V tomto článku se podrobně podíváme na . Základní goniometrické identity jsou rovnosti, které vytvářejí vztah mezi sinusem, kosinusem, tangens a kotangens jednoho úhlu a umožňují vám najít kteroukoli z těchto goniometrických funkcí prostřednictvím známého jiného úhlu.

Okamžitě uvádíme hlavní trigonometrické identity, které budeme analyzovat v tomto článku. Zapíšeme je do tabulky a níže uvedeme odvození těchto vzorců a uvedeme potřebná vysvětlení.

Navigace na stránce.

Vztah mezi sinusem a kosinusem jednoho úhlu

Někdy nemluví o hlavních trigonometrických identitách uvedených v tabulce výše, ale o jedné jediné základní trigonometrická identita druh . Vysvětlení této skutečnosti je celkem jednoduché: rovnosti se získávají ze základní goniometrické identity po vydělení obou jejích částí příslušně, a rovnosti a vyplývají z definic sinus, kosinus, tangens a kotangens. Tomu se budeme podrobněji věnovat v následujících odstavcích.

To znamená, že je to rovnost, která je zvláště zajímavá a která dostala název hlavní trigonometrické identity.

Před prokázáním základní goniometrické identity uvedeme její formulaci: součet druhých mocnin sinu a kosinu jednoho úhlu je shodně roven jedné. Teď to dokažme.

Velmi často se používá základní trigonometrická identita transformace goniometrických výrazů. Umožňuje nahradit součet druhých mocnin sinu a kosinu jednoho úhlu jedničkou. Neméně často se základní trigonometrická identita používá v obráceném pořadí: jednotka je nahrazena součtem druhých mocnin sinu a kosinu libovolného úhlu.

Tangenta a kotangens přes sinus a kosinus

Identity spojující tečnu a kotangens se sinem a kosinusem jednoho úhlu tvaru a bezprostředně vyplývají z definic sinus, kosinus, tangens a kotangens. Ve skutečnosti je sinus podle definice y, kosinus je úsečka x, tečna je poměr ordináty k úsečce, tj. a kotangens je poměr úsečky k ose pořadnice, tj. .

Vzhledem k této zjevnosti identit a často jsou definice tečny a kotangens uvedeny nikoli prostřednictvím poměru úsečky a ordináty, ale prostřednictvím poměru sinusu a kosinusu. Tangenta úhlu je tedy poměr sinusu ke kosinusu tohoto úhlu a kotangens je poměr kosinu a sinu.

Na závěr této části je třeba poznamenat, že identity a platí pro všechny takové úhly, pro které mají goniometrické funkce v nich smysl. Vzorec je tedy platný pro jakoukoli jinou než (jinak bude jmenovatel nula a dělení nulou jsme nedefinovali) a vzorec - pro všechny , odlišné od , kde z je libovolné .

Vztah mezi tečnou a kotangens

Ještě zřetelnější trigonometrická identita než předchozí dvě je identita spojující tečnu a kotangens jednoho úhlu tvaru . Je jasné, že se odehrává pro jakékoli jiné úhly než , jinak není definována ani tečna, ani kotangens.

Důkaz vzorce velmi jednoduché. Podle definice a odkud . Důkaz mohl být proveden trochu jiným způsobem. Od a , pak .

Tangenta a kotangens jednoho úhlu, ve kterých dávají smysl, tedy je.

Návod

První možnost je klasická, pomocí papíru, úhloměru a tužky (nebo pera) Podle definice sinus roh rovná protější noze k přeponě pravoúhlý trojuhelník. To znamená, že pro výpočet hodnoty musíte pomocí úhloměru postavit pravoúhlý trojúhelník, jehož jeden z úhlů se rovná tomu, o jehož sinus vás zajímá. Poté změřte délku přepony a protější nohy a vydělte druhou první s požadovanou přesností.

