří kusů z osmi kusů získáme pět kusů z dvanácti. Zlomek popisuje těchto pět kusů.

Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu

Tyto zlomky mají různé jmenovatele, takže je nejprve musíte přivést ke stejnému (společnému) jmenovateli.

Najděte LCM jmenovatelů těchto zlomků.

Jmenovateli zlomků jsou čísla 10, 3 a 5. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Nyní najdeme další faktory pro každý zlomek. K tomu vydělíme LCM jmenovatelem každého zlomku.

Pojďme najít další faktor pro první zlomek. LCM je číslo 30 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 10. Vydělte 30 10, dostaneme první dodatečný faktor 3. Zapíšeme ho přes první zlomek:

Nyní najdeme další faktor pro druhý zlomek. Vydělte LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 30 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 3. Vydělte 30 3, dostaneme druhý dodatečný faktor 10. Zapíšeme ho přes druhý zlomek:

Nyní najdeme další faktor pro třetí zlomek. Vydělte LCM jmenovatelem třetího zlomku. LCM je číslo 30 a jmenovatelem třetího zlomku je číslo 5. Vydělte 30 5, dostaneme třetí dodatečný faktor 6. Zapíšeme ho přes třetí zlomek:

Nyní je vše připraveno k odečítání. Zbývá vynásobit zlomky jejich dalšími faktory:

Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které mají stejné (společné) jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat. Dokončíme tento příklad.

Pokračování příkladu se nevejde na jeden řádek, proto přesuneme pokračování na další řádek. Nezapomeňte na rovnítko (=) na novém řádku:

Odpověď se ukázala jako správný zlomek a zdá se, že nám vše vyhovuje, ale je příliš těžkopádná a nevzhledná. Měli bychom to usnadnit. co se dá dělat? Tento zlomek můžete snížit.

Chcete-li zlomek zmenšit, musíte jeho čitatel a jmenovatel vydělit (gcd) čísly 20 a 30.

Najdeme tedy GCD čísel 20 a 30:

Nyní se vrátíme k našemu příkladu a vydělíme čitatel a jmenovatel zlomku nalezeným GCD, tedy 10

Dostal jsem odpověď

Násobení zlomku číslem

Chcete-li zlomek vynásobit číslem, musíte tímto číslem vynásobit čitatel daného zlomku a jmenovatele ponechat stejný.

Příklad 1. Vynásobte zlomek číslem 1.

Vynásobte čitatele zlomku číslem 1

Vstup lze chápat tak, že zabere poloviční 1 čas. Pokud si například dáte pizzu 1x, dostanete pizzu

Ze zákonů násobení víme, že pokud se násobitel a násobitel zamění, pak se součin nezmění. Pokud je výraz zapsán jako , pak se součin bude stále rovnat . Opět platí pravidlo pro násobení celého čísla a zlomku:

Tento zápis lze chápat jako odebrání poloviny jednotky. Pokud je například 1 celá pizza a vezmeme si polovinu, budeme mít pizzu:

Příklad 2. Najděte hodnotu výrazu

Vynásobte čitatele zlomku 4

Odpověď je nesprávný zlomek. Vezměme si z toho celou část:

Výraz lze chápat tak, že vezmeme dvě čtvrtiny 4krát. Pokud si například vezmete pizzu 4krát, získáte dvě celé pizzy.

A pokud násobitel a násobitel na místech prohodíme, dostaneme výraz. Bude se také rovnat 2. Tento výraz lze chápat jako odebrání dvou pizz ze čtyř celých pizz:

Násobení zlomků

Chcete-li násobit zlomky, musíte vynásobit jejich čitatele a jmenovatele. Pokud je odpovědí nesprávný zlomek, musíte v něm vybrat celou část.

Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu.

Dostal jsem odpověď. Je žádoucí snížit daný zlomek. Zlomek lze zmenšit o 2. Potom bude mít konečné řešení následující podobu:

Výraz lze chápat jako odebrání pizzy z půlky pizzy. Řekněme, že máme půlku pizzy:

Jak vzít dvě třetiny z této poloviny? Nejprve musíte tuto polovinu rozdělit na tři stejné části:

A vezměte dva z těchto tří kusů:

Dáme si pizzu. Pamatujte si, jak vypadá pizza rozdělená na tři části:

Jeden plátek z této pizzy a dva plátky, které jsme odebrali, budou mít stejné rozměry:

Jinými slovy, mluvíme o stejné velikosti pizzy. Proto je hodnota výrazu

Příklad 2. Najděte hodnotu výrazu

Vynásobte čitatele prvního zlomku čitatelem druhého zlomku a jmenovatele prvního zlomku jmenovatelem druhého zlomku:

Odpověď je nesprávný zlomek. Vezměme si z toho celou část:

Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu

Vynásobte čitatele prvního zlomku čitatelem druhého zlomku a jmenovatele prvního zlomku jmenovatelem druhého zlomku:

Odpověď se ukázala jako správný zlomek, ale bude dobré, když se zmenší. Chcete-li tento zlomek zmenšit, musíte vydělit čitatel a jmenovatel tohoto zlomku největším společným dělitelem (GCD) čísel 105 a 450.

