Tato lekce bude zahrnovat sčítání a odčítání. algebraické zlomky s různými jmenovateli. Už víme, jak sčítat a odčítat běžné zlomky s různými jmenovateli. K tomu je třeba zlomky zredukovat na společného jmenovatele. Ukazuje se, že algebraické zlomky se řídí stejnými pravidly. Přitom už víme, jak redukovat algebraické zlomky na společného jmenovatele. Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli je jedním z nejdůležitějších a obtížná témata v 8. třídě. Navíc toto téma najdete v mnoha tématech kurzu algebry, které budete v budoucnu studovat. V rámci lekce si prostudujeme pravidla pro sčítání a odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli a také analyzujeme celá řada typické příklady.

Zvážit nejjednodušší příklad pro obyčejné zlomky.

Příklad 1 Přidejte zlomky: .

Řešení:

Pamatujte na pravidlo pro sčítání zlomků. Pro začátek je třeba zlomky zredukovat na společného jmenovatele. Společným jmenovatelem obyčejných zlomků je nejmenší společný násobek(LCM) původních jmenovatelů.

Definice

Nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné jak čísly, tak .

Pro nalezení LCM je nutné rozložit jmenovatele na prvočinitele a poté vybrat všechny prvočinitele, které jsou zahrnuty v expanzi obou jmenovatelů.

; . Potom LCM čísel musí obsahovat dvě 2 a dvě 3: .

Po nalezení společného jmenovatele je nutné, aby každý ze zlomků našel další faktor (ve skutečnosti vydělte společného jmenovatele jmenovatelem odpovídajícího zlomku).

Potom se každý zlomek vynásobí výsledným dalším faktorem. Dostáváme zlomky se stejnými jmenovateli, které jsme se naučili sčítat a odčítat v předchozích lekcích.

Dostaneme: .

Odpovědět:.

Zvažte nyní sčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli. Nejprve zvažte zlomky, jejichž jmenovateli jsou čísla.

Příklad 2 Přidejte zlomky: .

Řešení:

Algoritmus řešení je naprosto podobný předchozímu příkladu. Je snadné najít společného jmenovatele pro tyto zlomky: a další faktory pro každý z nich.

.

Odpovědět:.

Pojďme tedy formulovat algoritmus pro sčítání a odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli:

1. Najděte nejmenšího společného jmenovatele zlomků.

2. Najděte další faktory pro každý ze zlomků (vydělením společného jmenovatele jmenovatelem tohoto zlomku).

3. Vynásobte čitatele příslušnými dalšími faktory.

4. Sečtěte nebo odečtěte zlomky pomocí pravidel pro sčítání a odčítání zlomků se stejnými jmenovateli.

Zvažte nyní příklad se zlomky, v jejichž jmenovateli jsou doslovné výrazy.

Příklad 3 Přidejte zlomky: .

Řešení:

Vzhledem k tomu, že doslovné výrazy v obou jmenovatelích jsou stejné, měli byste pro čísla najít společného jmenovatele. Konečný společný jmenovatel bude vypadat takto: . Takže řešení tohoto příkladu je:

Odpovědět:.

Příklad 4 Odečtěte zlomky: .

Řešení:

Pokud nemůžete při výběru společného jmenovatele „ošidit“ (nemůžete jej faktorizovat ani použít zkrácené vzorce pro násobení), musíte jako společný jmenovatel brát součin jmenovatelů obou zlomků.

Odpovědět:.

Obecně platí, že při řešení takových příkladů je nejtěžší úkol najít společného jmenovatele.

Podívejme se na složitější příklad.

Příklad 5 Zjednodušte: .

Řešení:

Při hledání společného jmenovatele se musíte nejprve pokusit rozložit jmenovatele původních zlomků (pro zjednodušení společného jmenovatele).

V tomto konkrétním případě:

Pak je snadné určit společného jmenovatele: .

Zjistíme další faktory a vyřešíme tento příklad:

Odpovědět:.

Nyní opravíme pravidla pro sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli.

Příklad 6 Zjednodušte: .

Řešení:

Odpovědět:.

Příklad 7 Zjednodušte: .

Řešení:

.

Odpovědět:.

Uvažujme nyní příklad, ve kterém se nesčítají dva, ale tři zlomky (ostatně pravidla pro sčítání a odčítání pro více zlomků zůstávají stejná).