Druhá možnost je škola. Ze školy si každý pamatuje „Bradisovy tabulky“, obsahující tisíce trigonometrických hodnot různé úhly. Můžete vyhledávat jak v papírovém vydání, tak v jeho elektronickém protějšku ve formátu pdf- jsou online. Po nalezení tabulek najděte hodnotu sinus nutné roh nebude těžké.

Třetí možnost je nejlepší. Pokud máte přístup, můžete použít standardní kalkulačku Windows. Měl by být přepnut do pokročilého režimu. Chcete-li to provést, v části nabídky „Zobrazit“ vyberte položku „Inženýrství“. Změní se pohled na kalkulačku - objeví se zejména tlačítka pro výpočet goniometrických funkcí Nyní zadejte hodnotu roh, jehož sinus chcete vypočítat. Můžete to udělat jak z klávesnice, tak kliknutím na požadované klávesy kalkulačky kurzorem myši. Nebo můžete jen vložit hodnotu, kterou potřebujete (CTRL + C a CTRL + V). Poté vyberte jednotky, ve kterých se má počítat - pro goniometrické funkce to mohou být radiány, stupně nebo rad. To se provádí výběrem jedné ze tří hodnot přepínače umístěných pod vstupním polem vypočítané hodnoty. Nyní stisknutím tlačítka označeného „hřích“ získejte odpověď na svou otázku.

Čtvrtá možnost je nejmodernější. V éře internetu existuje na internetu téměř každý problém, který se objeví. Online kalkulačky goniometrických funkcí s uživatelsky příjemným rozhraním, pokročilejší funkčnost najít vůbec ne. Nejlepší z nich nabízejí výpočet nejen hodnot jedné funkce, ale také poměrně složitých výrazů z několika funkcí.

Funkce sinus a spol sinus patří do oblasti matematiky, která se nazývá trigonometrie, a proto se samotné funkce nazývají trigonometrické. Podle nejstarší z definic vyjadřují velikost ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku z hlediska poměru délek jeho stran. Výpočet hodnot sinus a se současnou úrovní rozvoje elektronických technologií - docela jednoduchý úkol.

Budete potřebovat

• Windows kalkulačka.

Návod

Použijte k výpočtu sinus a úhel - výpočet goniometrických funkcí je zajištěn u většiny z nich. Vzhledem k přítomnosti kalkulačky v mnoha mobilní telefony, nějaké zápěstí a další mobilní gadgety, nemluvě o počítačích, to je možná, cenově dostupný způsob výpočty sinus A. Pokud se rozhodnete použít softwarovou kalkulačku počítače, pak hledejte odkaz na její spuštění v hlavní nabídce OS. Pokud je to Windows, stiskněte tlačítko Win, z nabídky vyberte "Všechny programy", přejděte do podsekce "Příslušenství" a klikněte na řádek "Kalkulačka". Pro přístup k příkazům pro výpočet goniometrických funkcí ve spuštěné aplikaci stiskněte kombinaci kláves Alt + 2.

Pokud je v počáteční hodnotě úhlu, sinus který chcete vypočítat je uveden v , ujistěte se, že vedle nápisu „ “ v rozhraní kalkulačky

Pojmy sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou hlavní kategorie trigonometrie - odvětví matematiky a jsou nerozlučně spjaty s definicí úhlu. Ovládnutí této matematické vědy vyžaduje zapamatování a pochopení vzorců a vět, stejně jako rozvinuté prostorové myšlení. Proto často působí trigonometrické výpočty školákům a studentům potíže. Chcete-li je překonat, měli byste se lépe seznámit s goniometrickými funkcemi a vzorci.

Pojmy v trigonometrii

Vyřešit základní pojmy trigonometrie, měli byste se nejprve rozhodnout, co je pravoúhlý trojúhelník a úhel v kruhu a proč jsou s nimi spojeny všechny základní trigonometrické výpočty. Trojúhelník, ve kterém je jeden z úhlů 90 stupňů, je pravoúhlý trojúhelník. Historicky byla tato postava často používána lidmi v architektuře, navigaci, umění, astronomii. V souladu s tím, při studiu a analýze vlastností tohoto obrázku, lidé dospěli k výpočtu odpovídajících poměrů jeho parametrů.