Pojďme tedy najít GCD čísel 105 a 450:

Nyní vydělíme čitatele a jmenovatele naší odpovědi na GCD, kterou jsme nyní našli, tedy 15

Reprezentující celé číslo jako zlomek

Jakékoli celé číslo může být reprezentováno jako zlomek. Například číslo 5 může být reprezentováno jako . Z toho pět nezmění svůj význam, protože výraz znamená „číslo pět děleno jednou“, a to, jak víte, se rovná pěti:

Opačná čísla

Nyní se seznámíme s zajímavé téma v matematice. Říká se tomu „obrácená čísla“.

Definice. Zpátky k čísluA je číslo, které po vynásobeníA dává jednotku.

Dosadíme v této definici místo proměnné Ačíslo 5 a zkuste si přečíst definici:

Zpátky k číslu 5 je číslo, které po vynásobení 5 dává jednotku.

Je možné najít číslo, které po vynásobení 5 dává jedničku? Ukazuje se, že můžete. Představme pět jako zlomek:

Pak tento zlomek vynásobte sám, stačí prohodit čitatel a jmenovatel. Jinými slovy, vynásobme zlomek sám o sobě, pouze obráceně:

Jaký z toho bude výsledek? Pokud budeme pokračovat v řešení tohoto příkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzní k číslu 5 je číslo, protože když se 5 vynásobí jednou, dostaneme jedničku.

Reciproční hodnotu lze také nalézt pro jakékoli jiné celé číslo.

Můžete také najít převrácenou hodnotu pro jakýkoli jiný zlomek. K tomu ho stačí otočit.

Dělení zlomku číslem

Řekněme, že máme půlku pizzy:

Rozdělme to rovným dílem mezi dva. Kolik pizz každý dostane?

Je vidět, že po rozdělení poloviny pizzy byly získány dva stejné kusy, z nichž každý tvoří pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Dělení zlomků se provádí pomocí reciprokých. Reciprokály umožňují nahradit dělení násobením.

Chcete-li zlomek vydělit číslem, musíte tento zlomek vynásobit převrácenou hodnotou dělitele.

Pomocí tohoto pravidla si zapíšeme rozdělení naší poloviny pizzy na dvě části.

Musíte tedy zlomek vydělit číslem 2. Zde je dividenda zlomkem a dělitel je 2.

Chcete-li vydělit zlomek číslem 2, musíte tento zlomek vynásobit převrácenou hodnotou dělitele 2. Převrácená hodnota dělitele 2 je zlomek. Musíte tedy násobit

Násobení a dělení zlomků.

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

Například:

Vše je extrémně jednoduché. A prosím nehledejte společného jmenovatele! Tady to netřeba...

Chcete-li vydělit zlomek zlomkem, musíte převrátit druhý(to je důležité!) zlomek a vynásobte je, tj.:

Například:

Na střední škole se často musíte vypořádat s třípatrovými (nebo dokonce čtyřpatrovými!) zlomky. Například:

Jak dovést tento zlomek do slušné podoby? Ano, velmi snadno! Použijte rozdělení pomocí dvou bodů:

V prvním případě (výraz vlevo):

Ve druhém (výraz vpravo):

Cítit rozdíl? 4 a 1/9!

Jaké je pořadí dělení? Nebo závorky, nebo (jako zde) délka vodorovných čárek. Vyvinout oko. A pokud nejsou žádné závorky nebo pomlčky, například:

pak rozděl-násob v pořadí, zleva doprava!

A další velmi jednoduchý a důležitý trik. V akcích s grády se vám bude hodit! Vydělme jednotku libovolným zlomkem, například 13/15:

Střela se obrátila! A vždy se to stane. Při dělení 1 libovolným zlomkem je výsledkem stejný zlomek, pouze převrácený.

To jsou všechny akce se zlomky. Věc je docela jednoduchá, ale chyb dává víc než dost. Všimněte si praktických rad a bude jich (chyb) méně!

Praktické tipy:

2. V příkladech s různými typy zlomků - přejděte na obyčejné zlomky.

3. Všechny zlomky zredukujeme až na doraz.

4. Víceúrovňové zlomkové výrazy redukujeme na obyčejné pomocí dělení přes dva body (dodržujeme pořadí dělení!).

5. Jednotku v mysli rozdělíme na zlomek, a to jednoduše tak, že zlomek otočíme.

Zapamatujte si správnou odpověď získané z druhé (zejména třetí) doby - nepočítá! Takový je drsný život.

Vypočítat:

Vybral jste si?

Hledejte odpovědi, které odpovídají vašim. Konkrétně jsem je napsal ve zmatku, mimo pokušení, abych tak řekl... Tady jsou odpovědi, zapsané středníkem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

A nyní vyvozujeme závěry. Pokud vše fungovalo - šťastný pro vás! Elementární výpočty se zlomky nejsou váš problém! Můžete dělat vážnější věci. Pokud ne...

Takže máte jeden ze dvou problémů. Nebo obojí najednou.) Nedostatek znalostí a (nebo) nepozornost. Ale toto řešitelný Problémy.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.