Příklad 8 Zjednodušte: .

Různé akce Se zlomky můžete provádět například sčítání zlomků. Sčítání zlomků lze rozdělit do několika typů. Každý typ sčítání zlomků má svá vlastní pravidla a algoritmus akcí. Podívejme se blíže na každý typ přídavku.

Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.

Podívejme se například, jak sčítat zlomky se společným jmenovatelem.

Turisté se vydali na túru z bodu A do bodu E. První den šli z bodu A do B, neboli \(\frac(1)(5)\) celou cestu. Druhý den šli z bodu B do D nebo \(\frac(2)(5)\) celou cestu. Jak daleko ušli od začátku cesty do bodu D?

Chcete-li zjistit vzdálenost z bodu A do bodu D, sečtěte zlomky \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli znamená, že musíte přidat čitatele těchto zlomků a jmenovatel zůstane stejný.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

V doslovné podobě bude součet zlomků se stejnými jmenovateli vypadat takto:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Odpověď: turisté cestovali \(\frac(3)(5)\) celou cestu.

Sčítání zlomků s různými jmenovateli.

Zvažte příklad:

Sečtěte dva zlomky \(\frac(3)(4)\) a \(\frac(2)(7)\).

Chcete-li přidat zlomky s různými jmenovateli, musíte nejprve najít a poté použijte pravidlo pro sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.

Pro jmenovatele 4 a 7 je společný jmenovatel 28. První zlomek \(\frac(3)(4)\) musí být vynásoben 7. Druhý zlomek \(\frac(2)(7)\) musí být násobeno 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(červená) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ krát \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

V doslovném tvaru dostaneme následující vzorec:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \krát d + c \krát b)(b \krát d)\)

Sčítání smíšených čísel nebo smíšených zlomků.

Sčítání probíhá podle zákona sčítání.

U smíšených zlomků přidejte celočíselné části k celočíselným částem a zlomkové části k dílčím částem.

Pokud zlomkové části smíšená čísla mít stejné jmenovatele, pak sečtěte čitatele a jmenovatel zůstane stejný.

Sečtěte smíšená čísla \(3\frac(6)(11)\) a \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(červená) (3) + \color(modrá) (\frac(6)(11))) + ( \color(red) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( modrá) (\frac(6)(11)) + \color(modrá) (\frac(3)(11))) = \color(červená)(4) + (\color(modrá) (\frac(6 + 3)(11))) = \barva(červená)(4) + \barva(modrá) (\frac(9)(11)) = \barva(červená)(4) \barva(modrá) (\frac (9) (11))\)

Pokud mají zlomkové části smíšených čísel různé jmenovatele, pak najdeme společného jmenovatele.

Sečteme smíšená čísla \(7\frac(1)(8)\) a \(2\frac(1)(6)\).

Jmenovatel je jiný, takže musíte najít společného jmenovatele, je roven 24. Vynásobte první zlomek \(7\frac(1)(8)\) dalším faktorem 3 a druhý zlomek \( 2\frac(1)(6)\) dne 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(červená) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(červená) (4))(6 \times \color(červená) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Související otázky:
Jak sčítat zlomky?
Odpověď: nejprve se musíte rozhodnout, do jakého typu výraz patří: zlomky mají stejné jmenovatele, různé jmenovatele nebo smíšené zlomky. Podle typu výrazu přistoupíme k algoritmu řešení.

Jak řešit zlomky s různými jmenovateli?
Odpověď: musíte najít společného jmenovatele a poté se řídit pravidlem sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.

Jak řešit smíšené zlomky?
Odpověď: Přidejte celočíselné části k celočíselným částem a zlomkové části k dílčím částem.

Příklad č. 1:
Může součet dvou dát správný zlomek? Špatný zlomek? Dát příklad.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

Zlomek \(\frac(5)(7)\) je vlastní zlomek, je výsledkem součtu dvou vlastních zlomků \(\frac(2)(7)\) a \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \krát 9 + 8 \krát 5) (5 \krát 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

Zlomek \(\frac(58)(45)\) není správný zlomek, byl získán jako výsledek součtu správných zlomků \(\frac(2)(5)\) a \(\frac(8)(9)\).

Odpověď: Na obě otázky je odpověď ano.