Hlavní kategorie spojené s pravoúhlými trojúhelníky jsou přepona a nohy. Přepona je strana trojúhelníku, která je opačná pravý úhel. Nohy jsou další dvě strany. Součet úhlů libovolného trojúhelníku je vždy 180 stupňů.

Sférická trigonometrie je obor trigonometrie, který se nestuduje ve škole, ale v aplikované vědy jako je astronomie a geodézie, vědci jej používají. Rysem trojúhelníku ve sférické trigonometrii je, že má vždy součet úhlů větší než 180 stupňů.

Úhly trojúhelníku

V pravoúhlém trojúhelníku je sinus úhlu poměr nohy opačné k požadovanému úhlu k přeponě trojúhelníku. V souladu s tím je kosinus poměrem sousední větve a přepony. Obě tyto hodnoty mají vždy hodnotu menší než jedna, protože přepona je vždy delší než noha.

Tangenta úhlu je hodnota rovna poměru protilehlého ramene k sousednímu ramenu požadovaného úhlu nebo sinusu ke kosinusu. Kotangens je zase poměr přilehlé větve požadovaného úhlu k opačnému kaktetu. Kotangens úhlu lze také získat vydělením jednotky hodnotou tečny.

jednotkový kruh

Jednotková kružnice v geometrii je kružnice, jejíž poloměr je roven jedné. Taková kružnice je sestrojena v kartézském souřadnicovém systému se středem kružnice shodným s výchozím bodem a počáteční poloha vektoru poloměru je určena kladným směrem osy X (osa úsečky). Každý bod kružnice má dvě souřadnice: XX a YY, tedy souřadnice úsečky a pořadnice. Vybereme-li libovolný bod na kružnici v rovině XX a pustíme z něj kolmici na osu úsečky, dostaneme pravoúhlý trojúhelník tvořený poloměrem k vybranému bodu (označme jej písmenem C), kolmici nakreslenou k osou X (průsečík je označen písmenem G) a úsečkou osou úsečky mezi počátkem (bod je označen písmenem A) a průsečíkem G. Výsledný trojúhelník ACG je pravoúhlý trojúhelník vepsaný v kruh, kde AG je přepona a AC a GC jsou nohy. Úhel mezi poloměrem kružnice AC a segmentem osy úsečky s označením AG definujeme jako α (alfa). Takže cos α = AG/AC. Vzhledem k tomu, že AC je poloměr jednotkové kružnice a je roven jedné, ukazuje se, že cos α=AG. Podobně hřích α=CG.

Se znalostí těchto údajů je navíc možné určit souřadnici bodu C na kružnici, protože cos α=AG, a sin α=CG, což znamená, že bod C má dané souřadnice (cos α; sin α). S vědomím, že tečna se rovná poměru sinusu ke kosinu, můžeme určit, že tg α \u003d y / x a ctg α \u003d x / y. S ohledem na úhly v negativním souřadnicovém systému lze vypočítat, že hodnoty sinus a kosinus některých úhlů mohou být záporné.

Výpočty a základní vzorce

Hodnoty goniometrických funkcí

Po zvážení podstaty goniometrických funkcí prostřednictvím jednotkového kruhu můžeme odvodit hodnoty těchto funkcí pro některé úhly. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce níže.

Nejjednodušší goniometrické identity

Rovnice, ve kterých je pod znaménkem goniometrické funkce neznámá hodnota, se nazývají goniometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k je libovolné celé číslo:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. hřích x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, žádná řešení.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, žádná řešení.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identity s hodnotou ctg x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Odlévat vzorce

Tato kategorie konstantních vzorců označuje metody, kterými můžete přejít od goniometrických funkcí tvaru k funkcím argumentu, to znamená převést sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu libovolné hodnoty na odpovídající ukazatele úhlu úhlu. interval od 0 do 90 stupňů pro větší pohodlí výpočtů.