Příklad č. 2:
Sečtěte zlomky: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Příklad č. 3:
Napište smíšený zlomek jako součet přirozeného čísla a vlastního zlomku: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Příklad č. 4:
Vypočítejte součet: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \krát 3) (5 \krát 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Úkol 1:
Při večeři jedli \(\frac(8)(11)\) koláče a večer při večeři jedli \(\frac(3)(11)\). Myslíte, že byl dort úplně sněden nebo ne?

Řešení:
Jmenovatel zlomku je 11, udává, na kolik dílů byl koláč rozdělen. K obědu jsme snědli 8 kousků dortu z 11. K večeři jsme snědli 3 ks dortu z 11. Sečteme 8 + 3 = 11, snědli jsme kousky dortu z 11, tedy celý dort.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Odpověď: Snědli celý dort.

Zlomkové výrazy jsou pro dítě těžko srozumitelné. Většina lidí má potíže s . Při studiu tématu „sčítání zlomků s celými čísly“ dítě upadá do strnulosti a je pro něj obtížné vyřešit úlohu. V mnoha příkladech musí být před provedením akce provedena řada výpočtů. Například převeďte zlomky nebo převeďte nesprávný zlomek na správný.

Vysvětlete dítěti jasně. Vezměte tři jablka, z nichž dvě budou celá a třetí nakrájíme na 4 části. Oddělte jeden plátek od nakrájeného jablka a zbývající tři položte ke dvěma celým plodům. Získáme ¼ jablek na jedné straně a 2 ¾ na druhé straně. Pokud je spojíme, získáme tři celá jablka. Zkusme zmenšit 2 ¾ jablek o ¼, to znamená odebrat ještě jeden plátek, dostaneme 2 2/4 jablek.

Podívejme se blíže na akce se zlomky, které zahrnují celá čísla:

Nejprve si připomeňme pravidlo výpočtu pro zlomkové výrazy se společným jmenovatelem:

Na první pohled je vše snadné a jednoduché. To se ale týká pouze výrazů, které nevyžadují konverzi.

Jak najít hodnotu výrazu, kde se jmenovatelé liší

V některých úlohách je nutné najít hodnotu výrazu, kde se jmenovatelé liší. Zvažte konkrétní případ:
3 2/7+6 1/3

Najděte hodnotu tohoto výrazu, najdeme pro dva zlomky společného jmenovatele.

Pro čísla 7 a 3 je to 21. Celé části necháme stejné a zlomkové části zmenšíme na 21, proto vynásobíme první zlomek 3, druhý 7, dostaneme:
6/21+7/21, nezapomeňte, že celé díly nepodléhají konverzi. Výsledkem je, že dostaneme dva zlomky s jedním jmenovatelem a vypočítáme jejich součet:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Co když je výsledkem sčítání nesprávný zlomek, který již má celočíselnou část:
2 1/3+3 2/3
V tomto případě sečteme celočíselné části a zlomkové části, dostaneme:
5 3/3, jak víte, 3/3 je jedna, takže 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

S nalezením součtu je vše jasné, pojďme analyzovat odčítání:

Ze všeho, co bylo řečeno, vyplývá pravidlo operací se smíšenými čísly, které zní takto:

• Pokud je potřeba od zlomkového výrazu odečíst celé číslo, není nutné druhé číslo reprezentovat jako zlomek, stačí operovat pouze s celými částmi.

Zkusme si sami vypočítat hodnotu výrazů:

Podívejme se další příklad pod písmenem "m":

4 5/11-2 8/11, čitatel prvního zlomku je menší než druhý. Abychom to udělali, vezmeme jedno celé číslo z prvního zlomku, dostaneme,
3 5/11+11/11=3 celé 16/11, odečtěte druhý od prvního zlomku:
3 16/11-2 8/11=1 celý 8/11

• Při plnění úkolu buďte opatrní, nezapomeňte převést nesprávné zlomky na smíšené a zvýraznit celou část. K tomu je nutné vydělit hodnotu čitatele hodnotou jmenovatele, pak to, co se stalo, nahradí celočíselnou část, zbytek bude čitatel, například:

19/4=4 ¾, kontrola: 4*4+3=19, ve jmenovateli 4 zůstává nezměněn.

Shrnout:

Než přistoupíme k úloze týkající se zlomků, je nutné rozebrat, o jaký výraz se jedná, jaké transformace je třeba na zlomku provést, aby řešení bylo správné. Hledejte racionálnější řešení. Nechoď tou těžší cestou. Naplánujte si všechny akce, rozhodněte se nejprve v pracovní verzi a poté přeneste do školního sešitu.

Aby nedošlo k záměně při řešení zlomkových výrazů, je nutné dodržet pravidlo sekvence. Rozhodněte vše pečlivě, bez spěchu.

Zlomky jsou obyčejná čísla, lze je také sčítat a odečítat. Ale vzhledem k tomu, že mají jmenovatele, jsou zde vyžadována složitější pravidla než pro celá čísla.

Zvažte nejjednodušší případ, kdy existují dva zlomky se stejnými jmenovateli. Pak:

Chcete-li sečíst zlomky se stejnými jmenovateli, přidejte jejich čitatele a jmenovatele ponechte beze změny.

Pro odečítání zlomků se stejnými jmenovateli je nutné odečíst čitatele druhého od čitatele prvního zlomku a opět ponechat jmenovatele beze změny.

V rámci každého výrazu se jmenovatelé zlomků rovnají. Definicí sčítání a odčítání zlomků dostaneme:

Jak vidíte, nic složitého: stačí přidat nebo odečíst čitatele – a je to.

Ale i v takovém jednoduché akce lidem se daří dělat chyby. Nejčastěji zapomínají, že se jmenovatel nemění. Například při jejich sčítání se začnou také sčítat, a to je zásadně špatně.

Zbavit se zlozvyk Přidání jmenovatelů je dost snadné. Pokuste se udělat totéž při odečítání. V důsledku toho bude jmenovatel nula a zlomek (najednou!) ztratí svůj význam.

Pamatujte si proto jednou provždy: při sčítání a odčítání se jmenovatel nemění!

Mnoho lidí také dělá chyby při sčítání několika záporných zlomků. Existuje zmatek se znaky: kam dát mínus a kde - plus.

Tento problém je také velmi snadno řešitelný. Stačí si zapamatovat, že mínus před znaménkem zlomku lze vždy přenést do čitatele – a naopak. A samozřejmě nezapomeňte na dvě jednoduchá pravidla:

1. Plus krát mínus dává mínus;
2. Dva zápory potvrzují.

Pojďme si to vše analyzovat na konkrétních příkladech:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

V prvním případě je vše jednoduché a ve druhém přidáme mínusy k čitatelům zlomků:

Co když se jmenovatelé liší

Nelze přímo sčítat zlomky s různými jmenovateli. Alespoň mně je tato metoda neznámá. Původní zlomky je však možné vždy přepsat tak, aby se jmenovatelé stali stejnými.

Existuje mnoho způsobů, jak převádět zlomky. Tři z nich jsou probrány v lekci "Přivedení zlomků na společného jmenovatele", takže se jimi zde nebudeme zabývat. Podívejme se na několik příkladů:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

V prvním případě přivedeme zlomky ke společnému jmenovateli metodou „cross-wise“. Ve druhém budeme hledat LCM. Všimněte si, že 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Poslední faktory v těchto expanzích jsou stejné a první jsou coprime. Proto LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Co když má zlomek celočíselnou část

Mohu vás potěšit: různí jmenovatelé zlomků nejsou to největší zlo. Mnohem více chyb se vyskytuje, když je celá část zvýrazněna ve zlomcích.

Samozřejmě, že pro takové zlomky existují vlastní algoritmy sčítání a odčítání, ale jsou poměrně komplikované a vyžadují dlouhé studium. Lepší využití jednoduchý obvod níže:

1. Převeďte všechny zlomky obsahující celočíselnou část na nesprávné. Získáme normální členy (i když s různými jmenovateli), které se počítají podle výše uvedených pravidel;
2. Vlastně vypočítejte součet nebo rozdíl výsledných zlomků. Ve výsledku prakticky najdeme odpověď;
3. Pokud je to vše, co bylo v úloze požadováno, provedeme inverzní transformaci, tzn. zbavíme se nesprávného zlomku a zvýrazníme v něm celočíselnou část.