Vzorce pro redukční funkce pro sinus úhlu vypadají takto:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Pro kosinus úhlu:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Použití výše uvedených vzorců je možné při dodržení dvou pravidel. Za prvé, pokud lze úhel reprezentovat jako hodnotu (π/2 ± a) nebo (3π/2 ± a), hodnota funkce se změní:

• od hříchu k cos;
• od cos k hříchu;
• od tg do ctg;
• z ctg do tg.

Hodnota funkce zůstane nezměněna, jestliže úhel může být reprezentován jako (π ± a) nebo (2π ± a).

Za druhé, znaménko redukované funkce se nemění: pokud bylo původně kladné, zůstává. Totéž platí pro negativní funkce.

Sčítací vzorce

Tyto vzorce vyjadřují hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens součtu a rozdílu dvou úhlů rotace z hlediska jejich goniometrických funkcí. Úhly se obvykle označují jako α a β.

Vzorce vypadají takto:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Tyto vzorce platí pro libovolné úhly α a β.

Vzorce dvojitého a trojitého úhlu

Goniometrické vzorce dvojitého a trojitého úhlu jsou vzorce, které vztahují funkce úhlů 2α a 3α k goniometrickým funkcím úhlu α. Odvozeno ze sčítacích vzorců:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Přechod od součtu k produktu

Uvážíme-li, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohoto vzorce získáme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobně sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Přechod od produktu k součtu

Tyto vzorce vyplývají z identit pro přechod součtu na součin:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Redukční vzorce

V těchto identitách lze druhé mocniny a kubické mocniny sinu a kosinus vyjádřit jako sinus a kosinus první mocniny vícenásobného úhlu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzální substituce

Univerzální goniometrické substituční vzorce vyjadřují goniometrické funkce v podmínkách tangens polovičního úhlu.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), zatímco x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), zatímco x \u003d π + 2πn.

Speciální případy

Konkrétní případy nejjednodušších goniometrických rovnic jsou uvedeny níže (k je libovolné celé číslo).

Soukromé pro sinus:

hřích x hodnota	hodnota x
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk nebo 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk nebo -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk nebo 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk nebo -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk nebo 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk nebo -2π/3 + 2πk

Kosinové kvocienty:

hodnota cos x	hodnota x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Soukromé pro tečnu:

hodnota tg x	hodnota x
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangensové kvocienty:

hodnota ctg x	hodnota x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Věty

Sinusová věta

Existují dvě verze věty – jednoduchá a rozšířená. Jednoduchá sinová věta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto případě jsou a, b, c strany trojúhelníku a α, β, γ jsou opačné úhly.

Rozšířená sinusová věta pro libovolný trojúhelník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V této identitě R označuje poloměr kružnice, do které je daný trojúhelník vepsán.

Kosinová věta

Identita je zobrazena takto: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Ve vzorci jsou a, b, c strany trojúhelníku a α je úhel protilehlé strany a.

Věta tečny

Vzorec vyjadřuje vztah mezi tečnami dvou úhlů a délkou protilehlých stran. Strany jsou označeny a, b, c a odpovídající opačné úhly jsou α, β, γ. Vzorec teorému tečny: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangensová věta

Přiřadí poloměr kružnice vepsané trojúhelníku k délce jeho stran. Jestliže a, b, c jsou strany trojúhelníku a A, B, C jsou jejich opačné úhly, r je poloměr vepsané kružnice a p je polovina obvodu trojúhelníku, následující identity držet:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikace

Trigonometrie není jen teoretická věda, s níž souvisí matematické vzorce. Jeho vlastnosti, věty a pravidla využívají v praxi různá průmyslová odvětví lidské aktivity– astronomie, letecká a námořní navigace, hudební teorie, geodézie, chemie, akustika, optika, elektronika, architektura, ekonomie, strojírenství, měřicí práce, počítačová grafika, kartografie, oceánografie a mnoho dalších.

Sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou základními pojmy trigonometrie, pomocí kterých můžete matematicky vyjádřit vztah mezi úhly a délkami stran v trojúhelníku a najít požadované veličiny pomocí identit, vět a pravidel.

Jedním z oborů matematiky, se kterým se školáci vyrovnávají s největšími obtížemi, je trigonometrie. Není divu: k tomu, abyste si mohli svobodně osvojit tuto oblast znalostí, potřebujete prostorové myšlení, schopnost najít sinus, kosinus, tangens, kotangens pomocí vzorců, zjednodušit výrazy a umět používat číslo pí ve výpočtech. Navíc při dokazování vět musíte umět použít trigonometrii, a to vyžaduje buď rozvinutou matematickou paměť, nebo schopnost odvodit složité logické řetězce.

Počátky trigonometrie

Seznámení s touto vědou by mělo začít definicí sinus, kosinus a tangens úhlu, ale nejprve musíte zjistit, co dělá trigonometrie obecně.

Historicky byly pravoúhlé trojúhelníky hlavním předmětem studia v této části matematické vědy. Přítomnost úhlu 90 stupňů umožňuje provádět různé operace, které umožňují určit hodnoty všech parametrů uvažovaného obrázku pomocí dvou stran a jednoho úhlu nebo dvou úhlů a jedné strany. V minulosti si lidé tohoto vzoru všimli a začali jej aktivně využívat při stavbě budov, navigaci, astronomii a dokonce i umění.

První etapa

Zpočátku se o vztahu úhlů a stran mluvilo výhradně na příkladu pravoúhlých trojúhelníků. Poté byly objeveny speciální vzorce, které umožnily rozšířit hranice použití v Každodenní život tento obor matematiky.

Studium trigonometrie ve škole dnes začíná pravoúhlými trojúhelníky, načež získané znalosti využijí studenti ve fyzice a řešení abstraktních goniometrických rovnic, s nimiž se začíná pracovat už na střední škole.

Sférická trigonometrie

Později, když věda dosáhla dalšího stupně vývoje, začaly se vzorce se sinusem, kosinusem, tangentem, kotangensem používat ve sférické geometrii, kde platí jiná pravidla a součet úhlů v trojúhelníku je vždy větší než 180 stupňů. Tato část se ve škole nestuduje, ale je nutné o její existenci vědět, přinejmenším proto, že zemský povrch a povrch jakékoli jiné planety je konvexní, což znamená, že jakékoli povrchové značení bude mít „obloukový tvar“. trojrozměrný prostor.

Vezměte glóbus a nit. Připojte nit k libovolným dvěma bodům na zeměkouli tak, aby byla napnutá. Věnujte pozornost - získal tvar oblouku. Právě takovými formami se zabývá sférická geometrie, která se používá v geodézii, astronomii a dalších teoretických i aplikovaných oborech.

Pravoúhlý trojuhelník

Poté, co jsme se trochu dozvěděli o způsobech použití trigonometrie, vraťme se k základní trigonometrii, abychom dále pochopili, co je sinus, kosinus, tangens, jaké výpočty lze s jejich pomocí provádět a jaké vzorce použít.

Prvním krokem je pochopení pojmů souvisejících s pravoúhlým trojúhelníkem. Za prvé, přepona je strana protilehlá úhlu 90 stupňů. Ta je nejdelší. Pamatujeme si, že podle Pythagorovy věty je jeho číselná hodnota rovna odmocnině součtu druhých mocnin ostatních dvou stran.

Pokud jsou například dvě strany 3 a 4 centimetry, délka přepony bude 5 centimetrů. Mimochodem, staří Egypťané o tom věděli asi před čtyřmi a půl tisíci lety.

Dvě zbývající strany, které tvoří pravý úhel, se nazývají nohy. Navíc si musíme pamatovat, že součet úhlů v trojúhelníku v pravoúhlém souřadnicovém systému je 180 stupňů.