Pravidla pro přechod na nesprávné zlomky a zvýraznění celočíselné části jsou podrobně popsána v lekci „Co je to číselný zlomek“. Pokud si to nepamatujete, určitě zopakujte. Příklady:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všechno je zde jednoduché. Jmenovatelé uvnitř každého výrazu jsou si rovni, zbývá tedy převést všechny zlomky na nesprávné a počítat. My máme:

Pro zjednodušení výpočtů jsem v posledních příkladech vynechal některé zřejmé kroky.

Malá poznámka k posledním dvěma příkladům, kde se odečítají zlomky se zvýrazněnou celočíselnou částí. Mínus před druhým zlomkem znamená, že se odečítá celý zlomek, nikoli jen jeho celá část.

Znovu si přečtěte tuto větu, podívejte se na příklady a zamyslete se nad tím. Tady začátečníci dělají spoustu chyb. Rádi dávají takové úkoly kontrolní práce. Opakovaně se s nimi také setkáte v testech k této lekci, které budou v brzké době zveřejněny.

Shrnutí: Obecné schéma výpočetní techniky

Na závěr dám obecný algoritmus, který vám pomůže najít součet nebo rozdíl dvou nebo více zlomků:

1. Pokud je část celého čísla zvýrazněna v jednom nebo více zlomcích, převeďte tyto zlomky na nesprávné;
2. Přiveďte všechny zlomky ke společnému jmenovateli jakýmkoli způsobem, který vám vyhovuje (pokud to ovšem neudělali kompilátoři úloh);
3. Výsledná čísla sečtěte nebo odečtěte podle pravidel pro sčítání a odčítání zlomků se stejnými jmenovateli;
4. Pokud je to možné, snižte výsledek. Pokud se zlomek ukázal jako nesprávný, vyberte celý díl.

Pamatujte, že je lepší zvýraznit celou část až na samém konci úkolu, těsně před napsáním odpovědi.

Jak víte z matematiky, zlomkové číslo se skládá z čitatele a jmenovatele. Čitatel je nahoře a jmenovatel dole.

Je docela jednoduché provádět matematické operace se sčítáním nebo odečítáním zlomkových veličin se stejným jmenovatelem. Stačí umět sčítat nebo odečítat čísla v čitateli (nahoře) a stejné spodní číslo zůstane nezměněno.

Vezměme například zlomkové číslo 7/9, zde:

• číslo "sedm" nahoře je čitatel;
• číslo „devět“ níže je jmenovatelem.

Příklad 1. Přidání:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Příklad 2. Odčítání:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Odečítání jednoduchých zlomkových hodnot, které mají jiného jmenovatele

Chcete-li provést matematickou operaci k odečtení hodnot, které mají jiného jmenovatele, musíte je nejprve přivést ke společnému jmenovateli. Při plnění tohoto úkolu je nutné dodržet pravidlo, že tento společný jmenovatel musí být ze všech nejmenší možnosti.

Příklad 3

Jsou dány dvě jednoduché veličiny s různými jmenovateli (nižší čísla): 7/8 a 2/9.

Odečtěte druhou od první hodnoty.

Řešení se skládá z několika kroků:

1. Najděte společné nižší číslo, tzn. to, co je dělitelné jak nižší hodnotou prvního zlomku, tak druhého. Toto bude číslo 72, protože je to násobek čísel "osm" a "devět".

2. Spodní číslice každého zlomku se zvětšila:

• číslo "osm" ve zlomku 7/8 vzrostlo devětkrát - 8*9=72;
• číslo "devět" ve zlomku 2/9 se zvýšilo osmkrát - 9*8=72.

3. Pokud se změnil jmenovatel (dolní číslo), musí se změnit i čitatel (horní číslo). Podle stávajícího matematického pravidla musí být horní číslo zvýšeno přesně o stejnou hodnotu jako dolní. to je:

• čitatel "sedm" v prvním zlomku (7/8) se vynásobí číslem "devět" - 7*9=63;
• čitatel "dva" ve druhém zlomku (2/9) se vynásobí číslem "osm" - 2*8=16.

4. V důsledku akcí jsme získali dvě nové hodnoty, které jsou však totožné s těmi původními.

• první: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• sekunda: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Nyní je dovoleno odečíst jedničku zlomkové číslo z jiného:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Provedením této akce se vrátíme k tématu odčítání zlomků se stejnými nižšími čísly (jmenovateli). A to znamená, že odečítání bude provedeno shora, v čitateli, a nižší číslo se přenese beze změn.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Příklad 4

Zkomplikujme problém tím, že k vyřešení vezmeme několik zlomků s různými, ale více číslicemi dole.