Definice

Nakonec, když dobře rozumíme geometrické základně, můžeme přejít k definici sinu, kosinu a tangens úhlu.

Sinus úhlu je poměr protilehlé větve (tj. strany protilehlé k požadovanému úhlu) k přeponě. Kosinus úhlu je poměr přilehlé větve k přeponě.

Pamatujte, že sinus ani kosinus nemohou být větší než jedna! Proč? Protože přepona je standardně nejdelší, bez ohledu na to, jak je noha dlouhá, bude kratší než přepona, což znamená, že jejich poměr bude vždy menší než jedna. Pokud tedy v odpovědi na problém dostanete sinus nebo kosinus s hodnotou větší než 1, hledejte chybu ve výpočtech nebo uvažování. Tato odpověď je zjevně špatná.

Konečně, tangens úhlu je poměr protilehlé strany k sousední straně. Stejný výsledek poskytne dělení sinusu kosinusem. Podívejte se: podle vzorce vydělíme délku strany přeponou, poté vydělíme délkou druhé strany a vynásobíme přeponou. Dostaneme tedy stejný poměr jako v definici tečny.

Kotangens, v tomto pořadí, je poměr strany přiléhající k rohu k opačné straně. Stejný výsledek dostaneme vydělením jednotky tečnou.

Takže jsme zvážili definice toho, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, a můžeme se zabývat vzorci.

Nejjednodušší vzorce

V trigonometrii se bez vzorců neobejdete – jak bez nich najít sinus, kosinus, tangens, kotangens? A to je přesně to, co je potřeba při řešení problémů.

První vzorec, který potřebujete znát, když začínáte studovat trigonometrii, říká, že součet druhých mocnin sinu a kosinu úhlu je roven jedné. Tento vzorec je přímým důsledkem Pythagorovy věty, ale šetří čas, pokud chcete znát hodnotu úhlu, ne strany.

Mnoho studentů si nemůže vzpomenout na druhý vzorec, který je také velmi oblíbený při řešení školních úloh: součet jedné a druhé mocniny tečny úhlu je roven jedné dělené druhou mocninou kosinu úhlu. Podívejte se blíže: vždyť jde o stejné tvrzení jako v prvním vzorci, pouze obě strany identity byly rozděleny druhou mocninou kosinusu. Ukazuje se, že jednoduchá matematická operace změní goniometrický vzorec zcela k nepoznání. Pamatujte: s vědomím, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, s pravidly převodu a několika základními vzorci, můžete kdykoli nezávisle odvodit požadované složitější vzorce na listu papíru.

Vzorce dvojitého úhlu a sčítání argumentů

Další dva vzorce, které se musíte naučit, souvisí s hodnotami sinusu a kosinu pro součet a rozdíl úhlů. Jsou znázorněny na obrázku níže. Vezměte prosím na vědomí, že v prvním případě se sinus a kosinus násobí oba časy a ve druhém se sčítá párový součin sinu a kosinusu.

Existují také vzorce spojené s argumenty dvojitého úhlu. Jsou zcela odvozeny od předchozích - v praxi se je snažte získat sami, přičemž úhel alfa se rovná úhlu beta.

Nakonec si všimněte, že vzorce dvojitého úhlu lze převést tak, aby se snížil stupeň sinusu, kosinusu a tečny alfa.

Věty

Dvě hlavní věty v základní trigonometrii jsou sinová věta a kosinová věta. S pomocí těchto teorémů můžete snadno pochopit, jak najít sinus, kosinus a tečnu, a tedy plochu obrázku a velikost každé strany atd.

Sinusová věta říká, že v důsledku dělení délky každé ze stran trojúhelníku hodnotou opačného úhlu dostaneme stejné číslo. Navíc se toto číslo bude rovnat dvěma poloměrům kružnice opsané, tedy kružnice obsahující všechny body daného trojúhelníku.

Kosinová věta zobecňuje Pythagorovu větu a promítá ji na libovolné trojúhelníky. Ukazuje se, že od součtu čtverců dvou stran odečtěte jejich součin vynásobený dvojitým kosinusem úhlu, který k nim přiléhá - výsledná hodnota se bude rovnat druhé mocnině třetí strany. Pythagorova věta se tedy ukazuje jako speciální případ kosinové věty.

Chyby způsobené nepozorností

I když víte, co je sinus, kosinus a tangens, je snadné udělat chybu kvůli roztržitosti nebo chybě v nejjednodušších výpočtech. Abychom se vyhnuli takovým chybám, pojďme se seznámit s nejoblíbenějšími z nich.

Za prvé, neměli byste převádět běžné zlomky na desetinná místa, dokud nezískáte konečný výsledek - můžete ponechat odpověď ve tvaru společný zlomek pokud není v podmínkách uvedeno jinak. Takovou transformaci nelze nazvat chybou, ale je třeba mít na paměti, že v každé fázi problému se mohou objevit nové kořeny, které by podle autorovy myšlenky měly být redukovány. V takovém případě budete ztrácet čas zbytečnými matematickými operacemi. To platí zejména pro hodnoty, jako je odmocnina ze tří nebo dvou, protože se vyskytují v úkolech na každém kroku. Totéž platí pro zaokrouhlování „ošklivých“ čísel.

Dále si všimněte, že kosinová věta platí pro jakýkoli trojúhelník, ale ne pro Pythagorovu větu! Pokud omylem zapomenete odečíst dvojnásobek součinu stran vynásobeného kosinusem úhlu mezi nimi, dostanete nejen zcela špatný výsledek, ale také prokážete naprosté nepochopení předmětu. To je horší než nedbalá chyba.

Zatřetí, nezaměňujte hodnoty pro úhly 30 a 60 stupňů pro sinus, kosinus, tangens, kotangens. Pamatujte si tyto hodnoty, protože sinus 30 stupňů se rovná kosinu 60 a naopak. Je snadné je smíchat, v důsledku čehož nevyhnutelně získáte chybný výsledek.

aplikace

Mnoho studentů se studiem trigonometrie nespěchá, protože nerozumí jejímu aplikovanému významu. Co je sinus, kosinus, tangens pro inženýra nebo astronoma? Jde o koncepty, díky kterým můžete vypočítat vzdálenost ke vzdáleným hvězdám, předpovědět pád meteoritu, poslat výzkumnou sondu na jinou planetu. Bez nich není možné postavit budovu, navrhnout auto, vypočítat zatížení povrchu nebo trajektorii objektu. A to jsou jen ty nejviditelnější příklady! Ostatně trigonometrie v té či oné podobě se používá všude, od hudby po medicínu.

Konečně

Takže jste sinus, kosinus, tangens. Můžete je použít ve výpočtech a úspěšně řešit školní problémy.

Celá podstata trigonometrie se scvrkává na skutečnost, že neznámé parametry se musí vypočítat ze známých parametrů trojúhelníku. Parametrů je celkem šest: délky tři strany a rozměry tří úhlů. Celý rozdíl v úlohách spočívá v tom, že jsou dána různá vstupní data.

Jak najít sinus, kosinus, tečnu na základě známých délek nohou nebo přepony, nyní víte. Protože tyto pojmy neznamenají nic jiného než poměr a poměr je zlomek, hlavním cílem goniometrické úlohy je najít kořeny obyčejné rovnice nebo soustavy rovnic. A tady vám pomůže běžná školní matematika.

Sinus je jednou ze základních goniometrických funkcí, jejíž aplikace se neomezuje pouze na geometrii. Tabulky pro výpočet goniometrických funkcí, jako jsou technické kalkulačky, nejsou vždy po ruce a výpočet sinusu je někdy nezbytný k řešení různých problémů. Obecně platí, že výpočet sinus pomůže upevnit dovednosti kreslení a znalosti goniometrických identit.