Uvedené hodnoty: 5/6; 1/3; 1/12; 24. 7.

V tomto pořadí musí být od sebe odebírány.

1. Zlomky přivedeme výše uvedeným způsobem ke společnému jmenovateli, kterým bude číslo "24":

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - tuto poslední hodnotu necháme beze změny, protože jmenovatelem je celkové číslo "24".

2. Odečtěte všechny hodnoty:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Protože čitatel a jmenovatel výsledného zlomku jsou dělitelné jedním číslem, lze je zmenšit dělením číslem „tři“:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Odpověď zapíšeme takto:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Příklad 5

Jsou dány tři zlomky s nenásobnými jmenovateli: 3/4; 2/7; 1/13.

Musíte najít rozdíl.

1. První dvě čísla přivedeme ke společnému jmenovateli, bude to číslo "28":

• ¾ \u003d 3 * 7 / 4 * 7 \u003d 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Odečtěte mezi sebou první dva zlomky:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Od výsledné hodnoty odečtěte třetí daný zlomek:

4. Čísla přivedeme na společného jmenovatele. Pokud není možné vybrat stejný jmenovatel více snadný způsob, pak stačí provést akce postupným vynásobením všech jmenovatelů navzájem, přičemž nezapomeňte zvýšit hodnotu čitatele o stejnou hodnotu. V tomto příkladu provedeme toto:

• 13/28 \u003d 13 * 13/28 * 13 \u003d 169/364, kde 13 je spodní číslice od 5/13;
• 5/13 \u003d 5 * 28 / 13 * 28 \u003d 140/364, kde 28 je spodní číslice od 13/28.

5. Odečtěte výsledné zlomky:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Odpověď: ¾-2/7-5/13 = 29/364.

Smíšená zlomková čísla

Ve výše diskutovaných příkladech byly použity pouze správné frakce.

Jako příklad:

• 8/9 je správný zlomek;
• 9/8 je špatně.

Není možné proměnit nevlastní zlomek ve správný, ale je možné jej proměnit smíšený. Proč je horní číslo (čitatel) děleno spodním číslem (jmenovatel), abychom dostali číslo se zbytkem. Celé číslo vzniklé dělením se takto zapíše, zbytek se zapíše do čitatele nahoře a jmenovatel, který je dole, zůstane stejný. Aby to bylo jasnější, zvažte konkrétní příklad:

Příklad 6

Nevlastní zlomek 9/8 převedeme na správný.

Za tímto účelem vydělíme číslo „devět“ „osmi“, v důsledku toho dostaneme smíšený zlomek s celým číslem a zbytkem:

9: 8 = 1 a 1/8 (jiným způsobem to lze zapsat jako 1 + 1/8), kde:

• číslo 1 je celé číslo vyplývající z dělení;
• další číslo 1 - zbytek;
• číslo 8 je jmenovatel, který zůstal nezměněn.

Celé číslo se také nazývá přirozené číslo.

Zbytek a jmenovatel jsou nový, ale již správný zlomek.

Při psaní čísla 1 se píše před správný zlomek 1/8.

Odečítání smíšených čísel s různými jmenovateli

Z výše uvedeného uvádíme definici smíšeného zlomkového čísla: „Smíšené číslo - jedná se o hodnotu, která se rovná součtu celého čísla a vlastního obyčejného zlomku. V tomto případě se nazývá celá část přirozené číslo a číslo, které je ve zbytku, je jeho zlomková část».

Příklad 7

Dáno: dvě smíšené zlomkové množství, skládající se z celého čísla a vlastního zlomku:

• první hodnota je 9 a 4/7, tedy (9 + 4/7);
• druhá hodnota je 3 a 5/21, tj. (3+5/21).

Je potřeba najít rozdíl mezi těmito hodnotami.

1. Chcete-li odečíst 3+5/21 od 9+4/7, musíte nejprve od sebe odečíst celočíselné hodnoty:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Výsledek rozdílu dvou smíšených čísel se bude skládat z přirozeného (celého) čísla 6 a vlastního zlomku 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Matematici všech zemí se shodli, že znaménko „+“ při zápisu smíšených veličin lze vynechat a ponechat pouze celé číslo před zlomkem bez znaménka.