Hry s tužkou a pravítkem

Jednoduchý úkol: jak najít sinus úhlu nakresleného na papíře? K vyřešení potřebujete běžné pravítko, trojúhelník (nebo kružítko) a tužku. Nejjednodušší způsob, jak vypočítat sinus úhlu, je vydělit vzdálenou větev trojúhelníku s pravým úhlem dlouhou stranou - přeponou. Nejprve tedy musíte dokončit ostrý úhel k obrazci pravoúhlého trojúhelníku nakreslením čáry kolmé k jednomu z paprsků v libovolné vzdálenosti od vrcholu úhlu. Bude nutné dodržet úhel přesně 90°, k čemuž potřebujeme klerikální trojúhelník.

Použití kompasu je o něco přesnější, ale bude trvat déle. Na jednom z paprsků je třeba označit 2 body v určité vzdálenosti, nastavit poloměr na kompasu přibližně stejný jako vzdálenost mezi body a nakreslit půlkruhy se středy v těchto bodech, dokud se tyto čáry neprotnou. Spojením průsečíků našich kružnic mezi sebou získáme přísnou kolmici k paprsku našeho úhlu, zbývá pouze prodloužit přímku, dokud se neprotne s dalším paprskem.

Ve výsledném trojúhelníku musíte pomocí pravítka změřit stranu naproti rohu a dlouhou stranu na jednom z paprsků. Poměr prvního měření ke druhému bude požadovaná hodnota sinu ostrého úhlu.

Najděte sinus pro úhel větší než 90°

Pro tupý úhel není úkol o moc obtížnější. Je nutné nakreslit paprsek z vrcholu v opačném směru pomocí pravítka, abychom vytvořili přímku s jedním z paprsků úhlu, který nás zajímá. S výsledným ostrým úhlem byste měli postupovat tak, jak je popsáno výše, sinusy sousedních úhlů, které spolu tvoří rozvinutý úhel 180°, jsou stejné.

Výpočet sinusu z jiných goniometrických funkcí

Výpočet sinusu je také možný, pokud jsou známy hodnoty dalších goniometrických funkcí úhlu nebo alespoň délky stran trojúhelníku. K tomu nám pomohou trigonometrické identity. Podívejme se na běžné příklady.

Jak najít sinus se známým kosinusem úhlu? První trigonometrická identita, pocházející z Pythagorovy věty, říká, že součet druhých mocnin sinu a kosinu stejného úhlu je roven jedné.

Jak najít sinus se známou tečnou úhlu? Tečnu získáme vydělením vzdálené větve blízkou nebo vydělením sinusem kosinusem. Sinus tedy bude součinem kosinu a tečny a druhá mocnina sinu bude druhou mocninou tohoto součinu. Nahradíme druhou mocninu kosinus rozdílem mezi jednotou a druhou mocninou sinusu podle prvního trigonometrická identita a jednoduchými manipulacemi přivedeme rovnici k výpočtu kvadratického sinu přes tečnu, respektive k výpočtu sinu, budete muset ze získaného výsledku extrahovat odmocninu.

Jak najít sinus se známým kotangens úhlu? Hodnotu kotangens lze vypočítat vydělením délky blízkého od úhlu nohy délkou vzdáleného a také vydělením kosinusu sinem, to znamená, že kotangens je inverzní funkcí tečny s vzhledem k číslu 1. Pro výpočet sinusu můžete vypočítat tečnu pomocí vzorce tg α \u003d 1 / ctg α a použít vzorec ve druhé možnosti. Můžete také odvodit přímý vzorec analogií s tečnou, která bude vypadat takto.

Jak najít sinus tří stran trojúhelníku

Existuje vzorec pro zjištění délky neznámé strany libovolného trojúhelníku, nejen pravoúhlého trojúhelníku, daných dvěma známými stranami pomocí trigonometrické funkce cosinus opačného úhlu. Vypadá takhle.

No, sinus lze dále vypočítat z kosinus podle vzorců výše.